2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练18 矩形的性质与判定(拓展篇)

专题1.8矩形的性质与判定（拓展篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、坐标系下的矩形问题

1.如图，把矩形0A3C放入平面直角坐标系中，点3的坐标为（10,8）,点。是OC

上一点，将ABC。沿折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点。的坐标是（）

包

EAx

A.（0,4）B.（0,5）

C.（0,3）D.（0,2）

2.如图，在平面直角坐标系中,4“两点的坐标分别是（&。），（。,6）,点C为线段44

的中点，则OC的长等于（）

K

L5

A.V5B.—C.5D.10

3.如图①，在矩形A8CO中，AB<ADf对角线AC、8。相交于点0,动点尸从点A

出发，沿ATB—CT。向点。运动.，设点P的运动路程为-44。2的面积为y,y与k的函

数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（）

y

①②

A.四边形48C。的面积为12B.4。边的长为4

C.当下2.5时，AAOP是等边三角形D.4AOP的面积为3时，x的值为3或10

4.如图，点A的坐标为（4,3）,AB_Lx轴于点8,点C为坐标平面内一点，。（7=2,

点。为线段AC的中点，连接8。，则BD的最大值为（)

3后

D.26

类型二、折叠中的矩形问题

5.如图，把长方形纸片A8CD沿对角线所在直线折叠，设重叠部分为△EBO,那么下

列说法错误的是（）

A.是等腰三角形，EB=EDB.折叠后NA8E和NEBD一定相等

C.折叠后得到的图形是轴对称图形D.△E84和一定是全等三角形

6.如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：①对折矩形纸片A88,使A力和BC重

合，得到折痕EF,把纸片展开；②再一次折叠纸片，使点4落在EF上，并使折痕经过点8,

得到折痕8M,同时得到线段8N.观察探究可以得到NN8C的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

7.如图，四边形0ABe是矩形，点A的坐标为（8,0）,点C的坐标为（0,4）,把矩形Q4BC

沿08折叠，点C落在点。处，则点。的纵坐标为（）

8.在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABC。可以进行如下操

作：①把AAB尸翻折，点8落在C边上的点E处，折痕为点尸在8C边上；②把

翻折，点。落在AE边上的点G处，折痕为点”在CO边上，若40=6,8=10,

类型三矩形背景下的最值问题

9.如图，AABC中，BC=4,。、E分别是线段A8和线段上的动点，KBD=DE,

尸是线段A。上一点，且防二FC,则O尸的最小值为（）

A.3B.2C.2.5D.4

10.如图，“8C中，ZC=90°,AC=10,BC=8,线段OE的两个端点。、E分别在

边AC,8C上滑动，且DE=6,若点M、N分别是DE.AB的中点，则MN的最小值为（)

A.10-y[4\B.y/4A~3C.2^/41-6D.3

U.如图，在矩形48co中，AB=5,AD=3.动点P满足“总=gs造影458,则点

P到4、3两点的距离之和以+P5的最小值为()

A.晒B.734C.向D.752

12.如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2.对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重

合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N,折痕BM与EF

相交于点Q;再次展平，连接BN,MN,延长MN交BC于点G.有如下结论：①/ABN

=60。；②AM=1；③AB_LCG；④ABMG是等边三角形；⑤点P为线段BM上一动点，点

H是BN的中点，则PN+PH的最小值是名.其中正确结论有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

类型四、旋转中的矩形问题

13.如图，矩形A8C。的顶点A(l,0),0(0,2),8(5,2),将矩形以原点为旋转中心,

顺时针旋转75。之后点。的坐标为()

y」c

D

O

A.（4,-2）B.（4x/2,-2x/2）C.（4V2,-2）D.（2疝-2夜）

14.如图，将斜边为4,且一个角为30。的直角三角形408放在直角坐标系中，两条直

角边分别与坐标轴重合，。为斜边的中点，现将三角形A08绕。点顺时针旋转120。得到三

角形EOC,则点。对应的点的坐标为（）

C.（26，-2）D.（2,-2⑶

15.如图，矩形A8CO中，4）=2,AB=Jj,对角线AC上有一点G（异于A,C）,连

接DG,将A4GD绕点4逆时针旋转60。得到“律，则行的长为（）

A.V13B.24\3C.77D.277

16.如图，矩形。4BC的顶点0（0,0）,A（0,3）,C（5,0）,点、D为AB上一动点、,将△040绕

点O顺时针旋转得到AOA。，使得点A的对应点A落在0。上，当AD的延长线恰好经过

点C时，点。的坐标为（）

A.(2,3)B.(Q)C.fy,3jD.(4,3)

二、填空题

类型一、坐标系下的矩形问题

17.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(3,3),过点8作BA_Lx轴于点A,

BC_Ly轴于点C.若直线/：y=/心-2加用工0)把四边形。ABC分成面积相等的两部分，

则机的值为一.

八

C----------------iB

~~0Ax

18.如图，四边形OABC为矩形，点A,。分别在x轴和)，轴上，连接4C,点8的坐

标为(12,5),NCAO的平分线与y轴相交于点O,则点。的坐标为.

19.如图，在平面直角坐标系中，矩形。48c的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),

点。是。4的中点，点尸在BC边上运动，点。是坐标平面内的任意一点.若以O,。，P,

。为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点。的坐标为.

y

20.如图，平面直角坐标系中，长方形OWC,点A,C分别在y轴，x轴的正半轴上，

04=6,0C=3,NOOE=45。，OD,0E分别交8C,48于点O,E,且8=2,则点

E坐标为.

类型二、折叠中的矩形问题

21.如图，在长方形A8C。纸片中，AD//BC,AB//CD,把纸片沿EF折叠后，点C、

。分别落在C'、ZX的位置，若NEFB=75°,则ZATO'等于.

22.如图，在矩形AHCO中，A8=6,=，点石为边8C上任意一点，将△A8E沿

AE折叠，使点B落在点尸处，连接C/，若aCEF是直角三角形，则线段BE的长为.

23.如图，矩形力8co中，AB=3,AO=5.点E是边上一动点，连接AE.将△A8E

沿AE翻折得到连接。F.当△4。尸的面积为T时，线段8E为长为.

24.如图，在矩形A8CO中，E是8C边上的一点，连接4E,将AABE沿4E翻折，点

8的对应点为足若线段A尸的延长线经过矩形一边的中点，AB=2,AO=4,则BE长为

类型三矩形背景下的最值问题

25.如图，在矩形A8CO中，AD=2AB=4f点E是A。上一点，DE=1,尸是BC上

一动点，P、。分别是所，AE的中点，则PE+PQ的最小值为

26.如图，在长方形ABC。中，已知AB=6,5C=8,点尸是BC边上一动点（点尸不与

B,C重合），连接AP,作点8关于直线的对称点M,则线段MC的最小值为.

27.如图，矩形A8C。中，AB=6,AD=8,动点E、尸分别从点A、C同时出发，

以相同的速度分别沿4。、C8向终点。、B移动,当点E到达点。时，运动停止，过点8

作直线E厂的垂线3P,垂足为点尸，连接CP,则CP长的最小值为

28.如图，在矩形A8C。中，48=8,BC=\2fE是48的中点，尸是8C边上一动点,

将ABE/沿着"翻折，使得点B落在点方处，矩形内有一动点P,连接尸夕、PC、PD,则

PB'+PC+PD的最小值为

类型四、旋转中的矩形问题

29.如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转«(0°va<90。)，连接EC,a,当。为

。时EC=EO.

30.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A,C的坐标分别为(2,0),(0,-1),

将矩形4BCO绕点B顺时针旋转，点A,C,。的对应点分别为A,C。'.当点。落在x轴

的正半轴上时，点。的坐标为.

31.如图，矩形ABCO中，AB=2fBC=1,将矩形ABC。绕顶点C顺时针旋转90。，得

到矩形MCG,连接4E,取AE的中点H,连接。”，则D〃二.

32.如图，在平面直角坐标系中，四边形AO8C是矩形，点0(0,0),点A(，u),点8(0,3).以

点A为中心，顺时针旋转矩形AO5C得到矩形4。£尸，点0,B,C的对应点分别为。，E,

产.记K为矩形AO8C对角线的交点，则AKDE的最大面积为一.

三、解答题

33.在一次数学活动课中，林老师提出问题：“如图，已知矩形纸片A8CD,如何用折

纸的方法把三等分？”

BC

通过各小组合作讨论，奋进组探究出解决此问题的方法为：先对折矩形纸片A8CD,使

AO与8C重合，得到折痕ER然后把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在E尸上的点

N,得到折痕和线段BN,如图所示.则8M和BN三等分NA3C.

请你对奋进组这种做法的合理性给出证明.

34.材料阅读

小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为(1,2),端点8的坐标为(3,4),则线段A8中点

的坐标为(2,3),通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点尸(％,y)、

Q(W，%)为端点的线段中点坐标为(土尹，”团).

(1)知识运用：

如图，矩形ONEF的对角线相交于点M,ON、。尸分别在x轴和)，轴上，0为坐标原点，

点七的坐标为(4,3),则点M的坐标为.

(2)能力拓展：

在直角坐标系中，有4-L2),3(3,1),C(1.4)三点，另有一点。与点A、B、C构成平

行四边形的顶点，求点。的坐标.

35.请阅读下列材料：问题：如图1,点A,B在直线/的同侧，在直线/上找一点尸

,使得AP+BP的值最小.小军的思路是：如图2,作点4关于直线/的对称点连

接4出，则A"与直线/的交点尸即为所求.请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问

题：

(1)如图3,在图2的基础上，设A4,与直线I的交点为C,过点B作BD1Z,垂足为D.若

CP=1,PD=2,AC=1,写出AP+BP的值为:

(2)如图3,若4C=1,B/)=2,CD=6,写出此时AP+BP的最小值；

(3)求出依〃-3尸+1+7(5/W-8)2+9的最小值.

参考答案

1.c

【分析】

由题意可得AO=AC=10,AB=OC=^,DE=CD,B£=fiC=10,在RfAABE中，由勾股定

理可求得AE=6,0E=4,设OO=x,则DE=CD=8-x,然后在用△O£>E中，由勾股定理即可

求得OD=3,继而求得点。的坐标.

解：丁点B的坐标为（10,8）,

；・AO=BC=lO,AB=OC=S,

由折叠的性质，可得：DE=CDfBE=BC=\O,

在册AABE中，由勾股定理得：AE=qBE，-AB2=7i5^F=6,

：.OE=AO-AE=\0-6=4,

设。D=x,则DE=CD=8-x,

在RtAODE^.由勾股定理得：OD2+OF2=DF2.

即：x2+42=（8-x）2,

解得：x=3,

，OD=3,

・••点。的坐标是（0,3；.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是

解题的关键.

2.C

【分析】

根据勾股定理求出斜边A8的长度，再由直角三角形斜边中线定理，即可得出答案.

解：・・48两点的坐标分别是（8,0）,（0,6）,

/.0A=8,08=6,

JA氏y/o^+OB2=V82+62=10,

•・•点。为A8的中点，

・・・OC=9B=；X10=5,

故选：C.

【点拨】

本题主要考查坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，掌握直角三角

形斜边中线定理是解题的关键.

3.C

【分析】

过点P作PE_L4C于点E,根据/40P的边OA是一个定值，0A边上的高PE最大时是

点P分别与点8和点。重合，因此根据这个规律可以对各个选项作出判断.

解：A、过点P作PE_L4C于点E,当点P在A〃和边上运动时，PE逐渐增大，到

点8时最大，然后又逐渐减小，到点C时为0,而产中，OA为定值，所以y是先

增大后减小，在8点时面积最大，在C点时面积最小；观察图②知，当点P与点8重合时，

440P的的面积为3,此时矩形的面积为：4x3=12,故选项A正确；

B、观察图②知,当运动路程为7时,y的值为0.此时点P与点。重合.所以有

AB+BC=1,

又AB8G12,解得：AB=3,BC=4,或4B=4,803,但ABvBC,所以A8=3,BC=4,

根据四边形A8CO为矩形，所以A£>=4,故选项B正确；

C、当¥=2.5时，即x<3,点P在边AB上

由勾股定理，矩形的对角线为5,则04=25所以0A二AP,AAOP是等腰三角形，

但△ABC是三边分别为3,4,5的直角三角形，故N8AC不可能为60。，从而不是等

边三角形，故选项C错误；

D、当点尸在4B和BC边上运动时，点P与点8重合时最大面积为3,此时x的值

为3；

当点P在边CD和OA上运动时，PE逐渐增大，到点。时最大，然后又逐渐减小，

到点A时为0,而尸3。4步七也是先增大再减小，在短点时面积最大，在4点时面积最小；

所以当点P与点。重合时，最大面积为3,此时点P运动的路程为4B+BC+8=10,即户10,

所以当m3或10时，44OP的面积为3,故选项D正确.

故选：C.

【点拨】本题是动点问题的函数图象，考查了函数的图象、图形的面积、矩形的性质、

解方程等知识，关键是确定点尸到AC的距离的变化规律，从而可确定y的变化规律，同时

善于从函数图象中抓住有用的信息，获得问题的突破口.

4.B

【分析】

先连接A。，取其中点E,连接OE、BE,根据点。、E为线段AC、AO的中点求出

OE的长，再根据斜中线定理求出8E的长，当当8、。、E三点在同一条直线上时，值

最大，求出结果即可.

解：如下图所示，连接A。，取其中点E,连接BE,

•・•点。、七为线段AC、八。的中点，

・•・DE=-OC=\,

2

又：人鸟，入轴于点B,

；・AO=ylAB2+OB2=5

:.BE=-AO=-

22f

当3、。、E三点在同一条直线上时，BO值最大，

此时BD=BE+DE=\+-=~；

22

故选：B.

【点拨】本题主要考查三角形中位线定理、斜中线定理，本题解题的关键是在于找到两

点之间线段最短.

5.B

【分析】

根据长方形的性质得到NBAE=NOCE,AB=CD,再由对顶角相等可得NAE8;NCED,

推出AAEB四△CEO,根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得A,C,D正确；无法判

断

NA3E和NC4O是否相等.

解：•.•四边形人为长方形,

:・NBAE=/DCE,AB=CD,

•・,折叠

:.NC=/DCE,CD=8

•.NBAE=/DCE,AB=CD

在△人仍和^C'ED中，

NBAE=NDCE

«ZAEB=ZC'ED,

AB=CfD

AAAEB^ACED(A4S),

:,BE=DE,

.••△£8。为等腰三角形，

，折叠后得到的图形是轴对称图形，

无法判断NABE和NCBD是否相等.

故其中正确的是A,C,D.

故选B

【点拨】此题考查图形的翻折变换，解题关键在于应注意折叠是一种对称变换，它属于

轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

6.C

【分析】

BM交EF于P,如图，根据折叠的性质得NBNM=/A=9(T,N2=/3,EF〃AD,AE=BE,

则可判断EP为^BAM的中位线，利用平行线的性质得N1=NNBC,根据斜边上的中线性质

得PN二PB二PM,所以N1=N2,从而得到NNBC=N2=N3,然后利用NNBC+N2+N3=90。

可得到NNBC的度数.

解：BM交EF于P,如图，

・・•四边形ABC。为矩形,

ANA=NABC=90。，

・•♦折叠纸片，使点A落在E尸上，并使折痕经过点用得到折痕NM,同时得到线

段8N,

/.ZBNM=ZA=90°,Z2=Z3,

•・•对折矩形纸片ABCZ),使A。和BC重合，得到折痕E凡

：.EF//AD,AE=BE,

・・・EP为ABAM的中位线，/1=NNBC,

・・・P点为3M的中点，

:・PN=PB=PM,

/.Z1=Z2,

・・・NNBC=N2=N3,

V/NBC+N2+N3=90。，

JZ/VBC=30°.

故选C.

【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质.

7.B

【分析】

由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等

角对等边得到BE=OE,利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对

应边相等得到DE=AE,过D作DF垂直于OE,利用勾股定埋及面积法求出DF与OF的

长，即可确定出D坐标.

解：由折叠得：ZCBO=ZDBO,

•・,矩形ABCO,

・・・BC〃OA,

JZCBO=ZBOA,

/.ZDBO=ZBOA,

.•・BE=OE,

在4ODE和^BAE中,

ND=NB4O=90°

NOED=NBEA

OE=BE

AAODE^ABAE(AAS),

AAE=DE,

设DE=AE=x,则有OE=BE=8—x,

在RSODE中，根据勾股定理得：42+x2=(8-x)2,

解得：x=3,即OE=5,DE=3,

过D作DF_LOA,

VSAOED=GOD・DE=!OE・DF,

22

.np_12

・・DP=~5~

12

*,•点D的纵坐标为，—~-2.4,

故选：B.

【点拨】此题考查了翻折变亿(折叠问题)，坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练

掌握折叠的性质是解本题的关键.

8.A

【分析】

利用翻折不变性可得AE==10,推出力E=8,EC=2,设3尸=稗=x，在RtAEFC

中，X2=22+(6-X)2,可得X=设DH=GH=y,在RgEGH中，/+42=(8-y)2,可

得y=3,由此即可解决问题.

解：•••四边形A8CD是矩形，

/.ZC=ZD=90°,AB=CD=10,AD=BC=6,

由翻折不变性可知：AB=AE=10,AD=AG=6,BF=EF,DH=HG,

.EG=4,

在Rl△ADE中，OE=JAE?-心=V102-62=8，

/.EC=10-8=2,

设BF=EF=x,在RtZXEFC中有：x2=22+(6-x)2,

10

:.x=一,

3

设W/=G〃=y,在中，y2+42=(8-y)2,

，y=3,

:.EH=5,

EH53

•••~EF-2，

~3

故选：A.

【点拨】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参

数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

9.B

【分析】

过点。作。G_LBC于点G,过点尸作尸”JLBC于点H,当。尸_LF”时，。尸取得最小

值，据此求解即可.

解：过点。作。G_LBC于点G,过点尸作尸H_LBC于点”，如图：

'；BD=DE,EF=FC,

，BG=GE,EH=HC,

当。尸上尸”时，。尸取得最小值,

此时，四边形OGH尸为矩形，

DF=GH=-BE+-EC=-BC=2.

222

故选：B.

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

10.B

【分析】

根据三角形斜边中线的性质求得CN=；A8="T,CM=^DE=3,由当C、M、N在

同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值.

解：A4BC中，ZC=90°,AC=10,BC=S,

AB=\lAC2+BC-=2>/41，

•.•DE=6,点M、N分别是OE、AB的中点，

:.CN=-AB=yf4\,CM=-DE=3

22t

当C、用、N在同一直线上时，MN取最小值,

一.MN的最小值为：JJT-3，

故选：B.

【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N

在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键.

11.C

【分析】

首先由=京域形皿”,得出动点尸在与A8平行且与AB的距离是2的直线/上，作A关

于直线/的对称点E,连接AE,连接班，则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三

角形可中，由勾股定理求得BE的值，即始+尸8的最小值.

解：设尸中A8边上的高是力.

~S矩彬ABCD，

：.-ABh=-ABAD,

23

,-.h=-AD=2

3f

•••动点尸在与A8平行且与48的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对

称点E,连接AE,连接的，则跖的长就是所求的最短距离.

在RiAABE中，VAB=5AE=2+2=4,

BE=V-Afl2+AE2=752+42=74J，

即P4+m的最小值为百.

故选：C.

【点拨】本题考查了轴对称一最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理,

两点之间线段最短的性质.得出动点尸所在的位置是解题的关键.

12.B

【分析】

①根据折叠的性质得出AE二BE,AB=BN,ZNEB=90°,再根据含30度的直角三角形

判定定理即可得出NEN8=30。，即可得出NABN=60。；

②根据折叠的性质得出NA〃M=NN8M=30。，设AM=X,根据勾股定理即可求出AM

的值；

③直接根据矩形的性质即可得出；

④根据NA8M=30。，得出NMBG=N8MA=60。，再根据折叠的性质和等量代换即可

得出ABGM是等边三角形；

⑤根据点H是BN的中点即矩形的性质得出BH=8E,结合题意得出PE=P〃，再根据

三点共线时值最小及勾股定理即可判断.

解：由折叠可知，AE=BE,AB=BN,ZNEB=90°,

在RtABEN中,

,:BN=AB=2BE,

:・NENB=300,

.../A0V=6O。，故①正确；

由折叠可知，/4BM=/NBM=30。，

设AM=x,则BM=2x,

f+22=(2x)2,

Vx>0,

解得：X=空,

3

即AM=2’,故②错误；

3

VNABG=90。，

・・・A8_LCG,故③正确；

•・•NA8M=30。，

:.NMBG=N8M4=60°,

由折叠可知，N8MG=NBM4=60。，

:.NMBG=/BMG=NA/G8=60。，

•••△8GM是等边三角形.故④正确，

连接PE.•・•点H是BN的中点，

：.BH=BE=\t

'：/MBH=NMBE,

:.E、“关于6M对称，

:・PE=PH,

：.PH+PN=PE+PN,

・・・E、P、N共线时，PH+PN的值最小,

EN=J22-12=V3，故⑤正确,

故选为B.

【点拨】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质、直角三角形中30

度角的判断、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于

中考填空题中的压轴题.

13.D

【分析】

过点B作8G_Lx轴于G,过点。作CH_Ly轴于”，根据矩形的性质得到点C的坐标,

求出NCOE=45。，0C=4&,过点C作CE_Lx轴于E,过点。作C/_Lx轴于凡由旋转得

ZCOC/=75°,求出N&O尸=30。，利用勾股定理求出0凡即可得到答案.

解：过点8作5G_Lx轴于G,过点C作CH_Ly轴于H,

•・•四边形A5C。是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,AD//BC,ZCDA=ZDAB=90°,

:./HCD=/ADO=/BAG,

VZCHD=ZBGA=90°f

:•丛CHD^AAGB(AAS),

VA(l,0),0(0,2),5(5,2),

：.CH=AG=5-\=4,DH=BG=2t

：.OH=2+2=4t

：.C(4,4),

：.0E=CE=4,

AZCOE=45°,0040,

如图，过点C作CE_Lx轴于E,过点。作。尸_Lx轴于F,

由旋转得NCOG=75。，

・・・ZC/OF=30°,

:・GF彩0C尸g0C=28,

・•・0F=QOC；-CF=276,

・••点G的坐标为（2卡,-2&）,

【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，

熟记各知识点并综合应用是解题的关键.

14.A

【分析】

根据题意画出绕着O点顺时针旋转120。得到的△40斤，连接O。，。。，过O'

作OM_L），轴，由旋转的性质得到/。。。=120。,根据AD=BD=OD=2f得到NAO。度数，

进而求出/M。。度数为30。，在直角三角形OM。中求出OM与MD的长，即可确定出。

的坐标.

解：根据题意画出AAOB绕着O点顺时针旋转120。得到的△A，O£,连接O。，OD1,过

。作。A/_L），轴，

•・・。为斜边AB的中点，

：.AD=OD=^AB=2,

・・・N84O=NOQA=30。，

・•・/MO〃=30。，

在RsOM。中，0。=0。=2,

：.MD'=\,0M=Jorf-MU?=6，

则D的对应点。的坐标为（1,-73）,

故选：A.

【点拨】此题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，30度角

所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，正确掌握旋转的性质得到对应的旋转图形

进行解答是解题的关键.

15.A

【分析】

过点尸作FHYBA交BA的延长线于点H,则NFHA=90。，AAGD绕点A逆时针旋转

60。得到"ER得/胡0=60。，AF=AD=2f又由四边形ABCO是矩形，ZBAZ>90°,得到

/胡”=30。，在用44尸”中，FH=；AF=1,由勾股定理得AH=JA尸2_四2=£,得到

BH=AH+AB=26，再由勾股定理得BF=BH?=1I2+(2厨=乐・

解：如图，过点尸作用/_LB4交BA的延长线于点”，则N77M=90。，

•・•LAGD绕点A逆时针旋转60。得到AAE/

o

ZMZ)=60,AF=AD=2f

•・•四边形ABC。是矩形

・•・ZBAD=90°

:.ZBAF=ZFAD+ZBAD=\50°

/.ZMH=180°-ZBAF=30°

在R/AA产”中，FH=^AF=\

由勾股定理得

AH=^AF2-FH2=75

在RtABFH中,FH=\,BH=AH+AB=26

由勾股定理得

BFZFH'BH?=#+(2扬2=拒

故8尸的长旧.

故选：A

【点拨】本题考查了图形的旋转，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股

定理等知识，解决此题的关键在于作出正确的辅助线.

16.B

【分析】

当AD的延长线恰好经过点C时，CA^OD,即可求出H的坐标，再求出OA的解析式

即可；

解：当AD的延长线恰好经过点CII寸，CA!LOD

过4作£4'_LOC于E

•・•0(0,0),40,3)05,0)

OA=3,OC=5

由旋转可得：OAr=OA=3

CA'=yl0C2-OA'2=4

△CM122

1119

Alx3x4=^E4/x5,解得E4'="

・•・A的坐标为

4

**-04’的解析式为y=

•・•矩形043。

・・・。点纵坐标与A一致为3

•・•。在OA,上

・•・£＞点坐标为(*3)

故选:B.

【点拨】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，求出A的坐标是解题

的关键.

17.-3

【分析】

先由B4_Lx轴，8C_Ly轴得到四边形0A8C是矩形，然后由矩形的性质可得直线/过矩

形0A8c的中心点，再由点3和点。的坐标求得中心点的坐标，最后将中心点的坐标代入

直线/的解析式求得机的值.

解：・・・BAJ_x轴，8C_Ly轴，

，四边形OA8C是矩形，

・・•直线/将四边形0A8C分为面积相等的两部分，

・•・直线/过矩形0A8C的中心点，

•・•点5(3,3),点。(0,0),

・•・矩形OA8C的中心点为3(：，3?)，(中点坐标公式)

22

3333

将中心点(5，］)代入-2/〃得，—m-2m=-,

•,m=-3,

故答案为：-3.

【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是通过直

线/平分四边形048c的面积得到直线/经过矩形O4BC的中心点.

18.(0,2.4)##(0,y)

【分析】

过。作OEL4C于根据矩形的性质和B的坐标求出OC=AB=5,OA=BC=\2,

NCOA=90。，求出0。=。七，根据勾股定理求出OA=AE=12,AC=13,在RiADEC

中，根据勾股定理得出。E2+EC2=C》，求出。。即可得出答案.

解：过Q作。于旦

•・•四边形ABC。是矩形,B(12,5),

0C=AB=5t0A=BC=\2tNCQ4=90。，

•・・A。平分N04C,

：,OD=DE,

由勾股定理得：QA2=A》-O£)2,AE2=AD2_DE2f

：,0A=AE=\2,

由勾股定理得：^C=752+122=13，

在放△DEC中，DE^EC^CD2,

即0》+(13-12)2=[5-00)2,

解得：00=2.4,

所以。的坐标为(0,2.4),

故答案为：(0,2.4).

【点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，能根据勾股定理得

出关于0。的方程是解此题的关键.

19.(-3,4)或(8,4)或(3,4)

【分析】

当以。，。，P,。为顶点的四边形是边长为5的菱形时，有三种情况，分8=5,

点尸在点。的左侧；OP=OD=5；也＞=8=5,点尸在点。的右侧，结合矩形的性质和勾

股定理可求得点。的坐标.

解：有三种情况：

(1)如答图①所示，8=5,点尸在点。的左侧.

过点P作轴于点E,则PE=4.

在RMPDE中,由勾股定理得：

DE7Pbi-PE?=后-4=3,

：.OE=OD-DE=5-3=2,

・••此时点尸坐标为(2,4).此时0(-3,4)：

过点P作尸EJLx轴于点E,则PE=4.

在心中,由勾股定理得：

OE=JOP2-PE2=V52-42=3,

：.OE=OD-DE=5-3=2,

・•・此时点尸坐标为(3,4),此时。(8,4)；

(3)如答图③所示，2=8=5,点尸在点。的右侧.

过点P作轴于点E,则PE=4.

在R^PDE中,由勾股定理得：

DE=y/OP2-PE2=A/52-42=3»

：.OE=OD+DE=5+3=S,

・••此时点尸坐标为(8,4),此时。(3,4)；

y

综上所述，点。的坐标为（T4）或（8,4）或（3,4）；

故答案为（-3,4）或（8,4）或（3,4）.

【点拨】此题主要考查了矩形的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，使用分类讨论的

思想是解题关键.

26（知

【分析】

过点E作防，。力，过点尸作F7V_LOC，并延长N/交48延长线于点设

MF=ON=x,根据三角形全等得到EM=RV=6—x,则产*,6-箝，求出直线。。解析式，

代入点尸。,6-幻求出”,即可求解.

解：过点E作过点F作RV_LOC,并延长N尸交48延长线于点如下图：

则NEPO=NFVO=90°,：・NOFN+ZEFM=90。,ZOFN^ZFON=900

・•・4FON=4EFM

在矩形Q4BC中，AB//OC,OA=BC=&OC=AB=3

・・・NAf=NRVO=90。

・•・四边形8CNM为矩形

:・MN=BC=6,CD//WV,BM=CN

：.AM=ON

,/ZDOE=45°

.•.△EFO为等腰直角三角形，EF=OF

，AFON冬AEFM

:,MF=ON,EM=FN

设MF=ON=x,MEW=/W=6-x,产(x,6-x)

设直线。。解析式为y=

2

由题意可知53,2),代入y=依得，3&=2,解得&=§,

2

又・・,点F(x,6-x)在直线。0上，・・・6-x=§x

1QIQ19

解得x=g,即AM=ON=],FN=EM=[

・•.AE=AM-EM=-

5

・••点E坐标为6，6)

故答案为他,6)

【点拨】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等腰

直角三角形的性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解.

21.30。##30度

【分析】

根据矩形的性质得出AD〃8C,根据平行线性质得出/8FE=NOEF,根据折叠性质得

出NOEr=NOE尸=75。即可.

解：.・.四边形A片为矩形，

：,AD//BC,

:.NBFE=NDEF,

VZBDF=75°,

:.NDEF=750,

■:四边形EDCF沿E尸折叠得到四边形EDCF,

JN»EF=/DEF=75。,

NAED'=180。-ND'EF-NDEF=180o-75o-75o=30°.

故答案为：30°.

【点拨】本题考查矩形性质，平行线性质，折叠性质，掌握矩形性质，平行线性质，折

叠性质是解题关键.

22.4或2M

【分析】

△C即是直角三角形时，有两种情况：当点尸落在矩形内部时，利用勾股定理求出AC,

利用折叠性质得出44正="=婚，当△囱是直角三角形时，只能得到NE尸C=90。，推

出点A,F,C共线，则CF=AC-AF；当点尸落在矩形的边上时，印为正方形，利

用勾股定理计算CF.

解：分两种情况，

（1）当点尸落在矩形内部时，如下图所示，连接AC,

在RlAABC中，AB=6,BC=8,

/.AC=^AB2+BC2=V624-82=10'

•••将A4应:沿AE折叠，使点B落在点尸