2022届高考数学（理）大一轮复习知识讲义-第八章 立 体 几 何

第八章立体几何

第一节

空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

本节主要包括3个知识点：

1.空间几何体的三视图和直观图;

2.空间几何体的表面积与体积；

3.与球有关的切、接应用问题.

突破点(一)空间几何体的三视图和直观图

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

多面

结构特征

体

有两个面平行,其余各面都是四边形且每相邻两个面的交

棱柱

线都平行且相等

有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三

棱锥

角形

棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫

棱台

做棱台

(2)旋转体的形成

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形矩形任一边所在的直线

圆锥直角三角形一条直角边所在的直线

直角梯形或等腰直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中

圆台

梯形点的连线

球半圆或圆直径所在的直线

2.空间几何体的三视图

(1)三视图的名称

几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图.

(2)三视图的画法

①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只

画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、

正左方、正上方观察几何体的正投影图.

3.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴，/

轴的夹角为45°或135°,W轴与』轴和V轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标

轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度丕变；平行于y

轴的线段在直观图中长度为原来的一半.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”______________

空间几何体的结构

考点一

特征

[例1](1)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面,

则这个几何体一定是()

A.圆柱B.圆锥

C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体

(2)下列说法正确的是()

A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是

棱柱

B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

［解析］(1)截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体.

(2)A错，如图(1);B正确，如图(2),其中底面A8C0是矩形，

P0J"平面A8CO,可证明/PAB,NPCB,ZPDA,NPDC都是直角，

这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图(3);D错，由棱台的定义

知，其侧棱的延长线必相交于同一点.

［答案］(DC(2)B

［方法技巧］

解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧

(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；

(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依

据条件构建几何模型，如例1(2)中的A,C两项易判断失误；

(3)通过反例对结构特征进行辨析.

空间几何体的三

考点二

视图

1.画三视图的规则

长对正、高平齐、宽相等，即俯视图与正视图一样长；正视图与

侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽.

2.三视图的排列顺序

先画正视图，俯视图放在正视图的下方，侧视图放在正视图的右

方.

[例2]（1）（2017•贵州七校联考）如图所示，四面体ABCD的四个

顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面

体A3co的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形，按正视图，侧视图,

俯视图的顺序排列）（）

A.①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D.③④⑤

（2）（2016•天津高考）将一个长方体沿相邻三个面的对

角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所正视图

示，则该几何体的侧（左）视图为（）

俯视图

ABCI)

［解析］(1)正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到

右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边

长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，

因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上

到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.

(2)先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图.由

几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图

②.

［答案］(1)B(2)B

［方法技巧］

三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图

注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向；注意能看到的部分用

实线表示，不能看到的部分用虚线表示.

(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图

解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图

的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题,

也可将选项逐项代入检验.

(3)由几何体的三视图还原几何体的形状

要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合

空间想象将三视图还原为实物图.

空间几何体的直

考点三

观图

直观图与原图形面积的关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系:

(1)S直观图=4s原图形.

(2)3原图形=2、/5s直观图.

［例3］用斜二测画法画一个水平放置的平面图形

的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是

()

［解析］由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长

为啦，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2册.

［答案］A

能力练通抓应用体验的“得”与“失”______________

1.［考点一］如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱

锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是()

A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解析：选B因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的

顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A,C是真命题;

且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D是真命题；

B是假命题，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立.

2.［考点二］一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正

确的是（）

解析：选B由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角

三棱柱组成.从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部是一条

水平线段连接两个三角形.

3.［考点二］已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，

俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2

的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）

俯视图

ABCD

解析：选C当正视图为等腰三角形时，则高

应为2,且应为虚线，排除A,D;当正视图是直

角三角形时，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线

E4形成的投影，应为虚线，故答案为C.

4.［考点三］用斜二测画法画出的某平面图形的

直观图如图，边43平行于y轴，BC,4。平行于x

轴.已知四边形ABCD的面积为2啦cm2,则原平

面图形的面积为（）

A.4cm2B.4A/2cm2C.8cm2D.8^/2cm2

解析：选C依题意可知NBAO=45°,则原平面图形为直角梯

形，上下底面的长与BC,4。相等，高为梯形的高的26倍,

所以原平面图形的面积为8cm2.

5.［考点二］（2017•南昌模拟）如图，在正四棱柱

ABCD-AiBiCiDi中，点尸是平面AiBiCiDi内一点,

则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为

（）

A.1：1B.2：1

C.2：3D.3：2

解析：选A根据题意，三棱锥P-BCO的正视图是三角形，且

底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，

且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高.故三棱锥尸-3C0

的正视图与侧视图的面积之比为1:1.

突破点（二）空间几何体的表面积与体积

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

侧面积公

S圆柱侧=&［以S圆锥侧=三豆S圆合侧=7t（r+r'）/

圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S圆柱便J=2元//圆台健=兀（「

+r'L"*S圆锥便j=7rr/.

2.空间几何体的表面积与体积公式

名称表面积体积

几何体

柱体S表面积=S侧+2S

V=Sh

（棱柱和圆柱）底

锥体

V=^Sh

S表面积=3侧+S底

（棱锥和圆锥）

V=j（S上+S下+

台体S表面积=S侧+S上

（棱台和圆台）+S下港商仍

4

球S=4nR2：3

V=~5n--R--

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

空间几何体的表

考点一

面积

[例1]（1）（2017•安微江南十校联考）某几何体的三视图如图所示,

其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（）

T

1

I

T

1

±

俯视图

A.4n+16+4*\/3B.5元+16+4h/5

C.4兀+16+2/D.5元+16+25

(2)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()

A.1+V3B.2+小

C.1+2啦D.2^2

［解析］(1)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱

的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2X4X2=16,两个底面面

积之和为2X：X2Xy§=2小；半圆柱的侧面积为7tX4=4兀，两个底

面面积之和为2X；X?rX12=九，所以几何体的表面积为5几+16+

2^3,故选D.

(2)根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面

46。_L底面BCD,另两个侧面ABC,ACO为等边

三角形，则有S表面积=2X；X2X1+2X乎X(何

C

=2+小.

［答案］(DD(2)B

［方法技巧］

瘫尚丽麻衷赢西颖屡题瓦息落一-

(1)求多面体的表面积，只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图

形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.

(2)求旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程及其几何特征入

手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应

侧面展开图中的边长关系.

(3)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的

柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，

再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.

空间几何体的

考点二

体积

柱体'锥体'台体体积间的关系

［例2］(1)(2016•北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三

棱锥的体积为()

正(主)视图侧(左)视图

C,2D.1

⑵某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

正视图侧视图

b-2-

俯视图

A.§+2兀

［解析］(1)通过三视图可还原几何体为如图所示0

产二二二?

的三棱锥P-ABC,通过侧视图得高h=l,通过俯视图；j.

得底面积S=；X1X1=；,所以体积

X1=1.

O

(2)由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几

何体，其体积为兀X12X2+9x占rX12xi=^|3

LJO

［答案］(1)A(2)B

［方法技巧］

求空间几何体体积的常见类型及思路

(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直

接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.

(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过

分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.

（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体

的直观图，然后根据条件求解.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.［考点二］（2016•山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体,

其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

解析：选C由三视图知，四棱锥是底面边长为1,高为1的正

四棱锥，结合三视图可得半球半径为半，从而该几何体的体积为:

XFxl+；x亨兀故选Q

2.［考点二］已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体

积为（）

侧视图

俯视图

57r333

A・§cm，B.2ncm3C.孑cmD.37rcm

解析：选C该几何体为一个圆柱挖去半个球得到的几何体，其

,147rxi37元,

体积V=7tX1~X3—TX---=~(cm3).

/SJ

3.［考点一］某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（)

正视图侧视图

俯视图

A.12正+20B.24&十20

C.44D.12^5

解析：选A由三视图得，这是一个正四棱台，且上、下底面的

/自一21L

边长分别为2,4,则侧面梯形的高九=A/22+^-^-J2=A/5,所以该正

四棱台的表面积S="芈农'4+22+42=12下+20.

4.［考点一］某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等

于（）

正视图侧视图

俯视图

A.8+2啦B.11+2^2

C.14+2啦D.15

解析：选B由三视图知，该几何体是一个直四//

棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示.直角梯形A,rfp

斜腰长为迎针=啦，所以底面周长为4+啦，侧一匕』

1A1B

面积为2乂（4+啦）=8+2地，两底面的面积和为2X；

XlX（l+2）=3,所以该几何体的表面积为8+2啦+3=11+2啦.

5.［考点二］中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344

年商鞅督造一种标准量器—商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位:

寸）：

正视图侧视图

俯视图

若兀取3,其体积为12.6（立方寸），则图中的x的值为

解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成,

由题意得：（5.4-x）X3X14-n-M2x=12.6,解得x=L6.

答案：1.6

突破点（三）与球有关的切、接应用问题

1.球的表面积和体积是每年高考的热点，且多与三视图、多面体

等综合命题，常以选择题、填空题的形式出现.解决此类问题时，一是

要善于把空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中处理；二

是要将变化的模型转化到固定的长方体或正方体中.

2.与球有关的组合体问题主要有两种，一种是内切问题，一种是

外接问题.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关

“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

多面体的内切球

考点一

问题

［例1］若一个正四面体的表面积为Si,其内切球的表面积为S2,

［解析］设正四面体棱长为a,

则正四面体表面积为Si=4X-^-a2=-\/3«2,其内切球半径为正四

面体高的;，

即r=4X3a~12a,

因此内切球表面积为52=4几/=%",

回国=迷

［答案］呼

［方法技巧］

处理与球有关内切问题的策略

解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切

的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.

多面体的外接球

考点二

问题

处理与球有关外接问题的策略

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这

类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于

球的半径.

［例2］（1）（2017•抚顺模拟）已知直三棱柱的6个顶点

都在球O的球面上，若A3=3,AC=4,AB1AC,AAt=12,则球O

的半径为（）

A.3^^B.2-\fl0C.号D.3y/10

（2）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边

长为2,则该球的表面积为（）

AB.167r

277r

D.

C.97r4

（3）一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图

中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为

2

正视图侧视图

俯视图

［解析］(1)如图所示，由球心作平面ABC的垂

线，则垂足为的中点

又OM=^AAi=6,

所以球0的半径K=OA=A/（jl2+62=^.

(2)如图所示，设球半径为R,底面中心为O'且球

心为0,

•・•正四棱锥P-ABCD中AB=2,

：.AO'=啦.

•:P0'=4,

・•.在RtZkAOO'中，AO2=AO'2+00'2,

••.£2=（啦）2+（4一夫）2,

9

解得R=w，

.•.该球的表面积为4元R2=4TTX髀竽

(3)依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球,

球的直径就是正方体的体对角线，

，2£=25(〃为球的半径)，,£=小，

4

•二球的体积旷=铲炉=4班儿

［答案］(1)C(2)A(3)44元

［方法技巧］

(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的;.

(2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长.此结论也适合

长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或

三棱锥.

(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，

解三角形即可.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.［考点一］一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材

切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()

I-6T

A.1B.2C.3D.4

解析：选B该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的

直角三角形，侧棱长为12,故能得到的最大球的半径等于底面直角三

2X-X6X8

角形内切圆的半径，其半径为-市==后市r=2,故选以

2.［考点二］如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表

面积为（）

俯视图

A.200元B.1507rC.100元D.507r

解析：选D由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去4个

角后得到，此长方体的长、宽、高分别为5,4,3,所以外接球半径R

满足2£=声不再予=5也，所以外接球的表面积为S=4nR2=4n

xf^}=5（hr,故选D.

3.［考点二］（2016•太原模拟）如图，平面四边形ABCD中，AB=

AD=CD=\,BD=yJl,BDVCD,将其沿对角线BD折成四面体

A'-BCD,使平面301_平面3。0，若四面体A，-BCD的顶点在

同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.3兀B虐itC.47rD.平力

解析：选A由图示可得C=&,BC=小,△O3C与

△A'3C都是以为斜边的直角三角形，由此可得中点到四个

点A',B,C,D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为小，

所以该外接球的表面积S=4TTX例=3元.

4"考点二］设一个球的表面积为SI,它的内接正方体的表面积为

S1,则3的值等于（）

r6口加_n

A.2BCD

nn-6-2

解析：选D设球的半径为K,其内接正方体的棱长为“，则易

知肥=%,即°=斗^£,则3=----4nR2n

4SD2

6X2”

「全国卷5年真题集中演练一明规律1____________________

1.（2016•全国甲卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三

视图，则该几何体的表面积为（）

A.207rB.247rC.287rD.32元

解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆

柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为/,圆柱高为瓦由图得r

=2,c=2nr=4n,h=4,由勾股定理得，Z=A/22+（2A/3）2=4,S褰=

元,+c/i+.以=4元+16兀+87r=28元.

2.（2016•全国丙卷）在封闭的直三棱柱4BC-4B1G内有一个体积

为V的球.^AB-LBC,AB=6,BC=8,44=3,则V的最大值是

A.4兀B岑C.6TT

6

解析:选B设球的半径为R,♦△ABC的内切圆半径为+：10

34⑶97r

=2,.又2KW3,:.R与,.•.丫1^=3*九乂技『='.故选8.

3.（2015•新课标全国卷n）一个正方体被一个平面截去一部分后，

剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（）

0N

解析：选D由已知三视图知该几何体是由一个正

方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截

去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为1,则三棱锥的

体积为%=；X：乂1><1><1=1,剩余部分的体积匕=13一.所以总

1

=|=|,故选D.

6

4.（2015•新课标全国卷U）已知A,B是球O的球面上两点，Z

403=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥0-A5C体积的最大值

为36,则球O的表面积为（）

A.36元B.64兀C.1447rD.2567r

解析：选C如图，设球的半径为K,VZAOB=

，=2，=

90°,•.SAAOB^/?.«*VO-ABCVC-AOB9而△AOB面积为定值，・•・当

点。到平面AOB的距离最大时，VO-ABC最大，・•.当C为与球的大圆

面A03垂直的直径的端点时，体积VO-ASC最大，为:乂；尺2乂尺=36,

；.R=6,・•.球O的表面积为4兀肥=4兀X62=l447r.故选C.

5.（2015•新课标全国卷I）圆柱被一个平面截去一部H-2r-H

分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图2方

正视图

中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为

16+207T,贝!）r=（）11

俯视图

A.1B.2

C.4D.8

解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,

球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面

积S=；X4兀3+九3+4/+九广2厂=（571+4）/.又S=16+207r,：.（5n

4-4）^=164-207：,

.'.r2=4,r=2,故选B.

6.（2015・新谋标全国卷I）《九章算术》是我B

国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问I

题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：

积及为米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放上一3”

米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米

堆的高为5尺，间米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的

体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

解析：选B设米堆的底面半径为r尺，则。=8,所以r=逋，

所以米堆的体积为忆=］乂；兀・y・5=工X蹩］2x52毛与立方尺）.故堆

4312\TtJy

320

放的米约有行一+l.62P22（斛）.故选B.

7.（2014•新课标全国卷II）如图，网格纸上正方形小格的边长为

1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底

面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的

体积与原来毛坯体积的比值为（）

解析：选C原毛坯的体积V=（7rX32）X6=547r（cm3）,由三视图

2

可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积V=VI+V2=（7TX2）X4

V'10

+（nX32）X2=347t（cm3）,故所求比值为1一—^=行.

8.（2013•新课标全国卷I）某几何体的三视图如图所示，则该几

何体的体积为（）

A.16+87T

C.16+1671D.8+16兀

解析：选A根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，

其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为

2X2X4+1x22X7rX4=16+87r,故选A.

9.（2012•新谋标全国卷）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O

的球面上，△AKC是边长为1的正三角形，SC为球。的直径，且SC

=2,则此棱锥的体积为（）

A.*B.*C.乎D卷

解析：选A由于三棱锥S-ABC与三棱锥0-A5C底面都是4

ABC,。是SC的中点，因此三棱锥S-ABC的高是三棱乐

锥O-ABC高的2倍，所以三棱锥S-ABC的体积也是三/f,\

棱锥0-A5C体积的2倍.

在三棱锥O-ABC中，其棱长都是1,如图所示，SAABC=^-XA52

=乎，高00=、^12—?^2=当，所以VS-ABC=2VO-ABC=2X^X-^

亚_啦

X3-6，

［课时达标检测1重点保分课时---■-练小题夯双基,

二练题点过高考

［练基础小题——强化运算能力］

1.下列结论正确的是()

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋

转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是

六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析：选DA错误，如图①是由两个相同的三棱锥叠放在一起

构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，

如图②，若△ABC不是直角三角形，或△4BC是直角三角形但旋转

轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；C错误，若该棱锥是六棱

锥，由题设知，它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边

长，这与题设矛盾.

2.如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、

侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆

组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是

()

,417r六62兀

A•亍B.亍

R83TT1047r

J33

解析：选D由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积

V=4^X234-7rX22X6=I1y0475r.

3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

()

A.12+4地B.18+8啦

C.28D.20+8吸

解析：选D由三视图可知该几何体是底面为

等腰直角三角形的直三棱柱，如图.

则该几何体的表面积为S=2X；X2X2+4X2X2+2diX4=20

十队回，故选D.

4.《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑

堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的

面积，则该“堑堵”的侧面积为（）

A.2B.4+2巾

C.4+4啦D.6+4也

解析：选C由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等

腰直角三角形的斜边长为2,腰长为也，棱柱的高为2.所以其侧面积

5=2X2+2^2X2=44-4^2,故选C.

5.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为野,

则正方体的棱长为.

解析：设正方体棱长为凡球半径为A,则4上炉=与97r，...尺=之3，

；.y/^a=3,；.a=y/^.

答案：小

［练常考题点一一检验高考能力］

一、选择题

1.已知圆锥的表面积为。，且它的侧面展开图是一个半圆，则这

个圆锥的底面直径是（）

A,23元

2、3兀a2y［3a

3元3n

解析：选C设圆锥的底面半径为r,母线长为/,由题意知2口

=nl,*.l—2r,则圆锥的表面积S表=兀户+^^「产二”，；.r2=g,

LJ7T

-2\l3mi

2r=,・

37r

jr

2.在梯形"CD中，ZABC=^,AD//BC,BC=2AD=2AB=

2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几

何体的体积为（）

C.§D.2n

解析：选C过点。作C£垂直4。所在直线于点£,

梯形4BCD绕4。所在直线旋转一周而形成的旋转体是由F寻,

沦

以线段Ab的长为底面圆半径，线段5。为母线的圆柱挖匕汐B

去以线段CE的长为底面圆半径，E0为高的圆锥，如图所示，该几

222

何体的体积为y=y^-vga^=7rABBC-1-7iCEjDE=7rXlX2-1

Sir

7TX12X1=—故选C.

J

3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A当

15

解析：选D该几何体可视为正方体截去两个三

棱锥所得，如图所示，所以其体积为23-1x|

X2X2X2一;X；X1X1X1=¥.故选D.

4.已知正四面体的棱长为戏,则其外接球的表面积为（）

解析：选D如图所示，过顶点A作AOJ■底A

面BCD,垂足为0,则0为正三角形BCD的中心，

连接。。并延长交3C于£,又正四面体的棱长为

隹所以。E=噂，OD=）E=当,所以在直角三角形40。中，AO

=、4。2一。02=亭.设正四面体外接球的球心为p半径为R连接

222

PD,则在直角三角形POD中，PD=PO+OD,即R2=（¥-R）2

+图2,解得R=半，所以外接球的表面积5=47^2=3”.

5.（2017•郑州质检）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几

何体外接球的表面积为（）

俯视图

A.8元B.167rC.327tD.647r

解析：选c还原三视图可知该几何体为一个四棱锥，将该四棱

锥补成一个长、宽、高分别为26，2啦，4的长方体，则该长方体外

接球的半径—血物十*『2=2&,则所求外接球的表面积为

4nP=32n.

6.已知四棱锥尸-4BCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABC。

的四个侧面中面积的最大值是（）

A.6B.8C.2乖D.3

解析：选A四棱锥如图所示，作PN_L平面

ABCD,交。。于点N,PC=PD=3,DN=2,则PN

=^32-22=A/5,AB=4,BC=2,BC±CD,故BC

1.平面PDC,即BC-LPC,同理4D_LPD.设M为AB的中点，连接

PM,MN,则PM=3,SziP℃=]X4SAPBC=SAPAD=^X2X3

=3,SAMB=1X4X3=6,所以四棱锥尸-ABC。的四个侧面中面积的

最大值是6.

二、填空题

7.在棱长为3的正方体ABCO-ALBIGDI中，P在线段3d上，

且黑=4,M为线段BiCi上的动点，则三棱锥M-PBC的体积为

解析：•••黑'=；，,点尸到平面3G的距离是A到平面距

Jr./

离的;，

即三棱锥P-MBC的高入=弩*i=l.M为线段BiCi上的点，

19

SAMBC=\X3X3=不，

193

VM-PBC—Vp-MBC=^XTX1—T.

答案：1

8.一个几何体的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积

为m3.

T

2

一2T

I*4"h-4一

正视图侧视图

俯视图

解析：由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为

2m、高为2m的圆锥，下面是底面圆的半径为1m、高为4m的圆

柱，所以该几何体的体积是QX47rx2+471=—、匹(irP).

小士207r

答案：

9.如图，正方形O'AfB'C'的边长为a,它是

一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形0ABe

的周长是

解析：由斜二测画法的规则可知，原图形OABC是一个平行四边

形.

在原图形OABC中0B=2\[ia,OA=a,

,ELOAA.OB,：.AB=3a,

・•・原图形04BC的周长为2(a+3a)=8a.

答案：8a

10.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在

下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,

盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降

雨量是寸.

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于

十寸）

解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积

1元

为丫=铲〃（吊+得+/＞「下）=QX9X（1O2+62+IOX6）=5887r（立方寸）,

JO

降雨量为一?=邈5=3（寸）

怦E理',142元1967r"

答案：3

三、解答题

11.已知球的半径为K,在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底

面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？

解：如图为其轴截面，令圆柱的高为瓦底面半

径为r,侧面积为S,（:Z）

则陟+/=上

即h=2ylR2~rl.

因为S=Inrh=Aitr^R2—^=

4周六化?一,）W4iz、l迅嗅二^~=2nli2,

当且仅当r=R2~r1,

即r=¥展时，取等号，

即当内接圆柱底面半径为坐£,高为啦R时，其侧面积的值最大，

最大值为271K2.

12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的

平行四边形，侧视图是一个长为小、宽为1的矩形，俯视图为两个边

长为1的正方形拼成的矩形.

正视图侧视图

(1)求该几何体的体积V;

(2)求该几何体的表面积S.

解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六

面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为由.

所以V=1X1义币=木.

(2)由三视图可知，该平行六面体中，■平

面ABCD,CD_L平面BCCiBi,

所以AAi=2,侧面CDOiG均为矩形.

S=2X(IX14-1x73+1X2)=6+2^3.

第二节

空间点、直线、平面之间的位置关系

本节主要包括2个知识点:

1.平面的基本性质；2.空间两直线的位置关系.

突破点(一)平面的基本性质

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1.公理1〜3

文字语言图形语言符号语言

X

如果一条直线上的

4白、

两点在一个平面BGI

公理1>0lUa

内，那么这条直线

BGa,

在此平面内

A,B,C三点不共

过不在一条直线上

线今有且只有一个

公理2的三点，有且只有

平面a,使

一个平面

BGa,C^a

如果两个不重合的

平面有一个公共

PWa,且pe/?今

公理3点，那么它们有且

aC\fi=l,且

只有一条过该点的

公共直线

2.公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面;

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条壬红直线有且只有一个平面.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

点、线、面的位置

考点

关系

1.证明点共线问题的常用方法

⑴公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的

公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上;

(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该

直线上.

2.证明线共点问题的方法

先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.

3.证明点、直线共面问题的常用方法

⑴纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内;

⑵辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元

素确定平面夕，最后证明平面a,重合.

［典例］已知：空间四边形4BCD(如图所示)，E,

尸分别是A&AD的中点，G,H分别是BC,CD±

的点，且求证：

(DE,F,G,。四点共面;

⑵三直线EF/,EG,AC共点.

［证明］⑴连接EF,GH,

,:E,1分别是A3,AD的中点,

：.EF//BD.

又•.•CG=|BC,CH=^DC,

：.GH//BD,：.EF//GH,

：.E,F,G,H四点共面.

(2)易知P77与直线AC不平行，但共面,

，设

••・"£平面EFHG,平面ABC.

又•・•平面EFHGC平面ABC=EG,

AMGEG,

：.FH,EG,AC共点.

［方法技巧］

~—―—