函数的极值教案

1.2函数的极值一、教学目标理解并掌握函数极值的概念；能利用导数求函数的极值；掌握求函数极值的方法和步骤；二、教学重、难点函数在某点取得极值的条件，利用导数求函数的极值的方法和步骤。三、知识链接导函数的符号与函数单调性的关系：如果在某个区间内，函数SKIPIF1<0的导数SKIPIF1<0,则在这个区间上，函数SKIPIF1<0是增加的如果在某个区间内，函数SKIPIF1<0的导数SKIPIF1<0,则在这个区间上，函数SKIPIF1<0是减少的四、学习过程知识点一：极值的定义SKIPIF1<0OyxaSKIPIF1<0bSKIPIF1<0Q问题1观察函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0OyxaSKIPIF1<0bSKIPIF1<0Q图1图2（1）观察函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的函数值SKIPIF1<0，比较SKIPIF1<0与附近点的函数值的大小？SKIPIF1<0点是函数的最大值点吗？SKIPIF1<0的函数值大于其附近点的函数值，SKIPIF1<0点不一定是最大值点。（2）观察函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0点处的函数值SKIPIF1<0，比较SKIPIF1<0与附近点的函数值的大小？SKIPIF1<0点是函数的最大值点吗？SKIPIF1<0的函数值小于其附近点的函数值，SKIPIF1<0点不一定是最小值点。像这样的，反映函数在某一个点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质的值称为极值。问题2极值的定义类比图1中具体函数的极值，写出函数极值的一般性定义：如图2，在包含类SKIPIF1<0的一个区间SKIPIF1<0内，函数SKIPIF1<0在任何一点的函数值都小于或等于SKIPIF1<0点的函数值，称点SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极大值点，其函数值SKIPIF1<0为函数的极大值如图2，在包含类SKIPIF1<0的一个区间SKIPIF1<0内，函数SKIPIF1<0在任何一点的函数值都小于或等于SKIPIF1<0点的函数值，称点SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的极小值点，其函数值SKIPIF1<0为函数的极小值极大值与极小值统称为极值。极大值点与极小值点统称为极值点。例1找出图中的极值点极大值点是：d,f,h极小值点是：c,e,g反思1：（1）函数的极值是唯一的吗？函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内可能有多个极大值或极小值(2)极大值与极小值之间有无确定的大小关系?请举例说明.极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，f是极大值点，c是极小值点，而SKIPIF1<0>SKIPIF1<0(3)极值一定是最大值或最小值吗？极值不一定是最大值或最小值.极值是就某一点附近的小区间而言，是函数的局部性质，由极值的定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点问题探究二：连续函数图像特征与导数关系：观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,总结极值与导数之间有什么关系?（完成表格）a极大值与导数的关系：yaySKIPIF1<0SKIPIF1<0左侧SKIPIF1<0SKIPIF1<0右侧SKIPIF1<0（符号）SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（单调性）递增极大值递减SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0X0bxaX0bxaoSKIPIF1<0SKIPIF1<0左侧SKIPIF1<0SKIPIF1<0右侧SKIPIF1<0（符号）SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（单调性）递减极小值递增oaxoax0bxySKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0反思2：如何判断极值SKIPIF1<0是极大值还是极小值？如果在x0附近的左边SKIPIF1<0＞0,右边SKIPIF1<0＜0,那么f(x0)是极大值.如果在x0附近的左边SKIPIF1<0＜0,右边SKIPIF1<0＞0,那么f(x0)是极小值例2求函数SKIPIF1<0的极值解：因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的变化情况表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0－0+SKIPIF1<0↑极大↓极小↑所以，当SKIPIF1<0时，函数有极大值，且极大值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，函数有极小值，且极小值为SKIPIF1<0反思3求函数极值的步骤是什么？（1）求导数SKIPIF1<0（2）解方程SKIPIF1<0=0，利用方程的根x0，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（3）由SKIPIF1<0在方程SKIPIF1<0=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况:①若f’(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点;②若f’(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点;③若f’(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点变式1判断下列函数是否有极值，若有极值，请求出；若没有极值，请说明理由。SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0在R上为增函数，无极值。（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即在SKIPIF1<0的附近SKIPIF1<0不变号，所以此函数无极值。反思4（1）对于可导函数在某点SKIPIF1<0处取得极值的条件是什么？可导函数在某点x0取得极值的充要条件f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反（2）“点SKIPIF1<0是可导函数SKIPIF1<0的极值点”是“SKIPIF1<0”的什么条件？可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数SKIPIF1<0,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分但不必要条件;变式2函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有极值10，则SKIPIF1<0的值为（C）A.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.以上都不正确解：由题设条件得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0通过验证，只有SKIPIF1<0符合题意（为什么要检验？）归纳总结：1．理解极值的定义需注意哪些2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:3.求可导函数f(x)的极值的步骤:课堂练习1：下列说法正确的是（D）A.若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0