《ch弹性理论》课件

弹性力学弹性力学是力学的一个分支，主要研究弹性材料在各种外力作用下的变形和内力。该学科广泛应用于工程、物理、材料科学等领域。弹性力学的基本概念弹性材料受外力作用后发生变形，在外力去除后能够恢复原状的性质。应力物体内部各部分之间由于相互作用而产生的内力，用单位面积上的内力表示。应变物体在外力作用下发生的形变程度，用形变量与原尺寸之比表示。胡克定律在弹性限度内，应力与应变成正比关系。弹性应变与应力的关系应力应变物体内部由于外力作用而产生的内力物体在外力作用下产生的形变单位面积上的内力形变的大小，用形变量与原尺寸的比值表示弹性应力是指材料在外力作用下产生的应力，应变则是材料在外力作用下产生的形变。应力与应变之间存在着密切的关系，两者是相互依存的。胡克定律概述胡克定律描述了弹性材料的应力和应变之间的线性关系，它是一个基本原理，用于理解弹性材料的力学行为。公式胡克定律公式表示为：σ=Eε，其中σ是应力，ε是应变，E是材料的杨氏模量。平面应力与平面应变1平面应力应力仅在平面内变化2平面应变应变仅在平面内变化3应用场景薄板，薄壳，薄壁构件平面应力状态下，物体内部的应力仅在平面内变化，而垂直于该平面的应力可以忽略不计。例如，一块薄板承受均匀拉力，则板内部的应力主要分布在板的表面，而板内部的应力可以忽略不计。平面应变状态下，物体内部的应变仅在平面内变化，而垂直于该平面的应变可以忽略不计。例如，一根细长的杆承受轴向拉力，则杆内部的应变主要分布在杆的横截面上，而杆内部的应变可以忽略不计。平面应力和平面应变是弹性力学中最常见的两种应力状态，它们广泛应用于工程实践中。平面问题的薛定谔方程1平衡方程描述弹性体内应力与外力的平衡关系，保证物体处于静止状态。2几何方程建立应变与位移之间的关系，描述弹性体的变形特征。3物理方程描述应力与应变之间的关系，反映材料的力学性质。平面应力问题的薛定谔方程1基本假设平面应力状态，应力在材料厚度方向上为零。2控制方程平衡方程、应力-应变关系、相容方程。3边界条件在边界上的应力或位移的指定值。4解法解析解、数值解或实验解。平面应力问题的薛定谔方程是求解平面应力问题的基础。它是一个二阶偏微分方程，描述了平面应力状态下材料的弹性变形。该方程的求解需要满足平衡方程、应力-应变关系和相容方程。平面应变问题的薛定谔方程应变状态平面应变问题假设物体在z方向上的应变为零，且不随z变化，只存在x和y方向上的应变。薛定谔方程形式平面应变问题的薛定谔方程与平面应力问题类似，但边界条件有所不同。求解方法常用方法包括应力函数法、有限元法等。应力函数法适用于简单几何形状的物体。应用场景平面应变问题广泛应用于薄板、坝体等工程结构的力学分析中。薛定谔方程的基本解积分曲线薛定谔方程的基本解可以用积分曲线表示，积分曲线展现了系统的演化过程，为我们理解和分析弹性系统的行为提供了宝贵的直观参考。解的形式基本解可以是多种形式，例如指数形式、三角函数形式或线性组合等，每种形式对应着不同的边界条件和物理意义。应用薛定谔方程的基本解为求解各种具体问题提供了基础，例如求解特定边界条件下弹性体的应力分布、变形情况等。应力函数法11.简介应力函数法是一种求解弹性力学问题的常用方法。它基于应力函数的概念，通过求解一个或多个应力函数来确定物体内部的应力分布。22.优势应力函数法可以简化计算过程，使问题更容易求解。它能够将复杂的偏微分方程转化为更容易处理的方程组。33.应用应力函数法广泛应用于各种弹性力学问题，例如梁、板、壳等结构的应力分析。44.发展随着计算机技术的发展，应力函数法也得到了进一步发展，出现了数值方法和有限元方法等新的求解方法。平面问题的应力函数平面问题的应力函数是解决弹性力学问题的一种重要方法。应力函数是一个标量函数，它可以用来表示平面问题中的应力分量。平面问题是指在一个薄板或薄壳中，应力分量只与两个坐标方向有关，而与第三个坐标方向无关。例如，在薄板中，应力只与薄板的长度和宽度有关，而与厚度无关。在平面问题中，应力函数满足以下方程：∂²φ/∂x²+∂²φ/∂y²=-q其中，φ是应力函数，q是外力密度。这个方程被称为应力函数方程。通过求解应力函数方程，可以得到平面问题中的应力分量。应力函数法是求解弹性力学问题的有效方法，它可以用于各种平面问题，例如薄板弯曲、弹性圆盘等。平面应力问题的应力函数平面应力问题是指在薄板中，其厚度方向的应力远小于其平面方向的应力。在这种情况下，我们可以使用平面应力理论来简化问题，从而获得更简单的解。平面应力问题的应力函数是指一个满足一定边界条件的函数，它可以用来描述薄板中的应力分布。应力函数的选择取决于边界条件和薄板的形状。通常，我们可以使用Airy应力函数来解决平面应力问题。Airy应力函数是一个二阶偏微分方程，它可以通过求解该方程来获得薄板中的应力分布。平面应变问题的应力函数平面应变问题是指物体在一个方向上的应变为零，而另外两个方向上的应变不为零。平面应变问题通常用于分析薄板、薄壁构件等。2维数二维3边界条件应力边界条件1应力沿一个方向为零2解法应力函数法轴对称问题的应力分析对称性轴对称问题是指物体形状和载荷关于某一轴对称径向应力径向应力是指垂直于物体截面的应力分量周向应力周向应力是指平行于物体截面的应力分量圆柱坐标系轴对称问题通常使用圆柱坐标系进行分析轴对称问题的应变分析圆形物体应变对于轴对称问题，应变分析通常涉及圆形物体，例如圆形板或圆柱体。应变测量可以使用应变计等传感器来测量轴对称物体上的应变，以了解材料的变形情况。有限元分析有限元方法是一种强大的工具，可以模拟轴对称问题中的应变分布，提供更精确的分析结果。三维应力与三维应变三维应力三维应力指的是物体内部各点在各个方向上的受力情况，它是一个六个分量组成的张量。三维应力可以用来描述物体内部的受力状态。三维应变三维应变指的是物体在受力作用下发生的形变，它是一个六个分量组成的张量，用来描述物体的形变程度。三维问题的薛定谔方程1方程的推导通过将三维应力平衡方程和几何方程结合，可以推导出三维问题的薛定谔方程。2方程的形式该方程是一个偏微分方程，描述了物体内部应力状态随空间坐标的变化关系。3应用范围该方程适用于各种三维弹性问题，如复杂形状的构件、多材料复合材料的分析等。三维问题的应力函数定义应力函数是一个标量函数，它可以用来表示弹性体内的应力状态。在三维情况下，应力函数是一个六维矢量，它包含了六个应力分量。应用应力函数可以用来求解弹性体内的应力分布，例如：应力集中、孔洞附近的应力、裂纹尖端的应力等。它在工程设计中具有重要意义，可以帮助工程师更好地理解和预测材料的力学行为。挠曲理论变形分析在载荷作用下，梁发生弯曲变形，呈现出挠曲现象。挠曲理论用来分析这种变形规律。力学模型挠曲理论建立在弹性力学的基础上，将梁视为理想弹性体，并利用微积分方法进行分析。应用广泛挠曲理论广泛应用于工程实践中，例如桥梁、建筑、机械等结构的设计和分析。梁的挠曲基本方程1弯矩梁的弯矩与其挠度成正比。2剪力剪力与挠度的导数成正比。3分布荷载分布荷载与挠度的二阶导数成正比。梁的挠曲基本方程描述了梁的弯曲行为，它将梁的挠度、弯矩、剪力和分布荷载联系在一起。简支梁的挠曲1挠曲方程简支梁挠曲方程的求解2边界条件简支梁两端固定，无约束3挠曲曲线挠曲曲线形状的分析4最大挠度挠曲曲线最大值的计算简支梁是常见结构之一，在工程应用中被广泛使用。对简支梁进行挠曲分析，可以了解梁在受载情况下的变形情况，从而评估梁的承载能力。挠曲方程是描述简支梁挠曲的数学表达式，通过求解该方程，可以获得简支梁在不同载荷下的挠曲曲线以及最大挠度。为了求解挠曲方程，需要根据简支梁的具体情况设置边界条件，例如简支梁两端固定，无约束等。通过分析简支梁的挠曲曲线，可以了解梁的变形趋势，并根据最大挠度判断梁是否符合设计要求。悬臂梁的挠曲固定端受力悬臂梁一端固定，另一端自由，受力后会产生弯曲变形，称为挠曲。挠曲方程悬臂梁挠曲方程是描述梁在受力后形状变化的数学表达式，可用于计算梁的挠度和转角。影响因素悬臂梁挠曲受梁的材料性质、截面形状、尺寸、载荷类型和位置等因素影响。应用场景悬臂梁广泛应用于建筑、桥梁、机械、航空等领域，例如房屋的阳台、桥梁的悬臂部分、飞机的机翼等。连续梁的挠曲1边界条件连续梁具有多个支点，每个支点都有不同的约束条件。2挠度方程根据边界条件，可以推导出连续梁的挠度方程。3数值求解利用有限元方法或其他数值方法，可以求解连续梁的挠度。4实际应用连续梁广泛应用于桥梁、建筑等工程结构中。连续梁的挠曲分析需要考虑多个支点的影响，并根据不同的边界条件推导出挠度方程。数值求解是分析连续梁挠曲的关键步骤，可以利用有限元方法等来获得准确的挠度值。薄壁构件的挠曲11.薄壁构件的特点薄壁构件是指壁厚远小于其长度或宽度尺寸的构件，具有较大的挠曲变形。22.挠曲变形的影响因素材料的弹性模量、截面形状和尺寸、外力的大小和方向等因素都会影响薄壁构件的挠曲变形。33.计算方法薄壁构件的挠曲计算通常采用有限元分析法，可以精确地模拟复杂的形状和载荷条件。44.应用范围薄壁构件广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域。稳定理论结构稳定性稳定理论研究结构在受到外力作用下的稳定性。结构稳定性是指结构在受到外力作用下，能够保持原有形状和位置的能力。失稳现象当外力超过一定限度时，结构将失去稳定性，发生变形或破坏，这就是失稳现象。稳定性分析稳定性分析是结构设计中重要的环节之一，它可以帮助工程师预测结构在不同载荷条件下的稳定性，并选择合适的材料和结构形式。柱的稳定柱的稳定性柱在轴向压力作用下发生失稳现象，即发生弯曲变形。失稳临界荷载是柱体所能承受的最大轴向压力，超过该荷载，柱体将发生突然弯曲失稳。影响因素柱的稳定性受多种因素影响，包括柱长、截面形状、材料性质、约束条件等。柱越长，越容易发生失稳；截面越细长，越容易发生失稳；材料越软，越容易发生失稳；约束条件越少，越容易发生失稳。临界荷载临界荷载是指使结构失去稳定平衡的最小载荷。当外力超过临界荷载时，结构将发生屈曲变形，最终导致破坏。临界荷载结构类型计算公式Euler临界荷载细长柱Pcr=π^2EI/L^2Johnson临界荷载中等长柱Pcr=(π^2EI/L^2)*(1-(L/2r)^2)稳定性分析11.