广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题

广东省茂名市电白区2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线经过点(−1，0)，焦点分别为F1A．x22−y2=1 B．x2．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，设A．1 B．−1 C．0 D．23．若点P(a，b)在圆x2A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定4．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中正午时刻日影最长的一天被定为冬至，从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺5．过抛物线y2=2x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点横坐标为2，则A．3 B．4 C．5 D．66．如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长都是1，M是BC的中点，CN=λA．12 B．13 C．147．已知数列{xn}满足x1=1，x2=23A．(23)n−1 B．(328．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值。在棱长为1的正方体ABCD−A1B1CA．22 B．12 C．13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如果AB<0，BC>0，那么直线Ax+By+C=0经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知角α∈[−π2，A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．两条直线11．一条光线从点A(−2，3)射出，经x轴反射后，与圆C：A．4x+3y−1=0 B．4x−3y−1=0 C．3x−4y−6=0 D．3x+4y−6=012．数列{an}满足：a1=1A．数列{aB．aC．数列{aD．{an}的前三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆x2+y2−6x+4y+12=014．已知双曲线x24−y212=1的两个焦点分别为F1与F15．已知数列{an}满足：a116．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A在C上，点B四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若（1）求数列{a（2）若bn=log2a2n，求数列18．已知圆x2+y2−4=0与x（1）求AB的长；（2）求圆心在直线2x−y−3=0上，且经过A，B两点的圆的方程。19．已知点P(2，3)和圆Q：(x+4)2+(y+2)2=9，过点P（1）求切线PA，PB的长；（2）求直线AB的方程。20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PCL底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，PC=AB=2AD=2CD=2，点E在棱PB上．（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；（2）当BE=2EP时，求二面角P-AC-21．已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米．（1）建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；（2）当水面上涨0.5米时，木船能否通行？（3）当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？22．已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为A，离心率为（1）求椭圆C1（2）过原点的直线l与C相交于B，C两点，直线AB，AC分别与C1相交于P，Q①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值；②记△ABC和△APQ的面积分别是S1，S2，求

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为双曲线的焦点分别为F1(−2，0)、F2(2，0)，所以，设双曲线的标准方程为

x2a2−y故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合双曲线的焦点坐标得出c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式和代入法，进而解方程组得出a，b的值，从而得出双曲线的标准方程。2．【答案】A【解析】【解答】解：因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，设AB=a，AD=b，AA1=c，

设AC→,B1C→的夹角为θ，连接AB1，

又因为AC=B1C=AB1，则∆ACB13．【答案】B【解析】【解答】解：因为点P(a，b)在圆x2+y2=1内，所以，a2+b2<1，

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合点与圆的位置关系得出a2+b2<14．【答案】A【解析】【解答】解：依题意，设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、

芒种这十二个节气构成的日影长为等差数列an，公差为d，

则冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，则a1+a4+a7=31.5，

则a1+a1+3d+故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，进而将问题转化为等差数列的问题，再利用等差数列的通项公式，从而解方程组得出首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出大寒、惊蛰、谷雨日影长之和。5．【答案】C【解析】【解答】解：过抛物线y2=2x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为2，

设点Ax1,y1故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出p的值，再结合中点坐标公式和抛物线的定义以及两点距离公式，进而得出AB的长。6．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意，建立空间直角坐标系如图：

则A0,-12,0,B10,12,1,M-34,14,0,C-所以，-14+λ=0，则λ=

【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，再利用向量共线的坐标表示得出点的坐标，从而得出向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出实数λ的值。7．【答案】A【解析】【解答】解：因为xn2xn−1xn+1=1（n∈N*，且n≥2），则xn−1xn+1=xn2，x故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，进而判断出数列{xn}是以首项为1，公比为28．【答案】D【解析】【解答】解：因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，建立以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：

则A1,0,0,C0,1,0,D0,0,0,A11,0,1,可得AC→=-1,1,0,DA1→=1,0,1,DA→故答案为：D.

【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出法向量，再由数量积求投影的方法和异面直线的距离求解方法，进而得出异面直线AC与A19．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为AB<0，BC>0，则A，B异号，B，C同号，则A，C异号，

当A>0,B<0,C<0时，因为直线Ax+By+C=0⇒y=-ABx-CB，

所以，-AB>0，-CB<0，则直线恒过第一、三、四象限；

当A<0,B>0,C>0故答案为：ACD.

【分析】利用已知条件结合同号为正、异号为负的性质，再利用分类讨论的方法结合直线的斜率与纵截距与直线的图象的关系，进而判断出直线Ax+By+C=0经过的象限。10．【答案】A,B,C,D【解析】【解答】解：因为角α∈[−π2，π2]，则-1≤sinα≤1，

当sinα=1时，则方程x2+y2sinα=1为x2+y2=1，此时方程x2+y2sinα=1可能表示圆；

当0<sinα<1时，则方程x2+故答案为：ABCD.

【分析】利用已知条件结合角的取值范围和正弦函数的图象，进而得出正弦函数的值域，再利用分类讨论的方法和圆、椭圆、双曲线和两条直线的定义，进而判断出方程x211．【答案】A,D【解析】【解答】解：因为圆心C3,2，半径r为1，反射光线所在直线经过点A关于x轴对称的点A'-2,-3，

根据题意，可知反射光线的斜率存在，设直线y+3=kx+2⇒kx-y+2k-3=0

与圆C：(x−3)2+(y−2)2=1相切，所以圆心C到直线kx-y+2k-3=0的距离等于圆的半径长，

所以，3k-2+2k-3k故答案为：AD.

【分析】利用已知条件结合点与点关于x轴对称的求解方法得出点A关于x轴对称的点A'的坐标，再结合反射直线过点A'，从而设出直线的点斜式方程，再转化为直线的一般式方程，再利用圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再根据点到直线的距离公式和直线与圆相切位置关系判断方法，进而对得出反射直线的斜率，从而得出反射光线所在直线方程，进而找出不是反射光线所在直线方程。12．【答案】A,B【解析】【解答】解：因为数列{an}满足：a1=1，an+1−3an−1=0，n∈N*，

所以，an+1+12=3(an+12)，n∈N*，则数列{an+12}为首项为a1+故答案为：AB.

【分析】利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，进而判断出数列{an+12}为等比数列，从而判断出选项A；利用等比数列的通项公式得出数列{a13．【答案】5【解析】【解答】解：圆x2+y2−6x+4y+12=0的圆心为C13,-2，半径r1为1，

圆x故答案为：5.

【分析】利用已知条件结合圆的标准方程得出两圆的圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式得出两圆心之间的距离。14．【答案】9【解析】【解答】解：因为双曲线x24−y212=1中a>0,b>0,c>0,

所以a=4=2,b=12=23,c=a2+b2=22+232=4，故答案为：9.

【分析】利用已知条件结合双曲线标准方程确定焦点的位置，进而得出a，b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，从而得出两焦点坐标，再结合双曲线的定义得出|MF15．【答案】2【解析】【解答】解：因为数列{an}满足：a1+a221+a322+a423+⋯+an2n−1=2n，

令故答案为：2n

【分析】利用已知条件结合换元法和数列求和公式以及Sn,an的关系式，再利用分类讨论的方法和检验法得出数列16．【答案】10【解析】【解答】解：因为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1-c,0、F2c,0，

因为点A在椭圆C上，设Ax1,y1，又因为点B在y轴上，设B0,m故答案为：105

【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，再利用向量共线的坐标表示和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而解方程组和椭圆的离心率公式，进而得出椭圆C的离心率的值。17．【答案】（1）由题意可知a解得a所以数列{an}（2）b数列{bn}的前n【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列前n项和公式，从而解方程组求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列{an}的通项公式。

（2）利用bn=log2a2n18．【答案】（1）解：解法1：两圆方程相减得−4+4x−4y+12=0即x−y+2=0圆x2+y2−4=0的圆心为(0，0)，半径为2，圆心解法2：由x2+y2−4=0x所以|AB（2）解：解法1：由x2+y2−4=0x2+AB的垂直平分线为y=−x，由y=−x2x−y−3=0得圆心坐标为M(1，−1)，半径长为解法2：圆x2+y2−4=0的圆心为O(0，0)，x2+y2−4x+4y−12=0点N到AB的距离d=|1+1+2|2=22，半径长为：r=解法3：设经过A，B两点的圆的方程为x2x2+因为圆心在直线2x−y−3=0上，所以4λ1+λ−所以圆心在直线2x−y−3=0上，且经过A，B两点的圆的方程为x【解析】【分析】（1）利用两种方法求解。解法一：利用已知条件结合两圆方程联立作差法得出公共弦所在的直线方程，再由圆的标准方程得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，从而由垂径定理得出AB的长；解法二：联立两圆方程得出交点A，B的坐标，再利用两点距离公式得出AB的长。

（2）利用三种方法求解。解法1：联立两圆方程得出交点A，B的坐标，再结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线AB的垂直平分线，再联立两直线方程得出圆心坐标，由两点距离公式得出圆的半径长，从而得出圆心在直线2x−y−3=0上，且经过A，B两点的圆的方程；解法2：利用圆x2+y2−4=0得出圆心坐标，再利用圆x2+y2−4x+4y−12=0得出圆心坐标，从而得出经过两圆交点的圆的圆心在这两圆心所在直线OM方程，联立两直线方程得出圆心坐标，再将两圆方程相减得出公共弦AB所在的直线方程，由点到直线的距离公式得出点N到AB的距离，再由勾股定理得出半径长，从而得出圆心在直线2x−y−3=0上，且经过A，B两点的圆的方程；解法3：设经过A，B两点的圆的方程为19．【答案】（1）解：圆Q的圆心为Q(−4，−2)，半径r=3，因为PA⊥QA，PB⊥QB所以，PA，PB（2）解：解法1：因为PA⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ为直径的圆上，圆心为PQ的中点C(−1，12)，半径长为|PQ|2(x+1)2+(y−由x2+y2+2x−y−14=0(x+4)2解法2：因为PA⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ为直径的圆上，又知P(2，3)、Q(−4，−2)，故以x由x2+y2+2x−y−14=0(x+4)【解析】【分析】（1）利用圆Q的标准方程得出圆心坐标和半径长，再结合勾股定理得出PQ的长，根据PA⊥QA，PB⊥QB结合勾股定理得出PA，PB的长。

（2）利用两种方法求解。解法1：利用PA⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ为直径的圆上，再利用中点坐标公式得出PQ的中点坐标，进而得出圆心坐标，再结合两点距离公式和直径与半径的关系，进而得出圆的半径长，从而得出圆解法2：利用PA⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ为直径的圆上，再利用P(2，3)、Q(−4，−2)得出以20．【答案】（1）证明：因为PC⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PC⊥AC．因为AB=2，AD=CD=1，所以AC=BC=2所以AC2+B又因为PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC．又AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC（2）解：解法一：以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(2设点E的坐标为(x，y，z)，因为BE=2即x=23，y=0，z=4所以CA=(0，2设平面ACE的一个法向量为n=(x，y所以2y=023x+43z=0所以平面ACE的一个法向量为n=(2又因为BC⊥平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为CB=(设平面PAC与平面ACE的夹角为θ，则cosθ=|所以，二面角P−AC−E的余弦值为22解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(1，−1，0)，所以BE=故CE设平面ACE的一个法向量为n=(x，y所以x+y=013x−13y+4所以，平面ACE的一个法向量为n=(3又因为BC⊥平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为CB=(1设平面PAC与平面ACE的夹角为θ，则cosθ=|所以，二面角P−AC−E的余弦值为2【解析】【分析】（1）利用线面垂直的定义证出线线垂直，再结合勾股定理证出线线垂直，根据线线垂直证出线面垂直，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面EAC⊥平面PBC。

（2）利用两种方法求解。解法一：以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，从而结合向量共线的坐标表示得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及线面垂直的性质定理，进而得出平面ACE的一个法向量和平面PAC的一个法向量，再利用数量积求向量夹角的余弦值的公式得出二面角P−AC−E的余弦值；解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，再结合向量共线的坐标表示得出点的坐标和向量的坐标，结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及线面垂直的性质定理，进而得出平面ACE的一个法向量和平面PAC的一个法向量，再利用数量积求向量夹角的余弦值的公式得出二面角P−AC−E的余弦值。

21．【答案】（1）解：以拱顶为原点，拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系．

设抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，

则点B(4，−5)在抛物线上，代入方程得2p=​​​​​​​（2）解：当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米，设F(a，−3.75)，代入方程得|EF|=2|a|=43（3）解：假设当水面上涨h米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为4