湖南省张家界市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题

湖南省张家界市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分阅卷人一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。得分1．35是等差数列3，5，7，9，…的（）A．第16项 B．第17项 C．第18项 D．第19项2．若直线经过A(1，0)A．30° B．45° C．60° D．135°3．抛物线y2=4x的焦点到直线A．1 B．2 C．22 4．已知向量p=(1，3，λ)，aA．−2 B．−1 C．1 D．25．若直线x−y−2=0被圆(x−a)2+y2=4A．－2 B．0 C．4 D．0或46．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的54，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的1A．“徵､商､羽”的频率成等比数列B．“宫､徵､商”的频率成等比数列C．“宫､商､角”的频率成等比数列D．“商､羽､角”的频率成等比数列7．设F1，F2为椭圆C1：x2a2+y2b2A．[52，62] B．[8．设a=ln2，b=1.09，A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a阅卷人二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。得分9．已知直线l：3x+y−1=0A．直线l过点(3B．直线l的斜率为3C．直线l的倾斜角为120D．直线l在y轴上的截距为110．数列{an}的前n项和为SA．a1=6 B．数列C．当n>4时，an>0 D．当n=3或4时，11．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1DA．EF//ACB．EF⊥平面BC．异面直线EF与D1D．平面B1CD112．已知双曲线x2−y22=1的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1A．若∠F1PFB．直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则|PM|=|NQ|C．若PA1的斜率的范围为[−8，D．存在直线l：2x−y−1=0，使得弦PQ的中点坐标为(阅卷人三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。得分13．已知向量a=(2，3，1)，b=(−414．已知抛物线的准线方程为x=−12，则抛物线的标准方程为15．若函数f(x)=ax+cosx在R上单调递减，则实数a的取值范围是16．记R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足xn+1=xn−f(xn)f'(xn)的数列{xn}称为“牛顿数列”．若函数f(x阅卷人四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。得分17．已知函数f(x)（1）求曲线y=f(x)（2）求函数f(18．已知直线l：3x+4y+12=0和圆C：x2（1）求圆C的圆心坐标和半径；（2）求经过圆C的圆心且与直线l垂直的直线方程.19．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S2=6，且（1）求数列{a（2）已知bn=anlog220．如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2，PQ=AB=1，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.（1）求证：EF//平面CPM；（2）求平面ABQP与平面CPM的夹角的大小.21．在直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（1）求椭圆的方程；（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有OA⋅22．已知函数f(x)=e（1）讨论函数g(（2）设h(x)=f(

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：等差数列3，5，7，9，…的首项为3，公差为2，

所以等差数列的通项公式为an=3+2(n-1)=2n+1，

令2n+1=35，解得=17，故答案为：B.【分析】首先求数列的通项公式，即可求解.2．【答案】C【解析】【解答】解：由直线经过A(1，0)，B(2，3)两点，

可得直线AB的斜率为3-02-1=3，

设直线故答案为：C.【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.3．【答案】B【解析】【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），

焦点到直线x−y+1=0的距离为故答案为：B.【分析】首先求焦点坐标，再求点到直线的距离.4．【答案】C【解析】【解答】解：因为p=(1，3，λ)，a=故答案为：C.【分析】利用空间向量共面定理构造方程组即可求得结果.5．【答案】D【解析】【解答】解：圆(x−a)2+y2=4的圆心为（a,0），半径为2，

设圆心到直线x−y−2=0的距离为d，

则22=24-d2，解得d=2故答案为：D.【分析】根据圆的弦长求出圆心到直线x−y−2=0的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.6．【答案】D【解析】【解答】解：设“宫”的频率为1，

则“徵”的频率为54，“商”的频率为58，“羽”的频率为2532因为1×2564=（58故答案为：D.【分析】依题意求出“宫､徵､商､羽､角”这5个音阶的频率，根据等比数列的定义可得答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：已知如图所示：

根据椭圆及双曲线的定义可得：|MF1所以|MF在△MF1F2中，∠F1整理可得，a1两边同时除以c2可得，(又因为e1=c所以有(1所以(1因为e1∈[2所以43≤1e1所以23则63≤1故答案为：C.

【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得|MF1|=a1+a8．【答案】A【解析】【解答】解：a=ln2<lne=1<b,令f(x)=ex−令g(x)=ex−2x，则g'(x)=ex当x∈(−∞,ln2)时，当x∈(ln2,+∞)时，所以f'所以f(x)在R上单调递增，所以f(0.3)>f(0)=0，即e0.3-(0.3)2-1>0综上，a<b<c.故答案为：A.【分析】易得a<b，a<c，构造函数f(x)=ex-9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：直线l：3x+y−1=0，即直线l：y=−对于A，令x=3，可得y=−2，即直线l过点(对于B，直线l的斜率为−3对于C，设直线l的倾斜角为α，且0∘≤α<180所以α=120∘，即直线l的倾斜角为对于D，直线l在y轴上的截距为1，故D正确。故答案为：ACD.【分析】根据直线方程逐项分析各判断即可.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由Sn=−n2+7n两式相减得：Sn即n≥2时，an又当n=1时，a1=S所以可得an因为an-an-1=-2，所以数列{an由Sn=−n2+7n=−(n−72)2+故答案为：ABD.【分析】利用Sn与an的关系式可求得11．【答案】A,B【解析】【解答】解：连接AB因为E是A1B的中点，由正方体性质可知，E是A1又因为F是B1C的中点，所以EF是△B连接BD，四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又由正方体性质可知，AC⊥BB1，BB1∩BD=B所以AC⊥平面B1又EF//AC，所以EF⊥平面B1由EF//AC可得，异面直线EF与D1C所成的角即为直线AC与也即∠D1CA是异面直线EF连接AD1，易得△AD即异面直线EF与D1C所成的角为易知BD⊥AC，由正方体性质可知BD⊥CC又CC1∩AC=C，C所以BD⊥平面A1又AC1⊂平面A同理可证AC1⊥A1D，A1D∩BD=D，同理可证AC1⊥因为正方体棱长为2，所以正三角形A1BD和正三角形CB1D设C1到平面CB1则由等体积法可得VC1−C同理有A到平面A1BC的距离也为又易知AC1=23，所以平面B1故答案为：AB.

【分析】利用三角形中位线性质可判断A；再由线面垂直的判定定理及其性质可求判断B；由异面直线定义可求得异面直线EF与D1C所成角的大小为60∘，可判断C；利用等体积法和正方体对称性，即可得平面B112．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：已知如图所示：

在双曲线x2−a=1对于A：在双曲线的焦点三角形△PF|PF2|−|P所以S△P对于B，不妨设x2−y22设直线l:y=kx+m，与x2联立x2−y应满足k2−2≠0且由韦达定理可知：x1+x所以线段PQ的中点与线段MN的中点重合，不妨设为T.由|PT|=|QT|,|NT|=|MT|可知对于C，设P(x0,y0所以若PA1的斜率范围为[−8,−4]，则对于D，联立2x−y−1=0x2−y22=1故答案为：ABC.【分析】对于A：利用余弦定理及双曲线的定义求出|PF2||PF1|，进而可得三角形的面积；对于B：设x2−y2213．【答案】2【解析】【解答】解：∵a=(2,3,∴a解得x=2。故答案为：2.【分析】由向量垂直的坐标表示列出方程计算即可求得.14．【答案】y2=2x【解析】【解答】解：设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，

由题意可知，−p2=−12故答案为：y2【分析】根据抛物线方程与准线的关系，列式求解.15．【答案】(-∞，-1]【解析】【解答】解：因为f(x)=ax+cosx，

所以因为函数f(x)在R上单调递减，

所以f'(x)≤0在R上恒成立，即a≤sin因为sinx∈[−1,1]，所以a≤−1，故答案为：(−∞,【分析】根据题意，转化为f'(x)≤0在R上恒成立，得到a≤sin16．【答案】4；25【解析】【解答】解：因为f(x)=x²−x，所以f'(x)=2x−1，由a1=2，a1=lnx1x1−1，所以x由xn+1=x所以an+1=lnxn+1xn+1−1=所以an=2因为tSn−14≤Sn2对任意的所以t≤Sn+令g(x)=x+14x，根据对勾函数的性质可得g(x)=x+14x在(0,又2=S1<14<所以t≤S2+14S故答案为：4；253【分析】求出函数的导函数，即可得到xn+1=xn22xn−1，再由a1求出x1，即可求出x2，从而求出a2，又x17．【答案】（1）解：由题设f则f$f(所以点(1，f(1（2）解：由(1)f由f'(x)>0，有x<0或x>23，由f'(x)<0，有0<x<2【解析】【分析】（1）首先求出导函数，再根据导数的几何意义求切线方程；

（2）首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的极值.18．【答案】（1）解：圆C可化为(x+1则圆心为C(（2）解：设与直线l：3x+4y+12=0垂直的直线的方程为4x−3y+a=0已求出圆C的圆心坐标为又因为直线l经过圆心，所以4×(−1)故所求直线方程为4x-3y+10=0【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可；

（2）首先利用垂直关系设所求直线方程为4x−3y+a=0，再代入圆心坐标即可求解。19．【答案】（1）解：因为数列{an}是等比数列，设公比为q差数列，所以a1解得a1所以an（2）解：把an=2n则Tn由①×2得2⋅T由①-②得−化简得−解得T【解析】【分析】（1）根据条件建立首项和公比的方程组，求解方程组，再由等比数列的通项公式即可求得；

（2）求出bn20．【答案】（1）证明：连接EM，因为AB//CD，PQ//CD，所以AB//PQ，又PQ=AB，所以PABQ为平行四边形，

因为点E，M分别为AP，BQ的中点，所以EM//AB，EM=AB，因为AB//CD，CD=2AB，F为CD的中点，所以CF//AB，CF=AB，则EM//CF，EM=CF，所以四边形EFCM为平行四边形，则EF//MC，又因为EF⊄面CPM，MC⊂面CPM，所以EF//平面CPM（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则DPM设平面$ABQP$的法向量为n1则n1⋅PM=x1+即n2设平面ABQP与平面CPM所成夹角为θ，则cosθ=|n【解析】【分析】（1）利用平行关系，转化为证明四边形EFCM是平行四边形，通过线线平行证明线面平行；

（2）根据垂直关系，以点D为原点建立空间直角坐标系，分别求平面ABQP和平面CPM的法向量，根据法向量求平面夹角的余弦值.21．【答案】（1）解：依题意可得e=ca=解得a=2，b=1（2）解：存在，其定圆的方程是x2设原点O到直线l的距离为d，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=n所以n2+4当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m所以|m整理得m由x24+Δ=(x=OA5m2−4所以5d2−4=0综上，当OA⋅OB=0其方程是x【解析】【分析】（1）根据离心率与三角形的面积公式得a，b，c的值，进而得椭圆的方程.

（2）讨论直线l的斜率不存在，设其方程为x=n，根据OA⋅OB=022．【答案】（1）解：由g(求导可得g'当a≥0时