数学一过关检测：第三章基本初等函数（Ⅰ）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精《基本初等函数(Ⅰ)》测评(时间90分钟,满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分)1。(）—0.3，20.1，（)0.4按由小到大排列的顺序是（）A.（)0.4〈20。1<（）—0。3B.20.1<(）0.4〈（）-0。3C。（)—0.3<20。1〈（）0。4D.（2）0。4〈（）-0。3<20。1解析：化为同底2，然后利用指数函数y＝2x的单调性比较。答案：B2.函数f（x)＝（a2-1）x在（-∞，＋∞）上是减函数，则a的取值范围是（)A。｜a|＞1B.｜a|＞2C。a>D.1<｜a|〈解析:解0<a2-1<1即可。答案：D3.当a>1时，在同一坐标系中,函数y=a—x与y=logax的图象是（）图1解析:函数y=a—x的图象与y=ax的图象关于y轴对称，由a>1易得函数y=a—x=(）x的图象与y=logax的图象如图。答案：A4.已知函数f(x)=则f［f()］的值是(）A.9B。C。—9D。解析：f（）=-2,所以f［f（）］＝f（—2）=3—2=。答案：B5。的值是（)A。B.1C.D。2解析：利用换底公式化成同底对数进行计算.答案：A6。函数y=—logx，x∈（0，8）的值域是（)A。(-3，＋∞）B.（3，＋∞）C.（-∞,—3）D.（—∞,3）解析：∵0＜x＜8,∴logx〉log8=—3.答案:D7。（2006全国高考卷Ⅱ，理8）函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A。f(x)＝(x＞0）B.f（x）＝log2（-x)（x＜0）C.f（x）＝—log2x(x＞0)D.f（x）＝-log2（—x）（x＜0）解析:∵y=f（x)的图象与g(x)=log2x的图象关于原点对称，∴f(x）=-g(—x)=—log2(—x)（x〈0)。答案：D8。函数y＝ax在［0,1］上的最大值与最小值的和为3,则a等于（）A.B。2C。4D.解析：根据a的范围分两种情况讨论.答案：B9。定义在（-∞，+∞）上的任意函数f(x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和，如果f（x）=lg（10x+1），x∈（—∞,+∞），那么…（）A.g(x）=x，h（x)=lg（10x+10—x+2)B.g（x）=［lg(10x+1)+x]，h（x）=［lg（10x+1）-x］C。g(x）=,h（x)=lg(10x+1）D.g(x）=，h(x）=lg(10x+1）+解析:f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)是奇函数,h(x)是偶函数，那么f(-x)=g(-x)+h(—x)=-g(x）+h(x),所以f(x）+f(—x)=2h（x)，f（x）-f（-x）=2g（x),即h(x)=[f（x）+f(-x)］,g(x)=[f(x）—f(-x）］。则g(x)=［lg（10x+1）-lg(10—x+1)］=lg=lg=lg10x=,h（x）=f（x）-g（x）=lg（10x+1）。答案：C1.0世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个(）A.新加坡(270万）B。香港(560万）C。瑞士（700万)D。上海（1200万)解析：两年增长的人口数为56×[(1+0.001)2—1］≈0.1120（亿)。答案：D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.函数f（x）=loga(a＞0且a≠1），f(2)=3，则f（—2）的值为_________。解析:容易证明函数f（x）是奇函数,利用奇函数的性质可以得到f（—2）的值。答案：-312。函数y＝ax—2＋2恒过定点____________。解析：函数y=ax的图象恒过点（0,1）,函数y＝ax-2＋2的图象是由y=ax的图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到。答案:(2,3）13.函数y＝f（2x）的定义域是［—1，1），则函数y＝f(log2x)的定义域是___________。解析:—1≤x〈1，所以≤2x〈2。所以≤log2x〈2。解得≤x〈4.答案:[，4）14。设2a＝5b＝10，则+=___________。解析：由2a＝5b＝10，得a＝log210,b＝log5∴+=log102+log105=1。答案：1三、解答题（本大题共4小题,其中15、16题每小题10分，17、18题每小题12分,共44分）15.已知f（x)=2+log3x，x∈［1,9］,求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，以及y取最大值时x的值。分析：本题主要考查对数的运算和二次函数的最值问题,解决本题要熟练掌握对数的运算,同时可将log3x看作一个整体，再利用二次函数求最值的方法求解,当然前提是保证对数式有意义.解：∵f（x）=2+log3x，∴y=[f(x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=（2+1og3x）2+2+2log3x=log32x+6log3x+6=（log3x+3)2-3.∵函数的定义域为［1，9］，∴要使函数y=[f（x)］2+f（x2）有意义，必须∴1≤x≤3。∴0≤log3x≤1.∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13.当log3x=1，即x=3时，y=13。∴当x=3时，函数y=［f（x)］2+f（x2）取得最大值13.16.设a是实数，f(x）=a（x∈R),试确定a的值，使f(x)为奇函数.分析：思路一：可以通过奇函数的定义f(-x）=—f（x）确定a的值。思路二：由于函数的定义域为实数集R,一定有f（0)=0。解法一:若f(x)为奇函数，则f(—x）=—f(x)，即a=-(a)。变形得2a=,解得a=1。∴当a=1时，f（x)为奇函数。解法二：∵函数f（x)=a的定义域为R，由奇函数的定义f（—x）=-f(x），知当x=0时，有f（0）=0。∴f(0）=a=a—1=0,即a=1.∴当a=1时，f(x)为奇函数。17.已知y=f（x）=.(1）求y=f（x）的反函数y=g（x)的解析式；（2）求y=f(x)的值域.分析：本题考查反函数的求法，要求能熟练掌握将指数式化为对数式,而对原函数值域的求解则可利用互为反函数定义域和值域互换这一关系，进而转化为求反函数的定义域.解：(1）y=，∴ye2x+y=e2x—1。∴e2x=。∴2x=ln。∴g（x)=ln.（2）由>0,得—1〈x〈1.∴g(x)的定义域为{x|-1<x<1}.∴原函数f（x）的值域为{y|—1<y<1｝。注：由e2x=>0，也可得f（x)的值域为｛y｜-1〈y〈1}.18。函数y=logax（a>1，x〉1）的图象(如图2）上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m，m+2，m+4.图2(1）若△ABC的面积为S，求S=f（m）的解析式；（2）判断S=f(m）的增减性，并求其值域.分析：本题是一道应用题,第（1）小题要注意对△ABC的面积进行转化，将△ABC的面积看作是梯形EFBA的面积S1+梯形FGCB的面积S2-梯形EGCA的面积S3,然后用m表示。第（2）小题涉及到复合函数单调性的判断方法，要注意自变量的变化对函数值的影响，或可采用换元的方法进行判断.解：（1)由题意可知m〉1，A（m，logam），B（m+2，loga（m+2）），C（m+4,loga（m+4）).梯形EFBA的面积S1=［logam+loga（m+2）］×2，梯形FGCB的面积S2=［loga（m+2）+loga（m+4)］×2，梯形EGCA的面积S3=[logam+loga（m+4）］×4，S△ABC=S1+S2—S3=2loga（m+2）-logam—loga（m+4）=loga=loga（1+）,∴S=loga（1+）（a>1，m>1）为所求。（2）∵m〉1，∴u=是m的减函数.又∵a〉1，S=loga（1+u)是u的增函数，故S=loga（1+）是m的减函数，即S=f（m）在(1，+∞）上是减函数.又∵m〉1时,0〈u〈，∴1〈1+u〈loga.故所求函数的值域为(0,loga）。科海观潮碳14测年法利用宇宙射线产生的放射性同位素碳14来测定含碳物质的年龄,就叫碳14测年。已故著名考古学家厦鼐先生对碳14测定考古年代的作用，给了极高的评价：“由于碳14测定年代法的采用，使不同地区的各种新石器文化有了时间关系的框架,使中国的新石器考古学因为有了确切的年代序列而进入了一个新时期。那么，碳14测年法是如何测定古代遗存的年龄呢？原来,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合成二氧化碳形式后进入所有活组织，先为植物吸收,后为动物纳入.只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便以5730年的半衰期开始衰变并逐渐消失.对于任何含碳物质,只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代.碳14测年法分为常规碳14测年法和加速器质谱碳14测年法两种.当时,Libby发明的就是常规碳14测年法，1950年以来，这种方法的技术与应用在全球有了显著进展,但它的局限性也很明显,即必须使用大量的样品和较长的测量时间.于是,加速器质谱碳14测年技术发展起来了.加速器质谱碳14测年法具有明显的独特优点.一是样品用量少，只需1-5毫克样品就可以了，如一小片织物、骨屑、古陶瓷器表面或气孔中的微量碳粉都可测量；而常规碳14测年