数学优化训练：从速度的倍数到数乘向量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3从速度的倍数到数乘向量3。1数乘向量5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1。下列等式中不正确的是(）A.++=0B。—=C。0·=0D.λ（μa）=λμa解析：选项A说明首尾相连的向量之和为0,还可推广到n个向量首尾相连.对零向量的运算有明确规定，另外运算律也要熟练掌握。0·≠0。答案：C2.化简:（1）5(3a—2b）+4(2b—3a)；（2)6（a—3b+c）-4(—a+b-（3）（x—y）(a+b）-（x-y）(a—b）；（4)(a+2b）+(3a-2b）—(a-b)。解：（1）5（3a—2b）+4（2b-3a）=15a-10b+8b-12a=（2)6(a-3b+c）-4（—a+b-c）=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a(3）(x—y）(a+b)-(x-y）（a-b）=xa+xb—ya-yb—xa+xb+ya—yb=2（x—y）b；（4)(a+2b）+（3a—2b）—（a-b）=（）a+()b=a+b。3。已知两个非零向量a、b,试作=a+b，=a+2b，=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?解:分别作向量、、，过点A、C作直线AC，观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线。事实上,因为=-=a+3b-(a+2b)=b，而=-=a+3b-（a+b）=2b,于是=2，所以，A、B、C三点共线.10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1。已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为D,则等于(）A.a+bB。a+bC。（a+b)D.a+b解析：由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案.答案：C2。已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括A、C点），则等于（)A。λ(+）,λ∈（0,1)B。λ（+），λ∈（0，）C。λ（—），λ∈（0,1）D。λ（-），λ∈（0，)解析：由题意，知=+,又点P在AC上，故存在实数λ∈（0，1）使=λ.答案：A3。若3m+2n=a，m—3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n解：3m+2n=a，m—3n=b,②3×②，得3m-9n=3b.①-③,得11n=a—3b。∴n=.④将④代入②得m=b+3n=.4。在平行四边形ABCD中，=a，=b，求、。解法一:利用平行四边形的性质得==a，==b.∵=+=-,∴=a-b。又∵=+，=，∴=a+b。解法二：将、视为未知量,由向量的加法、减法得：+=，-=.两式相加得2=+，∴=+=a+b。两式相减得2=—,∴=—=a—b.5.用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.证明:如图,已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点。求证:DE∥BC，且DE=。∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴=，=。∴=—=(—）=.又D不在BC上，∴DE∥BC，且DE=。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后)1。已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，则a+b+c的模等于（）A。0B。3C。D.解析:由四边形ABCD为正方形，可知+=，即a+b=c，所以a+b+c=2c。又||=，故a+b+c的模为。答案：C2。已知||=｜｜=1且向量与不共线，则与∠BAC的平分线共线的向量是（)A。B.+C.-D.解析:由｜｜=|｜=1且与不共线，可知以AB、AC为边的平行四边形为菱形，由菱形的性质和向量加法的平行四边形法则可解此题。分析知选B。答案：B3.已知△ABC中，点D在BC边上，且=2，=r+s,则r+s的值是()A.B。C。-3D.0解析：∵=2,∴==r+s。又++=0，∴——=0,即-r-s-=0。∴（1-r）-(s+1)=0,即答案：D4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P,若++=,则点P与△ABC的关系为（)A.P在△ABC的内部B。P在△ABC的外部C.P在AB边或其延长线上D.P在AC边上且是AC的一个三等分点解析：由++=，得++=—，即2=—。∴=2。由向量的数乘的几何意义知选D。答案：D5.如图2-3-1，在△ABC中，BD=DC，AE=3ED，若=a，=b，则等于（）图2—3-1A。b+aB。b-aC。b+aD.b-a解析:=-=-=（+)—=+××=+（-)=-=b-a。答案：B6。已知a与b是不共线向量,实数x、y满足3xa+(10—y)b=2xb+（4y+7)a，则x+y=_____________.解析：∵a、b不共线且3xa+（10—y）b=2xb+（4y+7）a，∴3x=4y+7，10—y=2x.解得x=.故x+y=。答案:7.在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用a、b表示、.解法一：设AC、BD交于点O,则===a，同理,=b。∴=+=-=a—b.同理，=a+b.解法二：设=x，=y，那么+=，—=，即a=x+y，b=y—x。∴x=(a-b），y=（a+b）,即=a—b,=a+b。8.若O、A、B三点不共线,已知=m+n,m、n∈R，且m+n=1，那么点P的位置如何？请说明理由。解：由已知=m+n=m+(1-m）=+m（—），∴-=m（—），即=m。∴与共线,即点P在直线上.说明:由此题可猜想，P、A、B三点共线的充要条件是：存在实数λ、μ使=λ+μ，且λ+μ=1。9。如