数学优化训练：函数y=Asin（ωx+φ）的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3。3函数y=Asin（ωx+φ)的图象5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1。函数y=sin（-3x+）的图象作适当变动就可以得到y=sin（-3x）的图象，这种变动可以是(）A.沿x轴方向向右平移个单位B.沿x轴方向向左平移个单位C。沿x轴方向向右平移个单位D.沿x轴方向向左平移个单位思路解析：方法一（直接法)：由函数y=sin（—3x+)=sin［-3（x—)]的图象变换到函数y=sin（-3x）=sin[-3(x）］的图象，按照“左加右减"的原则，只需沿x轴方向向左平移个单位即可.方法二（逆变换）：由函数y=sin（-3x）=sin［-3（x）］的图象得到函数y=sin（—3x+）=sin［-3（x-）］的图象，需将原图沿x轴方向向右平移个单位.所以反过来说，此问题的答案应该是D.答案:D2.如图1—3—图1A。sin（1+x）B。sin(-1—x）C.sin（x-1）D.sin(1-x）思路解析：“排除法"。根据所给图象经过点（1，0），排除选项A、B,又当x=0时，y＞0，所以排除C项，选D项。“直接法”。下图可以看作是由y=sin(—x）=—sinx的图象向右平移1个单位得到，所以所求解析式为y=sin［—(x-1）］=sin（1—x）.选D项.答案：D3.为了得到函数y=sin（2x—）的图象,可以将函数y=cos2x的图象（）A。向右平移个单位长度B。向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D。向左平移个单位长度思路解析：y=cos2x=sin(2x+）=sin［2（x+）—].答案：B10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.（2004辽宁）已知函数f(x）=sin（πx-)—1,则下列命题正确的是()A。f(x)是周期为1的奇函数B。f(x)是周期为2的偶函数C.f(x）是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数思路解析:f(x）=sin(πx—）—1=—cosπx—1,所以T=2,且f（x)=f（-x）.答案：D2。(2004全国卷Ⅱ）为了得到函数y=sin（2x—)的图象，可以将函数y=cos2x的图象()A。向右平移个单位长度B。向右平移个单位长度C。向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度思路解析：∵y=sin（2x-）=cos［—(2x-)］=cos（-2x)=cos（2x-）=cos[2（x-)]，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度。答案：B3。函数y=3sin(x+)的周期、振幅依次是（)A．4π,3B。4π，—3C。π,3D.π,—思路解析：考查y=Asin（ωx+φ)（A>0，ω>0)的振幅和最小正周期的概念,以及最小正周期的计算公式。由y=3sin(x+）得振幅A=3，周期T=4π.答案：A4.已知函数y=3sin(x-)。（1）用“五点法”作函数的图象；（2）说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变化得到的；（3）求此函数的周期、振幅、初相。思路解析：对于y=Asin（ωx+φ)+h，应明确A、ω决定“形变”，φ、h决定“位变”,A影响值域，ω影响周期,A、ω、φ影响单调性。当选用“先伸缩，后平移"的变化顺序时，一定要注意针对x的变化,向左或向右平移个单位.解:(1）（2)“先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin（x—）的图象;再把y=sin(x—)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin（x-）的图象；最后将y=sin（x—）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变),就得到y=3sin(x-)的图象。(3)略.5.已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1—图1-3此图可以视为函数y=Asin（ωx+φ)（A〉0，ω〉0，|φ｜<)图象的一部分，试求出其解析式。思路解析：本题属于由函数图象求解析式的题型。一般解题方法是：先根据图象找到振幅，即求A的值；根据所给关键点确定函数周期，再利用周期公式T=，从而求出ω的值；在求初相φ时,确定图象的关键点是第几个是非常重要的,代入x0，使ωx0+φ等于对应的关键点横坐标的值，如第一关键点对应0,第二关键点对应……解：已知信号最大、最小的波动幅度为6和—6，所以A=6。又根据图象上相邻两点的坐标为和,间距相当于y=Asin（ωx+φ）的图象的半个周期，∴T=2(—)=π.∵T=,∴T==π.解得ω=2。观察图象，点(,0）是五个关键点中的第三个点,∴×2+φ=π。解得φ=。综上所述，y=6sin（2x+)。6。已知函数y=Asin（ωx+φ）（A〉0，ω〉0，｜φ｜〈）在一个周期内的简图（如图1-3-6）。求其相应的函数表达式，并说明它是由y=sinx经过怎样的变换得到的.图1-3-6思路解析：应求出A、ω、φ，观察图象易知振幅A=2；周期T=—（-）=π=，从而求得ω;对于φ,只需将点(-，0）代入解析式即可通过解方程获得.给出正弦函数在一个周期内的图象，求它的解析式,常采用待定系数法.求解的一般步骤是：（1）设函数的解析式为y=Asin（ωx+φ）+k；（2）观察图象的最高点与最低点，设其纵坐标分别为M、m，则A=，k=；（3）由始点与终点的横坐标x0、x1，求周期即T=x1-x0；（4）依公式ω=，求出ω；（5)通过图象的平移或“五点法”作图的过程求φ.解:因为T=—（-)=π=，所以ω=2.又易知A=2,所以y=2sin（2x+φ）.将点（—，0）代入上式得0=2sin［2×（—）+φ］，即sin（φ—）=0.由|φ｜〈得φ=，所以y=2sin(2x+）.它的图象可由y=sinx的图象作如下变换得到：y=sinxy=sin(x+)y=sin（2x+）y=2sin（2x+）。志鸿教育乐园耳误一小伙子骑自行车为了装酷，把双后脱离了车把，路过岔路口时被交警看见。交警想让这个小伙子双手掌握好方向，就冲他喊了一声：“手掌好！”小伙子开始一愣，随后就扬了扬他的左手，对交警说：“同志们辛苦了！”30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1。函数y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ等于（）A.0B.C。D.π思路解析:把函数图象向左平移个单位即可.答案：C2。(2005天津)要得到y=cosx的图象，只需将函数y=2sin(x+)的图象上所有点的()A。横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变），再向左平行移动π个单位长度B.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变)，再向右平行移动π个单位长度C。横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D。横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度思路解析：y=cosx的周期是y=sin(2x+）的周期的2倍，从周期的变化上知道横坐标应该伸长.排除A、B。y=sin(2x+)的横坐标伸长2倍后变成了y1=sin(x+)，将y=cosx化成正弦形式为y2=sin(x+)，根据口诀“左加右减”得y2由y1向左移动个单位得到的。答案:C3.(2005福建)函数y=sin（ωx+φ)(x∈R,ω>0，0≤φ〈2π)的部分图象如图1—图1-3A.ω=，φ=B.ω=,φ=C。ω=，φ=D。ω=,φ=思路解析:由图易知＝2，∴T=8.而T＝=8，∴ω=。排除A、B.∴函数y=sin（ωx+φ）显然φ＝满足sin（×1+)=1.而φ＝，则sin（×1+）＝—1。排除D.答案：C4.(2005上海)函数f（x）=sinx+2｜sinx|，x∈[0,2π］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_______________.思路解析:对于带有绝对值的函数,首先应该分区间分别写出解析式.画出图象,可以看出有不同个交点时k的范围.f(x）=从图象可以看出直线y=k有且仅有两个不同的交点时1<k<3。答案：1〈k〈35。正弦函数f（x)=Asin（ωx+φ）+k的定义域为R，周期为，初相为，值域为[—1，3］，则f（x）=_______________.思路解析：根据正弦函数f(x）=Asin（ωx+φ）+k的最大值和最小值与A和k的关系，可求出A和k,从而可得出f（x）的表达式。答案：2sin（3x+)+16。函数y=sin（2x-）,当x=_______________时，取最小值。思路解析：根据函数y=sin（2x—）的最小值是—，解方程sin（2x-）=-．答案：kπ—（k∈Z）7。将函数y=sinx的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，然后把纵坐标伸长到原来的5倍，最后把整个图象向下平移4个单位,则所得图象的解析式为_____.答案:y=5sin（2x-）-48.若函数y=f（x）的图象上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线与y=sinx的图象相同.求y=f(x）。解法一:y=sinxsinx+1sin（x—)+1sin（2x—）+1，这就是函数y=f（x)的解析式。解法二：设y=Asin（ωx+φ)+1,