数学优化训练：弧度制

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3弧度制5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列诸命题中，真命题是（）A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位解析：由1弧度的意义可知，选D。答案：D2.下列诸命题中，假命题是（）A.“度"与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B。1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C。根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制,角的大小与半径的长短无关,而是与弧长与半径的比值有关。故应选Ｄ。答案:D3.单位圆中，长为2个单位长度的弧所对的圆心角的弧度数为___________rad.解析：由α=，可得圆心角α的弧度为=2rad.答案：24。-300°化为弧度是，弧度化为角度是____________。解析：-300°=×（—300）rad=,rad=180°×=288°.答案：rad288°10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1。在直角坐标系中，集合S={β｜β=k·，k∈Z｝的元素所表示的角的终边在（）A。第一象限B。x轴上C。y轴上D.坐标轴上解析：终边落在坐标轴上的角的集合应为{β｜β=，k∈Z}易知当整数k为偶数时，β的终边落在x轴上；当k为奇数时，β的终边落在y轴上。所以β角的终边应落在坐标轴上。答案:D2.下列两组角中,终边不相同的是(）A。+kπ与+kπ（k∈Z)B。+2kπ与（k∈Z）C。+2kπ与+2kπ(k∈Z）D。+2kπ与+2kπ（k∈Z）解析：对整数k的取值进行分类讨论。一一验证，易知B、C中两组角终边相同.A中,kπ+和kπ-（k∈Z）的终边相同；D中,由于和不在一个象限，所以它们的终边不相同.答案：D3。化为度应是_____________。解析:∵πrad=180°，∴rad=×180°=144°.答案：144°4。把下列各角化为2kπ+α（0≤α＜2π)的形式，并指出所在的象限。(1）；(2）。解:（1）=6π+，在第二象限;(2)的终边落在y轴的正半轴上。5。某飞轮直径为1。2m，每分钟按逆时针方向旋转300圈,求：（1）飞轮每分钟转过的弧度数；(2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长。解:（1）因为飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，而逆时针方向旋转一周的弧度数为2π,所以飞轮每分钟转过的弧度数是300×2π=600πrad.（2）∵飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，∴每秒钟转5圈.又飞轮直径为1。2m，∴一圈的长（即圆的周长）为1.2πm。因此轮周上的一点每秒钟经过的弧长是5×1.2πm=6πm。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1。下列各命题中正确的是（）A。地球到太阳的距离y与时间t构成的函数是周期函数B。用弧度制表示的角都是正角C.大圆中1弧度角比小圆1弧度角大D。圆心角为1弧度的扇形的弧长相等解析:据物理学知识，任何一时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，且每经过一年地球绕太阳旋转一周，无论哪个时刻t，经过一年，地球又回到原来的位置，所以我们有f（T+t）=f（t），故y=f（t）是周期函数。所以A正确;对于弧度制,定义为弧长等于1个单位长度所对的圆心角大小为1弧度，与圆的大小无关.大小不同的圆1弧度的扇形的弧长不等,所以C、D均不正确.又采用弧度制表示的角，是任意角,可正可负，所以B不正确.答案:A2.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是弧度。解析：设圆的半径为r,则圆内接正三角形的边长为，即弧长为，所以所求圆心角的弧度数为|α｜=.答案：3。地球赤道的半径是6370km，赤道上1°的弧长是__________km。（可用计算器）解析：由于1°=≈0.01745rad，所以赤道上1°的弧长是0.01745×6370km=111.1565km.答案：111。15654.已知α∈(），β∈(，π),求α+2β,α-2β的范围。解：∵〈α<，<β〈π，则<2β〈2π,—2π<—2β<，∴，。5。将下列各角从弧度化为度：（1）；(2)—20.解：（1)rad=×180°=-75°；（2)—20rad≈57.3°×（-20）=-1146°。6。将下列角度数化为弧度数：(1)-12°45′；（2)112°30′.解：(1）-12°45′=-1275°=-12。75×；（2)112°30′=112.5°=112.5×rad.7.已知一扇形的周长是40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r,弧长为l，面积为S，则l+2r=40，∴l=40-2r.∴S=×（40—2r)r=20r—r2=-(r-10)2+100.∴当半径r=10cm时,扇形的面积最大，这个最大值为100cm2,这时θ=rad=2rad。8。已知圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，求这段弧所对的圆心角。解:设圆的半径为r，则圆的外切正三角形的边长为,由题意知弧长为，所以这段弧所对的圆心角的弧度数为rad.9。已知圆上一点A(1，0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ(0＜θ≤π）角，经过2秒钟到达第三象限,经过14秒钟转到与最初位置重合的位置,求θ角的弧度数。解：∵0〈θ≤π，可得0〈2θ≤2π.又∵2θ在第三象限,∴π<2θ≤.由14θ=2kπ（k∈