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第八章解析几何第5课时椭圆及其性质

√常数焦点焦距

√√√√

点拨

椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．

8

考点二椭圆的标准方程椭圆的标准方程图象椭圆焦点的位置焦点在____上焦点在____上焦点坐标(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)焦距___异同点相同点：都满足a2＝b2＋c2.不同点：焦点的位置和坐标不同提醒：椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看分母，焦点随着大的跑”．x轴y轴2c

点拨

1.利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．

√

考点三椭圆的简单几何性质标准方程图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为____；短轴B1B2的长为____焦距|F1F2|＝____离心率a，b，c的关系

c2＝__________2a2b2c(0，1)a2－b2

考向1

椭圆的长轴、短轴、焦距[典例3]

(1)一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面，如图，他先将一根细绳(无弹性)的两端固定在钉子上，然后用笔撑直绳子，转圈画出的图形就是一个椭圆．如果图中的两个钉子之间的距离为0.9m，细绳长为1.5m，将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计，则过该椭圆中心的弦中，最短弦长为(

)A．0.6m B．1.2mC．0.8m D．1.6m√

11

点拨

设P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，当点P，F1，F2不共线时，称△PF1F2为椭圆的焦点三角形．在解决椭圆上的点P与两个焦点F1，F2的距离问题时，常利用椭圆的定义得出|PF1|＋|PF2|＝2a.结合题设条件，在焦点三角形中灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理及整体思想即可完成相关计算．因此，回归定义是求解椭圆问题的常用方法．

√

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