高三数学一轮复习第二章函数第3课时函数的奇偶性、周期性与对称性课件

第二章函数第3课时函数的奇偶性、周期性与对称性考点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于____对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且_______________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于____对称提醒：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑函数定义域．f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点

√

√

A

BC

D√

√

点拨

本例(1)判断函数的奇偶性，首先考虑函数f(x)的定义域是否关于原点对称，其次再根据f(－x)与f(x)关系来判断；本例(2)借助偶函数f

(x)＝f

(－x)来解决；本例(3)中，在考虑函数的定义域、值域和奇偶性等函数的性质的前提下，还应考虑函数的特殊值，利用排除法选出正确选项．

√

A

BC

D

√－4

考点二函数的周期性1．周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小正数

√

点拨

本例(1)解决的关键是抓住f(x＋2)＝f(x)这个条件，一一验证即可；本例(2)根据f

(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f

(－x)；再结合f

(x)＝f

(2－x)得出f(x)是周期为2的函数．跟进训练2已知f(x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(－7)＝(

)A．－1 B．0C．1 D．2

√

√√

点拨

(1)函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)(a>0)，若f(x)为奇函数，则其周期为T＝4a．若f(x)为偶函数，则其周期为T＝2a．(2)函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a和x＝b(a<b)都对称，则函数f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数；(3)函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于两点A(a，y0)、B(b，y0)(a<b)都对称，则函数f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数；(4)函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于A(a，y0)和直线x＝b(a<b)都对称，则函数f(x)是以4(b－a)为周期的周期函数．如在本例(2)中，应用上述技巧(4)可快速确定函数周期．

√√√√

(2)∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1)＝2≠0，可知函数f

(x)不可能同时为偶函数，故A错误；∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)有一条对称轴x＝1，故B正确；由f(1－x)＝f(1＋x)将x换成x＋1得到f(－x)＝f(2＋x)，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的周期为4，故C正确；∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0．∵f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)，∴f(1)＋f