数值分析方法 课件 3-1 插值逼近_第1页
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数值分析方法主编

李冬果李林高磊面向“四新”人才培养普通高等教育系列教材第三章数值逼近基础3.1插值逼近3.2曲线拟合3.3Python程序在数值逼近中的应用

目录/Contents

3.1插值逼近3.1.1.1插值法基本原理代数插值法几何意义3.1.1.2插值问题解存在唯一性

证明：

3.1.2拉格朗日（Lagrange）插值法

类似于线性插值基函数的方法，构造满足条件的二次插值基函数：拉格朗日（Lagrange）插值法插值多项式的误差估计证明：3.1.3Newton插值法差商定义性质3.1.1性质3.1.2性质3.1.3性质3.1.4差商性质Newton插值公式

差商与导数的关系泰勒公式带余项的Newton插值公式解

先构造差商表

故Newton线性插值多项式为所求近似值为

Newton二次插值多项式为

所求近似值为

由性质3.1.4差商与倒数的关系，估计插值的截断误差为3.1.4等距节点的Newton插值公式插值点等距（即

），Newton插值公式将得到简化差分的概念差分与差商的关系考虑到节点时等距的，由差商与向前差分的定义，有等距节点的Newton插值公式例3.1.4

给出余弦函数表如下，试分别用牛顿前差和后差公式计算cos0.048及cos0.566的近似值，并估计误差.解：作差分表

3.1.5Hermite插值Hermite插值多项式的构造Hermite插值多项式的余项估计

解

Hermite的插值多项式为由插值余项的误差估计可以看出：插值多项式与被插函数的逼近程度，与插值节点的数目和位置有关，一般地，节点越多，逼近程度越好。但也有例外，考察函数3.1.6分段线性插值

将插值区间分成若干个小的区间，在每个小区间使用低次插值，然后将每个小区间上的插值多项式相互连接，得到整个区间上的插值函数，这种把插值区间分段的方法就是分段低次插值法.采用基函数方法来构造分段线性插值函数它们的几何图形如图所示，它们具有局部非零性由分段线性插值基函数得区间(a,b)上的分段线性插值函数为

分段三次Hermit插值

3.1.7三次样条插值三次样条函数的构造定义3.3构造三次样条插值函数通常有两种方法：（1）给定插值节点处的二阶导数值作为未知数来求解.在工程上称二阶导数为弯矩，这种方法成为三弯矩插值.（2）是以给定插值节点处的一阶导数作为未知数来求解，而一阶导数又称为斜率，这种方法称为三斜率插值.三次样条函数的求法满足第一边界条件的三弯矩方程组该方程组同样也是严格对角占优方程组，利用追赶法

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