离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量的方差 教学设计

第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差教学设计【教学内容】本节主要内容是离散型随机变量方差的意义、定义（计算公式）、性质及应用。教科书以比较两名同学的射击水平为问题情景，以比较两名同学射击水平的稳定性为任务，类比一组数据方差的定义，以随机变量均值的定义，引入随机变量方差的定义。进而探究随机变量方差的性质。本节例题侧重随机变量方差在实际决策中的应用。【教学目标】（一）课程标准解读1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题；（二）核心素养解读1.数学抽象：方差的理解2.逻辑推理：方差概念的得出3.数学运算：方差与标准差的计算4.数学建模：方差的实际应用【教学重难点】1.教学重点理解离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质。2.教学难点利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题。【教学过程】复习巩固：离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：……则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.均值的性质一、创设情境、问题引入问题一：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03提问：如何评价这两名同学的射击水平？均值可以吗？随机变量均值如何计算？回答：可以用均值评价两名学生的射击水平。师生活动：学生通过计算可得，.提问：因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.那么如何评价呢？回答：评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.提问：如何比较两名同学射击水平的稳定性呢？师生活动：为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.提问：比较两个图形，哪位同学更稳定？回答：乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定。提问：不做概率分布图，有没有一个计算公式可以计算出离散程度呢？来看问题二。设计意图：由情景引入，提出问题，学生用之前学习的均值解决不了问题，引起学生认知冲突，激发学生求知欲望。为后面概念的引入做出铺垫。二、探索新知、形成概念问题二：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度?提问：样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，样本方差计算公式是怎样的？回答：教师：它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的。对于多个相同数据的样本方差又该如何计算？提问：样本个，个，……，个，（）则这组数据的方差是多少？回答：利用方差公式可得：提问：当样本m足够大时，频率稳定于什么？回答：频率稳定于概率，前面的频率可以写出概率提问：随机变量的离散程度，能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？师生活动：设离散型随机变量的分布列如表所示.……（1）计算随机变量所有可能取值与的偏差，=1，2，3，……，n。（2）为了避免正、负偏差相互抵消，取偏差的平方，，…，。（3）因为取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度。设计意图：通过类比样本方差的计算，以及加权平均定义离散性随机变量均值，引导学生一步步推导出离散型随机变量的方差，激发学生学习的主动性和积极性，培养逻辑推理能力。方差的定义我们称为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为.提问：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，怎样判断离散程度呢？回答：方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.教师：现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性，请同学们算一算问题一，哪位同学发挥稳定？回答：；.因为（等价地，），所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定。设计意图：方差可以刻画随机变量取值与均值的偏离程度，可以判断稳定性，用方差这个数字特征的计算公式，可以定量刻画情境中的问题一，给决策问题提供思路。三、理解概念、探究性质教师：我们之前样本方差学过将样本方差的定义公式展开后可变形为提问：那么离散型随机变量是否也有类似的公式呢？师生活动：因为方差的计算性质教师：需要注意和是两个不同的量，一般的>设计意图：对期望与方差的关系进一步认识，简化方差的计算，提升运算能力。问题三：离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们与均值的性质有什么不同？师生活动：类比均值的性质，学生可以通过猜想，得出自己的结论。让学生尝试验证自己的结论。3、方差的性质.设计意图：类比均值的运算性质，提出方差的运算性质，学生体验猜想——验证的方法探究问题。四、结合典例、应用迁移例1抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.解1：随机变量的分布列为，.解2：随机变量的分布列为，.因为，，所以.设计意图：离散型随机变量方差计算公式及计算性质的应用，培养学生应用意识和运算能力。例2投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示.表1股票A收益的分布列收益X/元02概率0.10.30.6表2股票B收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为，.因为，所以投资股票A的期望收益较大.（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为，.因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高.设计意图：均值和方差在决策问题中的应用，使学生理解实际问题中均值与方差的意义。让学生明白不同的实际问题方差有不同的解释，有时是稳定性，有时是加工的精度，有时是投资风险高低等。五、归纳知识、总结提升教师引导学生回顾本节课内容，归纳知识点。离散型随机变量的方差的定义是什么？2、离散型随机变量的方差的简便计算性质公式是什么？3、离散型随机变量的方差的性质又是怎样的呢？设计意图：引导学生回顾本节课的内容和学习方法，使学生学会梳理知识点，总结方法。六、强调应用、布置作业1.已知随机变量X的分布列为X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).2.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位:cm)的分布列如下:甲班的目测误差分布列乙班的目测误差分布列X-2-1012Y-2-1012P0.10.20.40.20.1P0.050.150.60.150.05先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断.设计意图：本节课重难点是方差的应用，作业再次强调方差的计算及应用，特别是方差在决策问题中的应用，使学生进一步掌握方差在实际问题中的应用。解答：1、解：或2、解：直观的