离散型随机变量及其分布列 教学设计

第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列教学设计一、教学内容本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第七章《随机变量及其分布列》，主要内容是学习分布列的定义、性质、应用和两点分布模型。它作为概率与统计的桥梁与纽带，既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一，是后续第三节离散型随机变量的均值和方差的基础。教学目标理解离散型随机变量的含义，会用离散型随机变量描述随机现象；掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质，了解两点分布.会求某些简单的离散型随机变量的分布列.三、教学重难点1.重点理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.难点会求某些简单的离散型随机变量的分布列.四、教学过程（一）复习引入求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题。类似函数中数集与数集之间的对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究问题。设计意图：新寓于旧，借助新旧知识的内在联系适当拓展获取新知识（二）创设情境问题1掷一枚骰子，掷出的点数能用数字表示吗？能.可以用实数表示“掷出的点数为”.问题2某人射击一次,可能出现:命中0环,命中1环,，命中10环等结果能用数字表示吗？能.可以用实数t(t=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)表示命中的环术.问题3抛掷一枚硬币，有“正面朝上”和“反面朝上”两种可能结果，这种试验结果能用数字表示吗？X=0，正面朝上1，反面朝上能.可以用0表示“正面朝上”，用X=0，设计意图：创设情境，引导学生“数学的”观察事物，对随机现象“数学地”思考，把问“数学化”，培养学生的数学建模素养。（三）活动探究1对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.思考：考察下列随机试验及其引入的变量：试验1：从100个电子元件（至少含3个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数.这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量X，Y有哪些共同的特征？对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点，则样本空间.各样本点与变量X的值的对应关系如图所示.对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间，包含无穷多个样本点.各样本点与变量Y的值的对应关系如图所示.在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X，Y有如下共同点：（1）取值依赖于样本点；（2）所有可能取值是明确的.设计意图：通过具体实例抽象出随机变量及离散型随机变量的概念，让学生感受到从特殊到一般的数学思维方法，发展学生的数学推理素养。定义生成1.随机变量的定义一般地对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.2.离散型随机变量的定义可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量表示：通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.思考：能举出一些离散型随机变量的例子吗？教师举例：（1）某足球队在5次点球中射进的球数X（2）在一个装有8个红球，4个白球的袋子中，随机摸出4个球，这4个球中白球的个数Y设计意图：帮助学生理解离散型随机变量的定义，引出连续型随机变量。3.连续型随机变量的定义连续型随机变量是指可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量活动探究2探究2：抛掷一枚骰子，所得的点数:X有哪些值？X取每个值的概率是多少？定义生成定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个值的概率，为X的概率分布列，简称分布列.表示：解析法：，Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn表格法：图像法：性质：设计意图：通过活动探究2，顺延学生思维发展，引出离散型随机变量概率分布列的定义。例题评讲例1.一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义求X的分布列.解：根据X的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，X的分布列为，.对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么X的分布列如下表所示.X01P1-pp我们称X服从两点分布或0-1分布.实际上，X为在一次试验中成功（事件A发生）的次数（0或1）.像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述.例2.某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示.等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及.解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“优”.根据古典概型的知识，可得X的分布列，如下表所示.X12345P.教师引导学生总结求离散型随机变量分布列的一般步骤：（1）根据问题设立一个随机变量X，并写出随机变量X的所有可能取值（2）利用古典概型，求随机变量X的每一个可能取值所对应的概率（3）用解析式或者表格表示X的分布列例3.一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.分析：因为A品牌一共有3台，随机挑选2台，可能出现A品牌的台数分别是0,1,2。则设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0,1,2根据组合数知识可知，一共有10台电脑，从中随机挑选2台可以有C102种取法，所这个试验的所有基本可能结果有C102种。而X=0代表着取到0台A品牌，2台都是B品牌，则有C30C解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X,则X的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识，可得X的分布列：用表格表示X的分布列为：X012P教师总结：关键是弄清楚该试验的样本空间，以及每一个x的取值所包含的样本点，结合排列组合的知识求解，并应用古典概型求概率，结合分布列的性质验证。课堂小结1、随机变量定义随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用大写英文字母X,Y,Z…表示。2、随机变量的分类①离散型随机变量:X的取值可一、一列出②连续型随机变量:X可以取某个区间内的一切值3、离散型随机变量的概率分布列①表示:解析式法、表格法、图像法②性质:设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。（七）思考作业1．（多选题）若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中黑球的个数，则X的可能取值为()A．0 B．1C．2 D．3解析：由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球是黑球的个数分别可能是1,2,3，故选BCD.2．设随机变量Y的分布列为Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)则“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率为()A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(2,3)解析：∵eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1，∴m＝eq\f(1,2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(3,4).3.老师要从10