一元线性回归模型及其应用（第二课时）教学设计

一元线性回归模型及其应用（第二课时）教学设计一、教学内容一元线性回归模型的应用.二、教学目标1.能通过具体实例说明一元线性回归模型修改的依据与方法.2.通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决，提高数学运算能力.3.能通过实例说明决定系数的意义和作用，发展数据分析能力.三、教学重点和难点重点：一元线性回归模型的修改，将非线性回归问题转化为线性回归问题，决定系数的意义和作用.难点:运用合适的变换将非线性相关问题转化为线性相关问题，决定系数的理解.四、教学过程设计1.复习回顾例经验表明,对于同一树种,一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据如下表所示,试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.表1师生活动：学生自主解决问题，教师对有困难的学生加以适当引导.设计意图：通过复习回顾，检查学生对一元线性回归模型掌握的情况，并由此归纳求经验回归方程的一般步骤.2.案例分析问题1：人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.编号12345678年份18961912192119301936195619601968记录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95师生活动：要求学生按照例题中建立经验回归方程的步骤求解.设计意图：通过具体案例巩固求经验回归方程的具体步骤，为进一步探求回归分析过程中存在的问题和改进的方法作准备.追问1：从图中可以看到，经验回归方程较好地刻画了散点的变化趋势，请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗?师生活动：引导学生观察各散点的分布特征，分析经验回归方程的不足.进而教师加以总结：从图上看，第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方，这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.设计意图：通过这个具体实例，使学生发现，虽然成对样本数据的相关系数的绝对值为0.8559，散点的分布也近乎呈线性分布，也可以利用最小二乘法求出经验回归方程，但用直线方程进行拟合可能不是描述这个问题的最好方法.追问2：你能对模型进行修改,以使其更好地反映散点的分布特征吗？师生活动：引导学生观察散点图，发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近，教师要求学生回顾已有的函数知识，找出符合散点图的函数模型，引导学生发现函数的图象具有类似的特征.教师适时指出，注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年,因此可以认为散点是集中在曲线y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)的周围，其中c1,c2为未知参数，且c2<0.设计意图：通过学生自主探究，发现在实际问题中除直线模型外，还可以有其他曲线模型，能够更好地体现样本数据的分布特征.问题2：你能通过适当的变换，将非线性回归模型y=c1+c2ln(t-1895)转化为线性回归模型，从而求出非线性的回归方程吗？师生活动：观察非线性回归模型中方程的结构，可以发现经过适当的代换，可转化为线性方程.令x=ln(t-1895)，则Y=c2x+c1，这是一元线性回归模型.接着，师生共同求出经验回归方程，从而得到回归方程.设计意图：让学生体验经过适当的代换将某些非线性回归的问题转化为线性回归问题的过程与方法.问题3：对于通过创纪录时间预报世界纪录的问题，我们建立了两个回归模型，得到了两个回归方程：和，你能判断哪个回归方程拟合的精度更好吗？师生活动：组织学生讨论，如何比较两个回归方程的优劣，引导学生得出以拟合的精度作为标准来判断回归方程的优劣，由此可以产生以下几种方法：(1)直接观察法.在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程的图象(蓝色)以及经验回归方程的图象(红色).我们发现，散点图中各散点都非常靠近非线性经验回归方程的图象，表明非线性经验回归方程对于原始数据的拟合效果远远好于直线回归方程.（2）残差分析法:残差平方和越小,模型拟合效果越好.经计算，Q2明显小于Q1，说明非线性回归方程的拟合效果要优于线性回归方程.（3）利用决定系数R2刻画回归效果.决定系数，其中总偏差平方和与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关，因此R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.显然0≤R2≤1，所以R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好.方程①和②的R2分别为0.7325和0.9983，可见②的刻画效果比①好很多.设计意图：通过此问题解决两个回归模型优度的判别，主要是引入决定系数R2衡量回归模型拟合的优劣，这是回归模型有效性检验的重要指标.3.归纳总结教师引导学生回顾本节课所学内容，并让学生回答下列问题：（1）通过本节课的学习，请你总结使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？（2）解决非线性回归问题的步骤是什么？（3）如何判断回归模型的有效性？师生活