初中中考数学函数专题专题21二次函数中对称轴与对称问题含答案及解析

专题21二次函数中对称轴与对称问题知识对接考点一、求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的3种方法公式法:二次函数(a≠0)的图象的顶点坐标是2.配方法:将抛物线的解析式配方,化为y=a(x-h)2+k的形式,得到顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h.3.运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x1,m),(x2,m),则对称轴为直线x=,再将其代入抛物线的解析式,即可得顶点坐标.专项训练一、单选题1．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝3 D．直线x＝﹣32．已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（）A． B． C． D．3．抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．14．如图，以直线为对称轴的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（）．A． B． C． D．5．已知关于的二次函数的图象关于直线对称，则下列关系正确的是（）A．B．C．的函数值一定大于的函数值D．若，则当时，6．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）A． B．4 C．﹣ D．﹣7．二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（）A． B． C．2 D．8．已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（）A． B．± C．﹣ D．09．抛物线y=x2﹣2x﹣15，y=4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．10 B．7 C．5 D．810．已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′二、填空题11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为________．12．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是____．13．如果一抛物线的对称轴为，且经过点A（3,3），那么点A关于对称轴的对称点B的坐标为____________14．已知点A、B在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像上（A在B右侧），且关于图像的对称轴直线x＝2对称，若点A的坐标为（m，1），则点B的坐标为_______．（用含有m的代数式表示）15．已知抛物线.（1）该抛物线的对称轴是________.（2）该抛物线与轴交于点，点与轴交于点，点的坐标为，若此抛物线的对称轴上的点满足，则点的纵坐标的取值范围是________.三、解答题16．已知抛物线与轴只有一个公共点且经过点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线：与抛物线相交于B、C两点（B点在C点的左侧），与对称轴相交于点P，且B，C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为，且．①试探求与的数量关系；②求线段的最大值，以及当取得最大值时对应的值．17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）求线段BC的长；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．18．已知一条抛物线顶点为，且与轴交于点（）（1）当时；①求二次函数解析式；②直线：（）过定点与抛物线交于、两点（在右侧），连接、，若，求直线的解析式；（2）若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且交对称轴于点，点，关于点对称，求证：，，三点共线．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．20．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）三点．（1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标；（2）如图1，点M是抛物线对称轴上的一点，求△MBC周长的最小值；（3）如图2，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PDAC，交BC于点D，连接CP，求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值的时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．

21．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．求抛物线的函数解析式；抛物线的对称轴与轴交于点．点与点关于点对称，试问在该抛物线上是否存在点．使与全全等﹖若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连接两点的坐标分别为，且它的图象关于直线对称（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点同时从点出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．23．如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，，，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与相似？若存在，求出更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

专题21二次函数中对称轴与对称问题知识对接考点一、求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的3种方法公式法:二次函数(a≠0)的图象的顶点坐标是2.配方法:将抛物线的解析式配方,化为y=a(x-h)2+k的形式,得到顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h.3.运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x1,m),(x2,m),则对称轴为直线x=,再将其代入抛物线的解析式,即可得顶点坐标.专项训练一、单选题1．抛物线y＝2（x+1）2﹣3的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝3 D．直线x＝﹣3【答案】B【分析】根据抛物线函数关系式的顶点式可得其顶点坐标为，从而可得抛物线的对称轴．【详解】解：由题意知，抛物线顶点坐标为(－1，－3)，从而其对称轴为直线x=－1；故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的性质：确定抛物线的对称轴，根据顶点坐标即可确定抛物线的对称轴，若是一般式，则可由确定抛物线的对称轴．2．已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抛物线图象性质可得A点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可.更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，∴函数的顶点坐标是，∴，解得，经检验均符合∴该抛物线的解析式为.故选D.【点睛】本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式.3．抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】解：①抛物线图象开口向上，，对称轴在直线轴左侧，，同号，，抛物线与轴交点在轴下方，，，故①正确．②，当时，由图象可得，当时，，由图象可得，，即，故②正确．③，，，点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，，故③错误．④抛物线的顶点坐标为，，，无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher4．如图，以直线为对称轴的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数的对称轴为，

而对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围是，

∴右侧交点横坐标的取值范围是．

故选：C．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．5．已知关于的二次函数的图象关于直线对称，则下列关系正确的是（）A．B．C．的函数值一定大于的函数值D．若，则当时，【答案】C【分析】根据函数的对称性，函数图象与x轴交点的个数，抛物线的性质进行依次判断即可.【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵二次函数的图象关于直线对称，∴,∴b=-4，故A错误；∵不能判断出图象与x轴交点的个数，故不能确定，故B错误；∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口方向向上，故离对称轴近的点低，离对称轴远的点高，故的函数值一定大于的函数值，即C正确；若，则当时，y<0，故D错误；故选：C.【点睛】此题考查抛物线的性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点个数的计算方法，正确理解解析式中各系数与抛物线的性质的关系是解题的关键.6．点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（）A． B．4 C．﹣ D．﹣【答案】C【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】求出A的坐标和抛物线的对称轴，根据对称性得出C点坐标，求出BC∥x轴，则AD=6-2=4，BD=3，tan∠CBA=．【详解】解：∵y＝ax2﹣4ax+2，∴对称轴为直线x＝﹣＝2，A（0，2），∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），∴BC∥x轴，∴∠ADB＝90°，∴tan∠CBA＝＝＝，故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，轴对称变化，以及锐角三角函数的知识，证得∠ADB=90°是关键．8．已知二次函数y＝（2﹣a），在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则a的值为（）A． B．± C．﹣ D．0【答案】C【分析】在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则二次项系数大于0，即2－a＞0，且a2－3＝2，从而得到答案.更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】根据题意，得，解得：a＝－，故答案选C.【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质，解本题的要点在于不可忘记考虑二次项系数的范围.9．抛物线y=x2﹣2x﹣15，y=4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．10 B．7 C．5 D．8【答案】A【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=1的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=1的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．【详解】如图，∵抛物线y=x

2-2x-15与直线y=4x-23交于A、B两点，

∴x

2-2x-15=4x-23，

解得：x=2或x=4，

当x=2时，y=4x-23=-15，

当x=4时，y=4x-23=-7，

∴点的坐标为（2，-15），点B的坐标为（4，-7），

∵抛物线对称轴方程为：x=-

=1，作点A关于抛物线的对称轴x=1的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，

更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher连接A′B′，

则直线A′B′与对称轴（直线x=1）的交点是E，与x轴的交点是F，

∴BF=B′F，AE=A′E，

∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长B′B，A′A相交于C，

∴A′C=4，B′C=7+15=22，

∴A′B′=

=10

．

∴点P运动的总路径的长为10

．

故选A．【点睛】此题考查了二次函数与一次函数和二次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．10．已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′【答案】B【详解】∵抛物线C：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为x=﹣1．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣3）．则与A点以对称轴对称的点是B（2，﹣3）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（4，﹣3），因此将抛物线C向右平移4个单位．故选B．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher二、填空题11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为________．【答案】﹣5或﹣7【分析】根据抛物线的对称轴求得A的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式，从而求得B的坐标，然后分AB是正方形的对角线和正方形的边两种情况求得Q的坐标，代入抛物线解析式即可求得c的值．【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，且对称轴为直线x＝﹣＝3，∴A（3，0），∵点A在直线AB：y＝kx+3上，∴0＝3k+3，解得k＝﹣1，∴直线AB为y＝﹣x+3，∴设点B的坐标为（x，﹣x+3）∵点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，∴x﹣3+x＝7，解得x＝5，∴B（5，﹣2），∴B到对称轴的距离为5﹣3＝2，B到x轴的距离为2，当AB是正方形对角线时，P（3，﹣2），则Q（5，0），当AB是正方形的边时，P（3，﹣4），则Q（1，﹣2）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵点Q在抛物线上，∴把Q（5，0）代入y＝﹣x2+6x+c得：0＝﹣25+30+c，解得c＝﹣5；把Q（1，﹣2）代入y＝﹣x2+6x+c得：﹣2＝﹣1+6+c，解得c＝﹣7，∴，c的值为﹣5或﹣7，故答案为：﹣5或﹣7．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正方形的性质，求得B的坐标进而表示出Q的坐标是解题的关键．12．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是____．【答案】2或【分析】分，和确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论．【详解】解：由题意得：O（0,0），A（3，4）∵为直角三角形，则有：①当时，∴点M在与OA垂直的直线上运动（不含点O）；如图，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher②当时，，∴点M在与OA垂直的直线上运动（不含点A）；③当时，，∴点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P，∴点P为OA的中点，∴∴半径r=∵抛物线的对称轴与x轴垂直由题意得，抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，∴抛物线的对称轴为的两条切线，而点P到切线，的距离，又∴直线的解析式为：；直线的解析式为：；∴或4∴或-8故答案为：2或-8更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角三角形的判定，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．13．如果一抛物线的对称轴为，且经过点A（3,3），那么点A关于对称轴的对称点B的坐标为____________【答案】（-1,3）【分析】根据抛物线的对称性即可得到点B的坐标．【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点A（3,3），∴点A关于对称轴的对称点B的坐标为（-1,3）【点睛】本题主要考查二次函数图形的性质和特征，应用对称性性是解题的关键．14．已知点A、B在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像上（A在B右侧），且关于图像的对称轴直线x＝2对称，若点A的坐标为（m，1），则点B的坐标为_______．（用含有m的代数式表示）【答案】（4－m，1）【分析】先确定抛物线的对称轴为x=2，然后求出点A（m，1）关于直线x=2的对称点即可．【详解】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=2，∴点A和点B关于直线x=2对称，∴点B的横坐标为4-m，即B（4-m，1），故答案为：（4-m，1）【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．15．已知抛物线.（1）该抛物线的对称轴是________.（2）该抛物线与轴交于点，点与轴交于点，点的坐标为，若此抛物线的对称轴上的点满足，则点的纵坐标的取值范围是________.更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】2或【分析】（1）根据抛物线的对称轴为进行求解；（2）根据二次函数的性质可求出点B，C的坐标，作BC的垂线交对称轴于点F，以点F为圆心，以FB为半径作⊙F，得到△ABC的外接圆，根据两点间距离公式可求出圆心F的坐标以及外接圆半径，然后根据圆的性质可得点P在第一象限时，点的纵坐标的取值范围，同理可得点P在第四象限时，点的纵坐标的取值范围.【详解】解：（1）该抛物线的对称轴是，故答案为2；（2）∵点的坐标为，抛物线的对称轴是，∴点B的坐标为（3，0），将点代入可得：a=1，∴4a-1=3，即点C的坐标为（0，3），如图，作BC的垂线交对称轴于点F，以点F为圆心，以FB为半径作⊙F，得到△ABC的外接圆，设点F坐标为（2，m），由FA=FC可得：，解得：m=2，∴点F的坐标为（2，2），FA=，∴当∠APB＜∠ACB，且点P在第一象限时，点的纵坐标的取值范围是：，同理可得，点P在第四象限时，点的纵坐标的取值范围是.综上所述，点的纵坐标的取值范围是：或，故答案为或.更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质以及圆的相关应用，解题的关键是应用转化的思想进行求解．三、解答题16．已知抛物线与轴只有一个公共点且经过点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线：与抛物线相交于B、C两点（B点在C点的左侧），与对称轴相交于点P，且B，C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为，且．①试探求与的数量关系；②求线段的最大值，以及当取得最大值时对应的值．【答案】（1）；（2）①；②时，最大为【分析】（1）抛物线与轴只有一个公共点，可知抛物线顶点是，设抛物线的函数解析式为，将代入即可得答案；（2）①抛物线的对称轴为直线，过作对称轴的垂线，垂足为，过作对称轴的垂线，垂足为，设，，，，则、是的两个实数根，有，另一方面，，可得，将代入即可得与的关系式；②由，，得，，又，可得，故，当时，最大为．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：（1）抛物线，与轴只有一个公共点，是抛物线顶点，设抛物线的函数解析式为，将代入得：，解得，抛物线的函数解析式为；（2）①抛物线的对称轴为直线，过作对称轴的垂线，垂足为，过作对称轴的垂线，垂足为，如图：设，，，，由得，则、是的两个实数根，，，点与抛物线对称轴的距离为，即，，直线，直线，，，，，即，，即，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，；②由①知：，，，而，又，，，，，时，最大为．【点睛】本题考查二次函数综合知识，解题的关键是设，，，，用含、的代数式表达的长度．17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）求线段BC的长；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】（1）（2）面积的最大值为4；此时P的坐标为．（3）或．【分析】（1）由抛物线表达式，求出点B的坐标，当时求出点C的坐标，然后根据勾股定理即可求出BC的长度．（2）由把的面积转化为△BPC的面积，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，根据点B和点C的坐标求出BC所在直线的表达式，然后设出点P和F的坐标，表示出△BPC的面积，根据二次函数的最值求解即可．（3）分A是菱形的边长或对角线时两种情况讨论，首先根据点A和点的坐标求出A的长度，然后设出点M的坐标，根据菱形的临边相等列出方程求出点M的坐标，最后根据菱形对角线互相平分，利用中点坐标公式列出方程即可求出点N的坐标．【详解】（1）∵抛物线交x轴于点A、B，∴当y=0时，即，整理得：，解得：．∴A点坐标为，B点坐标为．∴OB=4．当时，y=-2，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴C点坐标为，∴OC=2．∴．（2）如图所示，连接PC，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H．∵，∴△BPE和△BPC是同底等高的三角形，∴，∴求△BPE面积的最大值即求△BPC面积的最大值．∵B，C，∴设BC所在直线表达式为，将B，C两点代入得：，解得：．∴BC所在直线表达式为．∴设P点坐标为，F点坐标为，∴．∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher即，∴面积的最大值为4，将m=-2代入得，∴此时P点坐标为．（3）∵抛物线表达式为，∴对称轴，∵以y轴为对称轴，将抛物线对称，∴对称后的抛物线的对称轴．∵对称后点P的对应点为点，点P的坐标为，∴点的坐标为，又∵A点坐标为，∴．设M点坐标为，∴．分两种情况，①当A是菱形的边长时，如图所示，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵四边形AMNP是菱形，∴，∴，解得：，∴，．∵四边形AMNP是菱形，∴对角线AN和互相平分，∴根据平面直角坐标系中中点坐标公式可得：，代入可得：或，解得：，，，∴，．②当A是菱形的对角线时，如图所示，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，∵四边形是菱形，∴，∴，解得：．∴，又∵，∴此时M点在线段上，以点A、、M、N为顶点构不成菱形，故此种情况不存在．综上所述，N点的坐标为或．【点睛】此题考查了二次函数综合，二次函数中三角形面积最值问题，菱形存在性问题，解题的关键是根据题意作出辅助线，找到坐标和线段长度之间的关系．18．已知一条抛物线顶点为，且与轴交于点（）（1）当时；①求二次函数解析式；②直线：（）过定点与抛物线交于、两点（在右侧），连接、，若更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，求直线的解析式；（2）若为对称轴右侧的二次函数图象上的一点，且交对称轴于点，点，关于点对称，求证：，，三点共线．【答案】（1）①y=x24x；②y=6x22；（2）证明见详解．【分析】（1）当m=2时，顶点为（2，4），A（4，0）；①设二次函数解析式为y=a（x2）24，将A（4，0）代入得a=1，即可得到解析式；②设定点D（3，4），由直线l：y=kx+b（k＞0）过定点（3，4），得b=3k4，直线l为y=kx3k4，然后联立得方程x2+（4k）x+3k+4=0，结合根与系数的关系，以及三角形的面积，求出k的值，即可得到答案；（2）连接AH，AH，由抛物线顶点为P（m，2m），且与轴交于点A（2m，0），得抛物线解析式为y=，设H（t，），可得M（m，2t4m），N（m，2t），从而得直线AN解析式，然后判断N，A，H三点共线即可．【详解】解：（1）当m=2时，顶点为（2，4），A（4，0），①设二次函数解析式为y=a（x2）24，将A（4，0）代入得：0=a（42）24，解得a=1，∴y=（x2）24=x24x；②设定点D（3，4），如图：∵直线l：y=kx+b（k＞0）过定点（3，4），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴4=3k+b，解得：b=3k4，∴直线l为y=kx3k4，由，得：x2+（4k）x+3k+4=0，则xB+xC=4+k，xB•xC=3k+4，∵B在C右侧，∴xBxC=，∴yByC=（kxB3k4）（kxC3k4）=k（xBxC）=，而P（2，4），D（3，4），∴PD∥x轴，PD=1，∴S△PBC=S△PBD-S△PCD=PD•（yByC）=×1×，又S△PBC=，∴×1×=，解得：k=2（舍去）或k=6，∴直线l为y=6x22；（2）连接AH，AH，如图：∵抛物线顶点为P（m，2m），且与轴交于点A（2m，0），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴抛物线解析式为y=（xm）22m=x24x，设H（t，t24t），则直线OH解析式为y=（t4）x，令x=m，则y=2t4m，∴M（m，2t4m），∴MP=yMyP=2t2m，∵点N，M关于点P对称，∴NP=2t2m，∴N（m，2t），设直线AN解析式为y=nx+r，则，解得：，∴直线AN解析式为y=，令x=t，则y=，∴（t，）在直线AN上，即H在直线AN上，∴N，A，H三点共线．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、韦达定理、三角形面积、三点共线等知识，解题的关键是含字母的代数式表示相关点的坐标和直线解析式．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(2，1)；（3）M(，)或(1＋，)【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可．（3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解．【详解】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1．（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴D（2，3），∵B（3，0），∴T（，），BD＝，∵∠NPD＝90°，DT＝TB，∴PT＝BD＝，∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2，解得m＝1或2，∴P（1，1），或（2，1）．（3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E．∵△BMN是等边三角形，∴∠NMB＝∠NBM＝60°，∵∠NBT＝90°，∴∠MBT＝30°，BT＝BN，∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°，∴∠MBT＝∠BTM＝30°，∴MB＝MT＝MN，∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°，∴∠NBE＝∠BTJ，∵∠BEN＝∠TJB＝90°，∴△BEN∽△TJB，∴＝，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴BJ＝t，TJ＝2，∴T（3＋t，2），∵NM＝MT，∴M（，），∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，∴＝﹣（）2＋2×＋3，整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0，解得t＝﹣2（舍弃）或，∴M（，）．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，），则有＝﹣（）2＋2×＋3，整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0，解得n＝（舍弃）或，∴M（1＋，），综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（1＋，）．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher20．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）三点．（1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标；（2）如图1，点M是抛物线对称轴上的一点，求△MBC周长的最小值；（3）如图2，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PDAC，交BC于点D，连接CP，求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值的时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．

【答案】（1）抛物线的解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为（1，）；（2）△MBC周长的最小值为；（3）△PCD面积的最大值为3，以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．【分析】（1）已知抛物线上三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据点M是抛物线对称轴上的一点，由轴对称的性质可知AM＝BM，由此可知BM＋CM＝AM＋CM，当点A、C、M在同一条直线上时AM＋CM可取得最小值，此时△MBC周长的最小，然后依据勾股定理分别求得BC与AC的长，从而可求得△MBC周长的最小值；（3）设点P的坐标为（m，0），先用待定系数法求得直线AC、BC、PD的函数解析式，进而可求得点D的坐标，由此可求得△BCP和△BDP的面积，进而可表示出△PCD的面积，根据二次函数的性质即可求得△PCD面积的最大值，最后再分别计算出PA、PD的长，由此即可判断以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）三点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，解得：，∴抛物线的解析式为，∵，∴对称轴为直线，顶点坐标为（1，）；（2）∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称，∴AM＝BM，∴△MBC周长＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC≥AC＋BC，如图，当点A、C、M在同一条直线上时AM＋CM可取得最小值，为AC的长，∵BC的长不变，∴当AM＋CM最短时，三角形的周长最小．∴当点A、C、M在同一条直线上时，△MBC周长的最小，为AC＋BC，在Rt△AOC中，，在Rt△BOC中，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴△MBC周长的最小值为；（3）设点P的坐标为（m，0），则－2＜m＜4，∵B（﹣2，0），C（0，﹣4），∴PB＝m＋2，OC＝4，OB＝2，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把B（﹣2，0），C（0，﹣4）代入y＝kx＋b，得，解得：，∴直线BC的解析式为y＝－2x－4，设直线AC的解析式为，把A（4，0），C（0，﹣4）代入，得，解得：，∴直线AC的解析式为，设直线PD的解析式为，∵PDAC，∴，∴直线PD的解析式为，把点P（m，0）代入，得，解得：，∴直线PD的解析式为，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher将直线PD、BC的解析式联立方程组，得，解得：，∴点D的坐标为（，），∴，，∴，∵，且，∴当m＝1时，取得最大值，最大值，∴△PCD面积的最大值为3，此时点P坐标为（1，0），点D坐标为（－1，－2），则PD＝，PA＝4－1＝3，∴PA≠PD，∴以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，一次函数的图象性质，菱形的判定，熟练掌握待定系数法求函数关系式以及二次函数的图象性质是解决本题的关键．21．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher求抛物线的函数解析式；抛物线的对称轴与轴交于点．点与点关于点对称，试问在该抛物线上是否存在点．使与全全等﹖若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或【分析】（1）将A，C两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式；（2）在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方，按照题意，分别求解即可．【详解】解：（1）将点坐标代入函数解析式得，将点的坐标代入，得，解得：，故抛物线的解析式为；（2）∵点与点关于点对称，∴，则在轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，如图，当点在对称轴右侧时，要使与全等更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher则点于点关于轴的对称点，即点，当点时，，∴点在抛物线上，当点在对称轴左侧时，点也满足与全等，即点，综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数表达式的求解、点的对称性、三角形全等，利用数形结合思想解答问题是解题的关键．22．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连接两点的坐标分别为，且它的图象关于直线对称（1）求抛物线的函数关系式；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（2）若点同时从点出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，【分析】（1）由题意，用待定系数法，设顶点式解析式，代入点A、点C的坐标即可求出函数的表达式；（2）结合抛物线内部几何关系和性质求出t值及P点坐标；（3）分三种情况讨论：①当时，或②当时，或③当时，再根据相似三角形的性质解题．【详解】解：（1）由题意，设二次函数解析式为：代入点得，解得整理得（2）设直线AC的解析式为，将代入得，解得，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，由对称轴为可知，设直线BC的解析式为，将代入得：，解得，∴．点同时从点出发，均以每秒个单位长度的速度运动与关于轴对称四边形是菱形，运动秒后，直线的关系式为（3）存在，分三种情形：∵，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，∴AC=2，，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=30°,①当时此时点在轴上与对称轴的交点，，②当时，，∠AQN=∠ABC=30°，设直线的关系式为，将代入得：，解得，直线的关系式为直线与直线交点，∴，∴，（此时，，符合题意），更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshux