初中中考数学函数专题专题31函数解析式的求解方法含答案及解析

专题31函数解析式的求解方法知识对接考点一、函数解析式的求解方法函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。以下主要从这几个方面来分析。（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数（二）换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。(三)配凑法已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。(四)解函数方程组法。适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分（五）赋值法赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。考点补充：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。③总之，求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法等。如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围；当已知的表达式比较简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式专项训练一、单选题1．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A． B．C． D．2．已知二次函数的解析式为，若函数图象过和两点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．3．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+1 B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+1）2+44．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（）A．y＝3x2+7x+3 B．y＝2x2+7x+4 C．y＝x2+7x+5 D．y＝4x2+7x+25．如图，抛物线与轴交于，两点，将抛物线向上平移个单位长度后，点，在新抛物线上的对应点分别为点，，若图中阴影部分的面积为8，则平移后新抛物线的解析式为（）A． B． C． D．6．把二次函数的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为，则a与b满足的关系是（）A．b＝a B．b＝2a C．a＋b＝0 D．2a＋b＝07．抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（）A． B．或C． D．或8．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣39．已知二次函数的解析式为（、、为常数，），且，下列说法：①；②；③方程有两个不同根、，且；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．410．把抛物线y＝x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，则b，c的值为（）A．b＝2，c＝﹣3 B．b＝4，c＝3 C．b＝﹣6，c＝8 D．b＝4，c＝﹣7二、填空题11．如果将抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线对应的函数解析式是___．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，则其解析式为________．13．将二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数解析式是_________．14．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式是__．15．已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论：①关于的一元二次方程的根是，3；②函数的解析式是；③；其中正确的是_______（填写正确结论的序号）三、解答题16．如图，抛物线经过点A(0，2)，与它的对称轴直线x=2交于点B．（1）求抛物线L的解析式；（2）在平面内是否存在点D，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由；（3）过定点的直线(k<0)与抛物线L交于点M、N．若∆BMN的面积等于2，求k的值．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为(1，1)，且当x＝3时，y＝3，求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．18．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，，以为边作矩形，其中边经过抛物线的顶点，点是抛物线上一动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线与直线交于点，与直线交于点，连接交直线于点．（1）求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；（2）当线段时，求点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．19．抛物线的图象如图所示，（1）当y＞0时，直接写出x的取值范围；（2）求此抛物线的解析式．20．如图，已知抛物线的图象经过点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由．（3）直线BD上有一点P，使得时，过P作轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．21．如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接BC，BD．（1）a=，b=．（2）点D的坐标为；直线BC的函数解析式为；直线BD的函数解析式为．（3）将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，当点O与点B重合时，△BOC停止运动，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式．22．已知抛物线的顶点A（﹣2，0）且图象经过点B（﹣3，﹣4）．（1）求抛物线解析式；（2）若C在抛物线上，且C的横坐标为﹣，在直线x＝﹣2上是否存在一点D，使△BCD的周长最小？若存在，请求出D的坐标，若不存在，请说明理由．23．如图，二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），直线y＝2x﹣2与x轴、y轴交于点D，E．（1）求该二次函数的解析式．（2）判断△ABE是否为直角三角形，说明理由．（3）点M为该二次函数图象上一动点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher①若点M在图象上的B，C两点之间，求△DME的面积的最大值．②若∠MED＝∠EDB，求点M的坐标．

专题31函数解析式的求解方法知识对接考点一、函数解析式的求解方法函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。以下主要从这几个方面来分析。（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数（二）换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。(三)配凑法已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。(四)解函数方程组法。适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分（五）赋值法赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。考点补充：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。③总之，求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法等。如果已知函数解析更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围；当已知的表达式比较简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式专项训练一、单选题1．将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先把二次函数点解析式一般式化成顶点式，根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案．【详解】解：把向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，抛物线解析式为，化简得故选A【点睛】本题考查二次函数图象点平移，正确将抛物线化为顶点式并熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．2．已知二次函数的解析式为，若函数图象过和两点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher先将原二次函数整理得一般式，当时取最小值，根据函数过和两点，得时取最小值，根据，进而可得的取值范围．【详解】解：∵，∴，∴当时，y取最小，∵函数图象过和两点，∴时，y取最小值，∴，∴，∵，∴，解得，故选A．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题．3．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+1 B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+1）2+4【答案】D【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+1向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1，由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x+1）2+1向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1+3，即y＝（x+1）2+4．故选：D．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟悉掌握平移的规律是解题的关键．4．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（）A．y＝3x2+7x+3 B．y＝2x2+7x+4 C．y＝x2+7x+5 D．y＝4x2+7x+2【答案】A【分析】设和谐点为（t，t），把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，则△＝62﹣4ac＝0，所以ac＝9，再把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得c＝6﹣a，然后解关于a、c的方程组即可．【详解】解：设和谐点为（t，t），把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，整理得at2+6t+c＝0，∵t有且只有一个值，∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9，把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a，把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3，∴c＝6﹣3＝3，∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3．故选：A．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，把和谐点（t，t）代入y＝ax2+7x+c得到关于t的方程有两相等的实数根是解题关键．5．如图，抛物线与轴交于，两点，将抛物线向上平移个单位长度后，点，在新抛物线上的对应点分别为点，，若图中阴影部分的面积为8，则平移后新抛物线的解析式为（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA． B． C． D．【答案】C【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形的面积可求出的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出平移后新抛物线的解析式．【详解】解：当时，有，解得：，，∴.∵，∴，∴平移后新抛物线的解析式为.故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积是解题的关键．6．把二次函数的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为，则a与b满足的关系是（）A．b＝a B．b＝2a C．a＋b＝0 D．2a＋b＝0【答案】D【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为，再根据对称轴公式可求出更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，即可得出结论．【详解】由二次函数图形的变换规律得：把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为，则与相同，由对称轴得：，解得，即：，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，依据二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键．7．抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A、B两点坐标设出抛物线解析式为，代入C点坐标即可求解．【详解】设抛物线的解析式为∵∴抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2）①当抛物线和y轴交点的为（0,2）时，得解得∴抛物线解析式为，即②当抛物线和y轴交点的为（0，-2）时，解得更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴抛物线解析式为，即故选D．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是设出合适的解析式形式，本题选用两点式（又叫双根式）较为合适．8．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3【答案】D【分析】先确定原抛物线的顶点坐标（1，3），根据对称性得到关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，即可列出函数关系式.【详解】∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．故选：D．【点睛】此题考查函数图象的对称性，可由原图象确定某些特殊点的坐标，例如：与坐标轴的交点，图象的顶点坐标，由对称性即可得到对称的抛物线上的点的坐标，由此来求解析式.9．已知二次函数的解析式为（、、为常数，），且，下列说法：①；②；③方程有两个不同根、，且；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据a的符号分类讨论，分别画出对应的图象，根据二次函数的图象逐一分析，找出所有情况下都正确的结论即可．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解：当a＞0时，即抛物线的开口向上∵∴，即当x=1时，y=∴此时抛物线与x轴有两个交点，如图所示∴，故①错误；∵∴，故此时②正确；由图象可知：x1＜1，x2＞1∴∴，故此时③正确；当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；当a＜0时，即抛物线的开口向下∵∴，即当x=1时，y=∴此时抛物线与x轴有两个交点，如图所示∴，故①错误；∵∴，故此时②正确；由图象可知：x1＜1，x2＞1∴更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，故此时③正确；当c=0时，二次函数的图象与坐标轴有两个不同交点，故④错误；综上所述：①错误；②正确；③正确；④错误，正确的有2个故选B．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．10．把抛物线y＝x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，则b，c的值为（）A．b＝2，c＝﹣3 B．b＝4，c＝3 C．b＝﹣6，c＝8 D．b＝4，c＝﹣7【答案】B【分析】直接利用二次函数图象平移规律计算得出答案．【详解】解：∵把抛物线y＝x2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，∴y＝x2+bx+c＝（x﹣1+3）2﹣4+3＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，故b＝4，c＝3，故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．二、填空题11．如果将抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线对应的函数解析式是___．【答案】y=（x-1）2+3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=（x-1）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x-1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x-1）2+3，故答案为：y=（x-1）2+3．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，则其解析式为________．【答案】y＝x2+x【分析】根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，通过变形，数形结合，可以分别求出a、b、c的值，从而可以得到二次函数的解析式．【详解】∵y＝ax2+bx+c，对一切实数x恒有x≤y≤2x2+，∴对一切实数x恒有x≤ax2+bx+c≤2x2+，∴当x＝0时，0≤c≤，∵c为整数，∴c＝0，∴x≤ax2+bx≤2x2+，当ax2+bx≥x时，可得ax2+（b﹣1）x≥0，∴，解得b＝1，∴ax2+x≤2x2+，∴（2﹣a）x2﹣x+≥0，∴当a＝2时，﹣x+≥0不是对于一切x成立，故不符合题意；当a≠2时，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher解得a≤1，又∵a＞0且为整数，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2+x，故答案为：y＝x2+x．【点睛】本题考查二次函数与不等式组，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，关键是明确题意，一般地：对一切实数x恒有ax2+bx+c>0，则应满足：；对一切实数x恒有ax2+bx+c<0，则应满足：；注意数形结合，有助于理解．13．将二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数解析式是_________．【答案】【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式．【详解】解：∵y=x2+2x1=（x+1）22，∴二次函数y=x2+2x1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+12）22=（x1）22，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移．14．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式是__．【答案】或【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher发现当x＝2时，y＝4，所以定点H（2，4）．过点A作AB⊥PH于点B，过点B作DC⊥x轴于点C，过点H作HD⊥CD于点D，构造△ABC≌△BHD，利用对应边AC＝BD，BC＝HD求点B坐标，再求直线BH解析式，把用m表示的点P坐标代入BH解析式即求得m的值．由于满足∠AHP＝45°的点P可以在AH左侧或右侧，故需分情况讨论．【详解】解：当x=2时，y=4+2m-2m=4．

∴无论m取何值，该抛物线都经过定点H（2，4）．过点A作AB⊥PH于点B，过点B作DC⊥x轴于点C，过点H作HD⊥CD于点D．∴∠ABH＝∠ACB＝∠BDH＝90°．∴∠ABC+∠DBH＝∠ABC+∠BAC＝90°．∴∠BAC＝∠DBH．∵∠AHP＝45°．∴△ABH是等腰直角三角形，AB＝BH．在△ABC与△BHD中，，∴△ABC≌△BHD（AAS）．∴AC＝BD，BC＝HD．设点B坐标为（a，b）．①若点P在AH左侧，即点B在AH左侧，如图1．

∴AC＝1﹣a，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝2﹣a．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，解得，．∴点B（﹣，）．设直线BH解析式为y＝kx+h．∴，解得，．∴直线BH：y＝x+．∵y＝x2+mx﹣2m，∴抛物线顶点P为（﹣，﹣﹣2m）．∵点P（﹣，﹣﹣2m）在直线BH上，∴（﹣）+＝﹣﹣2m．解得：m1＝﹣，m2＝﹣4．∵m＝﹣4时，P（2，4）与点H重合，舍去，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+．②若点P在AH右侧，即点B在AH右侧，如图2．

∴AC＝a﹣1，BC＝b，BD＝4﹣b，DH＝a﹣2．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴，解得，．∴点B（，）．设直线BH解析式为y＝kx+h．∴，解得，．∴直线BH：y＝﹣x+．∵点P（﹣，﹣﹣2m）在直线BH上，∴﹣（﹣）+＝﹣﹣2m．解得：m1＝﹣，m2＝﹣4（舍去）．∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+．综上所述，抛物线解析式为y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+．故答案为：y＝x2﹣x+或y＝x2﹣x+．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点．确定定点H的位置是解题的基础，构造全等三角形将线段长转化为点坐标是求函数解析式的关键．15．已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论：①关于的一元二次方程的根是，3；②函数的解析式是；③；其中正确的是_______（填写正确结论的序号）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】①③【分析】根据图象可知：抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为（3,0），从而求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断①；将（-1,0）和（3,0）代入解析式中，即可判断②；将②所得正确结论代入即可判断③．【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点为（3,0）∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1×2－3,0）=（-1,0）∴关于的一元二次方程的根是，3，故①正确；将（-1,0）和（3,0）代入解析式中，得，解得：故求不出a、b、c的值，故②错误；，故③正确；综上：正确的结论有①③．故答案为：①③．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质和各项系数的关系是解决此题的关键．三、解答题16．如图，抛物线经过点A(0，2)，与它的对称轴直线x=2交于点B．（1）求抛物线L的解析式；（2）在平面内是否存在点D，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形?更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由；（3）过定点的直线(k<0)与抛物线L交于点M、N．若∆BMN的面积等于2，求k的值．【答案】（1）；（2）(2,4)，(2,8)或(-2，-4)；（3）【分析】（1）把A(0，2)代入解析式中，再利用对称轴即可得解；（2）分三种情况，如下图1，当平行且等于=2时，四边形是平行四边形，根据平行且等于=2求解即可；当平行且等于=2时，四边形是平行四边形，同样求解；当平行且等于时，四边形是平行四边形，作轴于H点，证明出，即可得出坐标；（3）先求出直线的定点R（2,8），如图2，设直线与抛物线的交点，联立方程得到根与系数关系，作对称轴与P点，作对称轴于Q点，利用还有韦达定理求解即可．【详解】解：（1）把A(0，2)代入中，解得：c=2，对称轴为直线x=2，，，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher抛物线L的解析式为；（2）如下图1，当平行且等于=2时，四边形是平行四边形，顶点，；当平行且等于=2时，四边形是平行四边形，；当平行且等于时，四边形是平行四边形，作轴于H点，综上，D的坐标为(2,4)，(2,8)或(-2，-4)；（3）=，直线过定点R（2,8），如图2，设直线与抛物线的交点，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher将两个方程联立，得：作对称轴与P点，作对称轴于Q点，舍去，．．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查二次函数的综合问题，涉及和几何的结合，难度比较大，属于压轴题，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想是解题的关键．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为(1，1)，且当x＝3时，y＝3，求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．【答案】，图形见解析【分析】根据题意可设二次函数解析式为，将x＝﹣3，y＝3代入，求出，即可得到解析式，再根据解析式画出图形．【详解】解：根据题意可设二次函数解析式为，∵当x＝﹣3时，y＝3，∴，解得：，∴该二次函数的解析式为：，列表得：x…-10123…y…313…画出图形：．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．18．如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，，以为边作矩形，其中边经过抛物线的顶点，点是抛物线上一动点（点不与点，重合），过点作轴的平行线与直线交于点，与直线交于点，连接交直线于点．（1）求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；（2）当线段时，求点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），顶点的坐标为；（2）点的坐标为或；（3）存在，点【分析】（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过A（0，3），B（4，3）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；（2）根据题意，可以表示出线段PH和GH的长，然后即可得到点P的坐标；（3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，∴，得，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher即该抛物线的解析式为，∵，∴顶点的坐标为；（2）∵四边形是矩形，且边经过抛物线的顶点，∴，设直线的解析式为，∵直线经过点，，∴，解得，∴直线的解析式为，∵点为是抛物线上一动点∴设，则，，∴，，∵，∴，解得，，，，∴，，，∵点不与点，重合∴不符合要求，∴当线段时，点的坐标为或；（3）当时，，得，，则点的坐标为，点的坐标为，∵，，∴直线的解析式为，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher联立，得，∴，如图1所示，当点在直线下方时，∵，，，，∴与互相垂直平分，∴当点在点的位置时，四边形是平行四边形，此时；如图2所示，当点在点的左侧时，若四边形是平行四边形，则，∵抛物线经过点，∴不符合实际，舍去；如图3所示，当点在点的右侧时，若四边形是平行四边形，则，∵抛物线经过点，∴不符合实际，舍去；综上所述，存在点时，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题是一道二次函数综合题目，主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher19．抛物线的图象如图所示，（1）当y＞0时，直接写出x的取值范围；（2）求此抛物线的解析式．【答案】（1）﹣2＜x＜6；（2）y＝﹣（x＋2）（x﹣6）【分析】（1）根据抛物线的对称性质求得抛物线与x轴的另一交点坐标，然后结合图形直接写出答案；（2）由题意可设y＝a（x＋2）（x﹣6）．然后将（0，6）代入函数解析式求得a的值即可．【详解】解：（1）如图所示，抛物线对称轴是直线x＝2，则点（﹣2，0）关于对称轴对称的点的坐标是（6，0），所以当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜6；（2）设抛物线解析式为y＝a（x＋2）（x﹣6）．把（0，6）代入，得y＝a（0＋2）（0﹣6）＝6．解得a＝﹣．故该抛物线解析式是：y＝﹣（x＋2）（x﹣6）．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及待定系数法确定函数解析式，解题时，需要熟悉抛物线解析式的三种形式．20．如图，已知抛物线的图象经过点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由．（3）直线BD上有一点P，使得时，过P作轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）存在，；（3）点M的坐标为，，，【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出C、D的坐标，设点，即可得到，由此求解即可；（3）先求出E点坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，利用求出P点坐标，设设，则，，利用建立方程求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点，∴，∴，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴抛物线的解析式为；（2）当时，，所以点，当时，所以点设点所以当时，．（3）由（1）知，抛物线的解析式为；∴，抛物线的顶点，∴，设直线BD的解析式为，∴，∴∴直线BD的解析式为，设点，∵，，根据勾股定理得，，，∵，∴∴，∴，∴，如图，作轴于F，∵，设，则，∴以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有，∴∴或，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴点M的坐标为，，，．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，两点距离公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．21．如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接BC，BD．（1）a=，b=．（2）点D的坐标为；直线BC的函数解析式为；直线BD的函数解析式为．（3）将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，当点O与点B重合时，△BOC停止运动，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式．【答案】（1），；（2）（2，3）；y=-x+3；y=-3x+9；（3）【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求出，再根据CD∥x轴，在抛物线上，用待定系数法即可求出直线BC的函数解析式，直线BD的函数解析式；（3）分两种情况讨论：0≤t≤2和2＜t≤3，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）当时，，∴，∵CD∥x轴，∴点的纵坐标为，当时，有，解得：或（舍去），∴（2，3）；设直线BC的函数解析式为，把B（3，0），，代入得：，解得：，∴直线BC的函数解析式为y=-x+3；设直线BD的函数解析式为，把点B（3，0），（2，3）代入，得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y=-3x+9；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）当0≤t≤2时，设交BC于点E，交BD于点F，由题意得，可设直线的解析式为y=，联立直线，可得：，解得：，∴F，=，整理得：S=-t2+3t，当2＜t≤3时，设与BD，BC分别交于点G，H，则G（t，-3t+9），H（t，-t+3）.0S△GHB=.更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher整理得S=t2-6t+9.综上所述，．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与轴的交点，动态问题和二次函数的结合，利用分类讨论的思想是解题的关键．22．已知抛物线的顶点A（﹣2，0）且图象经过点B（﹣3，﹣4）．（1）求抛物线解析式；（2）若C在抛物线上，且C的横坐标为﹣，在直线x＝﹣2上是否存在一点D，使△BCD的周长最小？若存在，请求出D的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣4（x+2）2；（2）存在，D（﹣2，﹣6）【分析】（1）由A、B两点的坐标，设顶点式利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）作B的轴对称点B′，则可知直线B′C与对称轴的交点即为满足条件的点D，利用待定系数法可求得直线B′C的解析式，则可求得D点坐标．【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）2，代入B（﹣3，﹣4），解得a＝﹣4，∴y＝﹣4（x+2）2．（2）存在，理由如下：∵C的横坐标为，代入解析式得，∴C（，﹣9），要使△BCD的