初中中考数学函数专题专题33函数与圆的综合含答案及解析

专题33函数与圆的综合知识对接考点一、圆1、求圆的前提：根据已知条件做辅助线：（1）作与要证明的切线互相垂直的半径；（2）作所有直径所对应的圆周角为90度的辅助线2、常见求证：（1）证切线：①告诉有线段中点，考虑用中位线定理证明②告诉有线段平分角或者有一组角相等，考虑用等量代换+间接法③告诉有一组平行线，考虑相似或者先找出对应的内错角和同位角，观察同位角是否等于内错角，实现等量代换④如果圆中已经有一条已知切线，证另一条切线，则把这两条切线放在两个三角形中证相似（2）证线段相等：①证明两条线段所对应的三角形全等☆圆周角定理，同弧所对应的弦相等（3）角相等或平分一个角：①证两个角所对应的三角形相似或全等②圆周角定理+等量代换，同弧或等弧对应的圆周角相等考点二、函数1、求解析式顶点在原点：y=ax2图像过原点：y=ax2+bx对称轴在y轴：y=ax2+c对称轴在x轴：y=a（x-h)2一般式：y=ax2+bx+c2、求两点间的距离表达式（即线段）及最值：（1）先设点，观察两个点分别属于哪两个函数之中，求出两个点的横坐标和纵坐标的表达式；（2）用两个点的横坐标或者纵坐标相减的方式求出线段长的表达式；（3）转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标3、求三角形的面积表达式及最值：（1）先设点，用点的坐标把三角形的面积表示出来；（直接表示法：当所求三角形有一条边与x轴或者y轴重合；间接表示法：三角形的三边都不与x轴或者y轴重合，可采用几个图形的面积相加再相减求出表达式）（2）转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标4、求在某直线上找一点使线段之和最值（1）首先将其中一点做关于该直线的对称点，连接对称点与另一点的连线与该直线的交点即为所求点（2）通过对称性求出对称点的坐标，求出连线的一次函数表达式，与原直线的表达式解方程组即可求出改点5、求是否存在一点使图形为直角三角形，等腰三角形，或者为平行四边形，求该点坐标（1）直角三角形：首先把可能的情况都要想到，利用两垂直直线的斜率之积为-1，分别求出两条直角边的一次函数表达式，解方程组求公共点即为所求（2）等腰三角形：首先把可能的情况都要想到，利用等腰三角形两腰相等及点与点之间的距离公式求点的坐标（3）平行四边形：一般情况下，都会告知平行或者相等，只需要利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求出坐标专项训练一、单选题1．下列命题正确的是（）A．在函数中，当时，y随x的增大而减小B．若，则C．垂直于半径的直线是圆的切线D．各边相等的圆内接四边形是正方形2．如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相似3．如图，在矩形中，，以点A为圆心裁出扇形（点E在边上），将扇形围成一个圆锥（和重合），则此圆锥底面圆半径是（）A．3 B． C． D．124．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A． B．C． D．5．下列命题正确的是（）A．点关于轴的对称点是B．函数中，随的增大而增大C．若一组数据，，，，的众数是，则中位数是D．同圆中的两条平行弦所夹的弧相等6．如图，点是定线段上的动点，点从点出发，沿线段运动至点后，再立即按原路返回至点停止，点在运动过程中速度大小不变，以点为圆心，线段长为半径作圆，则该圆的周长与点的运动时间之间的函数图象大致为（）A． B． C． D．7．在圆，平行四边形、函数的图象、的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（）A．0 B．1 C．2 D．38．下列命题中哪一个是假命题（）A．8的立方根是2B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大C．菱形的对角线相等且平分D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等9．半径为的圆，如果半径增加，则面积与之间的函数表达式为（）A．B．C．D．10．如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2m/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S（cm2），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（）A． B． C． D．二、填空题11．如图,圆O的半径为2.C是函数y=x的图象,C是函数y=−x的图象，则阴影部分的面积是___.12．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象绕原点O逆时针旋转45°，所得的图象与原图象相交于点A，连接OA，以O为圆心，OA为半径作圆，交函数y＝（x＞0）的图象与点B，则扇形AOB的面积为_____．13．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（－3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图像相切时，点A的坐标变为_________．14．在边长为16cm的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积S（cm2）与圆的半径r（cm）之间的函数表达式为_____（不要求写自变量的取值范围）．15．有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②函数的图像；③圆；④平行四边形；⑤正六边形．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是___．三、解答题16．已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求证：BG＝EG；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．17．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图．

（1）已知点，①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_____________，__________；②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由；（2）如图2，点的坐标为，以为圆心，为半径作圆，若在上存在点关于点的“伴随点”，则的纵坐标的取值范围__________．18．己知：如图1，中，，，动点从点出发沿线段以的速度向点运动，同时动点从点出发沿线段以的速度向点运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为（单位：）以点为圆心，长为半径的圆与射线，线段分别交于点，．（1）当是等腰三角形时，求的值；（2）设，求与的函数解析式，且写出的取值范围；（3）如图2，连接，当为何值时，线段与⊙相切？（4）如图2，若⊙与线段只有一个公共点，求的取值范围．19．如图，在矩形中，，，点P在边上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，为半径作圆，圆P与射线的另一个交点为点E，直线与射线交于点G．点M为线段的中点，联结．设．（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（2）联结，当时，求x的值；（3）如果射线与圆P的另一个公共点为点F，当为直角三角形时，求的面积．20．问题提出：平面内有两点P、Q，以点P或点Q为圆心，PQ长为半径的圆称为点P、Q的伴随圆，如图①②所示，、均为点P、Q的伴随圆．初步思考：（1）若点P的坐标是（1，4），点Q的坐标是（-4，3），则点P、Q的伴随圆的面积是________．（2）点O是坐标原点，若函数的图象上有且只有一个点A，使得O、A的伴随圆的面积为，求b的值及点A的坐标．推广运用：（3）点A在以P（m，0）为圆心，半径为1的圆上，点B在函数的图象上，若对于任意点A、B，均满足A、B的伴随圆的面积都不小于，则m的取值范围是________．21．在平面直角坐标系中，动点为函数图像上的任意一点，点和点的坐标分别为．现给出如下定义：以线段为直径的圆称为点的“反比例伴随圆”，在图中，点坐标为，请画出点的“反比例伴随圆”，并写出与轴的交点坐标；在点运动过程中，直接写出其“反比例伴随圆”半径的取值范围；点由运动到的过程中，直接写出其对应的“反比例伴随圆”扫过的面积．22．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，顶点为，直线经过，两点，并且与轴交于点．（1）求抛物线的函数解析式；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（2）若四边形是平行四边形，且点在抛物线上，则点的坐标为________；（3）平面内是否存在点，使以点为圆心的圆经过、两点，并且与直线相切？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知：二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），当2≤x≤4时，函数有最大值5．（1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；（2）将函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0）图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线y＝n恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为A，B，C，D，当以BC为直径的圆与x轴相切时，求n的值．（3）若点P（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于m的一元二次方程恒有实数根时，求实数k的最大值．

专题33函数与圆的综合知识对接考点一、圆1、求圆的前提：根据已知条件做辅助线：（1）作与要证明的切线互相垂直的半径；（2）作所有直径所对应的圆周角为90度的辅助线2、常见求证：（1）证切线：①告诉有线段中点，考虑用中位线定理证明②告诉有线段平分角或者有一组角相等，考虑用等量代换+间接法③告诉有一组平行线，考虑相似或者先找出对应的内错角和同位角，观察同位角是否等于内错角，实现等量代换④如果圆中已经有一条已知切线，证另一条切线，则把这两条切线放在两个三角形中证相似（2）证线段相等：①证明两条线段所对应的三角形全等☆圆周角定理，同弧所对应的弦相等（3）角相等或平分一个角：①证两个角所对应的三角形相似或全等②圆周角定理+等量代换，同弧或等弧对应的圆周角相等考点二、函数1、求解析式顶点在原点：y=ax2图像过原点：y=ax2+bx对称轴在y轴：y=ax2+c对称轴在x轴：y=a（x-h)2一般式：y=ax2+bx+c2、求两点间的距离表达式（即线段）及最值：（1）先设点，观察两个点分别属于哪两个函数之中，求出两个点的横坐标和纵坐标的表达式；（2）用两个点的横坐标或者纵坐标相减的方式求出线段长的表达式；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标3、求三角形的面积表达式及最值：（1）先设点，用点的坐标把三角形的面积表示出来；（直接表示法：当所求三角形有一条边与x轴或者y轴重合；间接表示法：三角形的三边都不与x轴或者y轴重合，可采用几个图形的面积相加再相减求出表达式）（2）转化成二次函数求最值，可求出最值和此时的横坐标4、求在某直线上找一点使线段之和最值（1）首先将其中一点做关于该直线的对称点，连接对称点与另一点的连线与该直线的交点即为所求点（2）通过对称性求出对称点的坐标，求出连线的一次函数表达式，与原直线的表达式解方程组即可求出改点5、求是否存在一点使图形为直角三角形，等腰三角形，或者为平行四边形，求该点坐标（1）直角三角形：首先把可能的情况都要想到，利用两垂直直线的斜率之积为-1，分别求出两条直角边的一次函数表达式，解方程组求公共点即为所求（2）等腰三角形：首先把可能的情况都要想到，利用等腰三角形两腰相等及点与点之间的距离公式求点的坐标（3）平行四边形：一般情况下，都会告知平行或者相等，只需要利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求出坐标专项训练一、单选题1．下列命题正确的是（）A．在函数中，当时，y随x的增大而减小B．若，则C．垂直于半径的直线是圆的切线D．各边相等的圆内接四边形是正方形【答案】D【分析】分别根据相关知识点对四个选项进行判断即可．【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA、当时，反比例函数在时，函数值y随x的增大而增大，故此选项错误；B、当a<0时，-a>0，故-a>a，从而1-a>1+a，故此选项错误；C、过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故此选项错误；D、由于圆内接四边形的四边相等，故每边所对的圆心角相等且均为，由此可得四边形的对角线相互垂直且相等，因而此四边形是正方形，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题分别考查了反比例函数的性质，不等式的性质，切线的定义，圆与正多边形等知识，关键是要对这些知识熟练掌握．2．如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相似【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：∵地平线在太阳的外面，与太阳没有交点，∴所呈现的直线与圆的位置关系式相离，故选C．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．如图，在矩形中，，以点A为圆心裁出扇形（点E在边上），将扇形围成一个圆锥（和重合），则此圆锥底面圆半径是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacherA．3 B． C． D．12【答案】A【分析】根据弧长公式求出的长，根据圆的周长公式计算即可．【详解】解：设圆锥底面圆半径为，的长，则，解得，，故选：A．【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．4．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher从等于该圆的周长，即列方程式，再得到关于y的一次函数，从而得到函数图象的大体形状．【详解】解：由题意得，即，所以该函数的图象大约为A中函数的形式．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，由得出该圆的周长是解题的关键．5．下列命题正确的是（）A．点关于轴的对称点是B．函数中，随的增大而增大C．若一组数据，，，，的众数是，则中位数是D．同圆中的两条平行弦所夹的弧相等【答案】D【分析】根据关于x轴的对称点的特征，一次函数的性质，众数、中位数的定义，圆的性质矩形判断即可．【详解】A、点（1，3）关于x轴的对称点是（1，-3），故错误；B、函数中，随的增大而减小，故错误；C、若一组数据3，x，4，5，6的众数是3，则x=3，则中位数是4，故错误；D、同圆中的两条平行弦所夹的弧相等，正确，故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher命题是假命题，只需举出一个反例即可．6．如图，点是定线段上的动点，点从点出发，沿线段运动至点后，再立即按原路返回至点停止，点在运动过程中速度大小不变，以点为圆心，线段长为半径作圆，则该圆的周长与点的运动时间之间的函数图象大致为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，分点从点出发，沿线段运动至点时，与点按原路返回至点，由这两种情况进行分析可得答案.【详解】解：由题意可知：当点从点出发，沿线段运动至点时，匀速增大，则根据圆的周长公式，可得圆的周长也开始匀速增大；当点按原路返回至点O，开始匀速减小，其周长也开始匀速减小，由匀速可知图象为直线，且前半段圆的周长随时间t上升，后半段圆的周长随时间t下降，分析可得B符合.故选：B.【点睛】本题考查动点问题的函数图像，化动为静是解决动点问题的关键，根据题意确定横轴与竖轴所表示的实际意义结合函数图像进行分析是解答此题的关键.7．在圆，平行四边形、函数的图象、的图象中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据轴对称图形又是中心对称图形的定义和函数图象，可得答案．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【详解】解：圆是轴对称图形又是中心对称图形；

平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；

函数y=x2的图象是轴对称图形，不是中心对称图形；的图象是中心对称图形，是轴对称图形；

故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数和二次函数的图象，利用了轴对称，中心对称的定义．8．下列命题中哪一个是假命题（）A．8的立方根是2B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大C．菱形的对角线相等且平分D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、8的立方根是2，正确，是真命题；B、在函数的图象中，y随x增大而增大，正确，是真命题；C、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．9．半径为的圆，如果半径增加，则面积与之间的函数表达式为（）A．B．C．D．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】D【分析】直接利用圆的面积计算公式建立函数即可．【详解】由题意，得

S=π（3+2x）2=4πx2+12πx+9π．

故选：D．【点睛】考查由实际问题列二次函数关系式，掌握圆的面积计算公式是解决问题的关键．10．如图，∠BAC=60°，点O从A点出发，以2m/s的速度沿∠BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与∠BAC的两边相切，设⊙O的面积为S（cm2），则⊙O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：∵∠BAC=60°，AO是∠BAC的角平分线，∴∠BAO=30°，设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，∵AO=2t，∴r=t，∴S=πt2，∴S是圆心O运动的时间t的二次函数，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵π＞0，∴抛物线的开口向上，故选D．考点：动点问题的函数图象．二、填空题11．如图,圆O的半径为2.C是函数y=x的图象,C是函数y=−x的图象，则阴影部分的面积是___.【答案】【分析】根据圆和二次函数图象的对称性，用割补法和圆的面积公式，即可求解.【详解】把轴下方阴影部分关于轴对称后，原图形阴影部分的面积和，变为一个半圆的面积，即【点睛】利用图形的对称性，把不规则的阴影部分，补成规则的图形，再用圆的面积公式求解.12．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象绕原点O逆时针旋转45°，所得的图象与原图象相交于点A，连接OA，以O为圆心，OA为半径作圆，交函数y＝（x＞0）的图象与点B，则扇形AOB的面积为_____．【答案】π．【分析】如图，作AD⊥y轴于D，由题意∠AOD＝22.5°，根据对称性可知，∠AOB＝90°﹣2×22.5°＝45°，在OD上取一点F，使得OF＝OA，推出∠FOA＝∠FAO＝22.5°，推出∠AFD＝∠DAF＝45°，设DA＝DF＝a，则更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，A[a，（1+）a]，由点A在上，推出（）a2＝2，推出，由OA2＝a2+（1+）2a2＝（4+2）a2，根据扇形AOB的面积＝计算即可．【详解】解：如图，作AD⊥y轴于D，由题意∠AOD＝22.5°，根据对称性可知，∠AOB＝90°﹣2×22.5°＝45°，在OD上取一点F，使得OF＝FA，∴∠FOA＝∠FAO＝22.5°，∴∠AFD＝∠DAF＝45°，设DA＝DF＝a，则，A[a，（1+）a]，∵点A在上，∴（）a2＝2，∴∵OA2＝a2+（1+）2a2＝（4+2）a2，∴扇形AOB的面积＝＝π．故答案为:π．【点睛】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转、反比例函数的性质、扇形的面积公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（－3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图像相切时，点A的坐标变为_________．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【答案】（-2，0）（2，0）【解析】试题分析：根据直线的函数解析式可得：直线与x轴的夹角为30°，当圆与直线相切时，AO=2，则圆心的坐标为（2，0）和（－2，0）．考点：直线与圆相切．14．在边长为16cm的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积S（cm2）与圆的半径r（cm）之间的函数表达式为_____（不要求写自变量的取值范围）．【答案】【解析】试题分析：剩下的面积为：正方形的面积-圆的面积=162-πr2=256-πr2故答案为考点：函数的表达式.15．有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②函数的图像；③圆；④平行四边形；⑤正六边形．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是___．【答案】0.8【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知：①线段；②函数的图像；③圆；④平行四边形；⑤正六边形中，①线段；②函数的图像；③圆；⑤正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是.更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher考点：1.轴对称图形；2.中心对称图形；3.简单事件的概率.三、解答题16．已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求证：BG＝EG；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．【答案】（1）见解析；（2）y＝x﹣3+，定义域是x＞；（3）圆O与圆P的圆心距为或．【分析】（1）证明△FBG∽△FAP，得出比例线段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，则可得出结论；（2）过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，连接PE，由锐角三角函数的定义及勾股定理可求出答案；（3）由等腰三角形的性质得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．【详解】（1）证明：∵BGAP，∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，∴△FBG∽△FAP，∴，∵GEPC，∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher△FEG∽△FCP，∴，∴，∵AP＝PC，∴BG＝EG；（2）解：过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，∴∠AQK=∠QKP=90°，∵DEAP，∴AQ⊥AP，∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，∴四边形APKG为矩形，∴PK＝AQ，AP＝QK，∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝，AB＝5，∴BQ＝AB•cos∠ABQ＝×5＝3，∴AQ＝，∴PK＝4，∵AP＝x∴PE=AP=x，∴KE＝，又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，∴BE＝BK+EG＝，∴y＝，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher当圆P过点B时，点D与点B重合，过B作BH⊥AP于H，∵AQ⊥AP，QBAH，∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，∴四边形QAHB为矩形，∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，在Rt△BHP中，由勾股定理即解得,∴AP＝，∴定义域是x＞；（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，连结OG，直线OG交AC于V，当BF=EF时，点D与点B重合，不成立，∴BF＝BE，∴∠BFE=∠FEB，∵BEAC，∴∠ACF=∠BEF，∴∠AFC=∠ACF，∴AF=AC，∴y+5＝2x，∵y＝，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴2x﹣5＝，整理得,两边平方得,整理得,∴x＝5，∴BE＝5，∴BG=EG＝，∵圆O的半径为，在Rt△BOG中，BO=，根据勾股定理∴OG＝，∴EK=∴PV＝KG=3-GE=3-=，当圆心O在BE下方时，在Rt△PO2V中，由勾股定理∴O2P＝，当圆心O在BE上方时，∴OP＝．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher综合以上可得OP的长为或．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，掌握三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，圆心距，利用辅助线准确构图是解题关键．17．在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图．

（1）已知点，①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_____________，__________；②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由；（2）如图2，点的坐标为，以为圆心，为半径作圆，若在上存在点关于点的“伴随点”，则的纵坐标的取值范围__________．【答案】（1）①（6，2），（3，-1）；②y=x-4；（2）5≤m≤9【分析】（1）①作A1M⊥x轴于M，构造△ABO≌△BA1M，可得OA=BM，OB=A1M，再分别求解；②取N（4，0），则OA=ON，作A1M⊥x轴于M，首先说明A1的运动轨迹是一条直线，求出这条直线的解析式即可解决问题；（2）利用（1）②的结论，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y），y与x之间的关系式：y=x-m更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher，由题意可知，当直线y=x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，求出这两条直线和⊙C相切时的m的值，即可解决问题．【详解】解：（1）①如图，作A1M⊥x轴于M．∵∠ABA1=90°，∴∠ABO+∠A1BM=∠A1BM+∠A1，∴∠ABO=∠A1，∵AB=BA1，∠AOB=∠A1MB=90°，∴△ABO≌△BA1M（AAS），∴OA=BM，OB=A1M，当A（0，4），B（2，0）时，BM=4，A1M=2，OM=6，∴A1（6，2），当A（0，4），B（-1，0）时，同法可得A1（3，-1）．故答案为（6，2），（3，-1）．②取N（4，0），则OA=ON，作A1M⊥x轴于M．同理可证：△ABO≌△BA1M，∴OA=BM=ON，OB=A1M，∴OB=MN=A1M，∴△A1MN是等腰直角三角形，∴∠A1NM=45°，∴点A1在经过点N，与x轴的夹角为45°的直线上，设A1N的表达式为y=kx+b，则k=1，将（4，0）代入，则0=4+b，解得：b=-4，∴这条直线的解析式为y=x-4，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴A1（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，y与x之间的关系式为y=x-4；（2）如图，由（1）可知，A（0，m）关于B的“伴随点”A1（x，y），y与x之间的关系式：y=x-m，由题意可知，当直线y=x-m与⊙C有交点时，在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，当直线y=x-m与⊙C相切时，如图，∵C（4，-3），⊙C的半径为，F为⊙C的切点，过C作CE∥x轴，点E在CD上，在y=x-m中，令x=0，则y=-m，令y=0，则x=m，则C（0，-m），D（m，0），∴△OCD为等腰直角三角形，OD=OC，∵OF⊥EF，CE∥x轴，∴∠ECF=45°，即△CEF为等腰直角三角形，∵CF=，∴EF=，CE=2，又C（4，-3），∴E（2，-3），代入y=x-m中，解得：m=5，同理，当直线y=x-m与⊙C相切于另一点时，同理可得：m=9，综上：满足条件的m的范围为：5≤m≤9．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的解析式、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是发现点A1的运动轨迹是直线，题目比较难，属于中考压轴题．18．己知：如图1，中，，，动点从点出发沿线段以的速度向点运动，同时动点从点出发沿线段以的速度向点运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为（单位：）以点为圆心，长为半径的圆与射线，线段分别交于点，．（1）当是等腰三角形时，求的值；（2）设，求与的函数解析式，且写出的取值范围；（3）如图2，连接，当为何值时，线段与⊙相切？（4）如图2，若⊙与线段只有一个公共点，求的取值范围．【答案】（1），5，和8秒；（2）；（3）秒；（4）或【分析】（1）①如图26-1，当时，过点作，在直角△中，，，（S），②当时，如图26-2，（S）③当点运动到点时，，此时，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（S）（2）如图26-3，连接，过点作，，，即；（3）如图26-4，当与相切时，，，又，，可列方程，解得：即可（4）①由题意得，当时，与只有一个公共点；②当点与点重合时，则有，结合图形可知时，与只有一个公共点．【详解】解：（1）①如图，当时，过点作，，，作，，，，在直角△中，，，∴，∵动点从点出发沿线段以的速度向点运动，∴2；∴（S）②当时，如图更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∵，∴，∴2∴（S）③当点运动到点时，，此时∴（S）∴当，5，和8秒时，是等腰三角形（2）如图，连接，过点作，∵AB=AC，∴，是直径，，∴∠DEB=∠ANB=90°，∠DBE=∠ABN，，，∴，，；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（3）如图，当与相切时，，，又，，，解得：∴当时，与相切（4）①由题意得，当时，与只有一个公共点；②当点与点重合时，则有，解得；结合图形可知时，与只有一个公共点；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher综上当或时，与只有一个公共点．【点睛】本题考查三角形中动点问题，分类考虑等腰三角形，三角形相似判定与性质，利用相似构造函数，用圆的切线的性质求动点运动时间，分类考虑动直线与圆的位置关系，掌握本题考查三角形中动点问题，分类考虑等腰三角形，三角形相似判定与性质，利用相似构造函数，用圆的切线的性质求动点运动时间，分类考虑动直线与圆的位置关系是解题关键．19．如图，在矩形中，，，点P在边上（点P与端点B、C不重合），以P为圆心，为半径作圆，圆P与射线的另一个交点为点E，直线与射线交于点G．点M为线段的中点，联结．设．（1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（2）联结，当时，求x的值；（3）如果射线与圆P的另一个公共点为点F，当为直角三角形时，求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）6【分析】（1）勾股定理求出BD长，利用三角函数求解析式，根据点P和点G的位置确定该函数的定义域；(2)设，则，根据勾股定理列方程即可；(3)根据哪个角是直角分类讨论，利用勾股定理或相似三角形的性质列方程，求出直角边长即可．【详解】解：(1)由勾股定理，，∵点M为线段的中点，∴PM⊥BE，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher中，，解得，点P与端点C不重合，所以，当直线恰好经过A点时，BE=BD=，，，该函数的定义域为：．（2）过点E作于点H，若，可知设，则由勾股定理，可得，解得所以，解得（负根舍去）所以（3）①若，由垂径定理，可知E、F重合，不符合题意；②时，此时E与D重合，，解得所以更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher③时，过点E作，交延长线于点Q由，可得，所以代入数据，，解得综上，的面积为6．【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形、圆的有关性质，解题关键是熟练综合运用所学知识，进行推理计算，注意：分类讨论思想的运用．20．问题提出：平面内有两点P、Q，以点P或点Q为圆心，PQ长为半径的圆称为点P、Q的伴随圆，如图①②所示，、均为点P、Q的伴随圆．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher初步思考：（1）若点P的坐标是（1，4），点Q的坐标是（-4，3），则点P、Q的伴随圆的面积是________．（2）点O是坐标原点，若函数的图象上有且只有一个点A，使得O、A的伴随圆的面积为，求b的值及点A的坐标．推广运用：（3）点A在以P（m，0）为圆心，半径为1的圆上，点B在函数的图象上，若对于任意点A、B，均满足A、B的伴随圆的面积都不小于，则m的取值范围是________．【答案】（1）；（2）b1=4，A1（2，2）或b2=4，A2（2，2）；（3）m≤或m≥．【分析】（1）根据两点间距离公式求出PQ的长，利用圆面积公式计算即可；（2）当O，A的伴随圆的面积为16π，推出OA=4，因为直线y=-x+b有且尽有一个点A满足OA=4，推出点O到直线y=-x+b的距离为4，由y=-x+b与直线y=-x平行，推出直线y=-x+b与x轴的夹角为45°，如图1中所示，有两条直线满足题意，设直线y=-x+b1交y轴于M，另一条直线交y轴于N，则M（0，b1），N（0，b2），解直角三角形即可解决问题；（3）由题意：AB≥4，则点P到直线y=x-4的距离大于等于5，如图设到直线y=x-4的距离等于5的点为P1，P2，根据P1，P2的坐标，结合图象可得结论；【详解】解：（1）∵点P的坐标是（1，4），点Q的坐标是（4，3），∴PQ=，∴S=π•PQ2=26π，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher故答案为：26π．（2）当O，A的伴随圆的面积为16π，∴OA=4，∵直线y=-x+b有且尽有一个点A满足OA=4，∴点O到直线y=-x+b的距离为4，∵y=-x+b与直线y=-x平行，∴直线y=-x+b与x轴的夹角为45°，如图所示，有两条直线满足题意，设直线y=-x+b1交y轴于M，另一条直线交y轴于N，则M（0，b1），N（0，b2），∵∠OA1M=90°，∠OMA1=45°，∴△OMA1是等腰直角三角形，∴OM=OA1=4，∴b1=4，可得A1（2，2），同理可得：b2=4，A2（，2），综上所述，b1=4，A1（2，2）或b2=4，A2（2，2）．（3）由题意：∵A、B的伴随圆的面积都不小于，∴∴AB≥4，则点P到直线的距离大于等于5，如图设到直线的距离等于5的点为P1，P2，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher由题意，在直线上，令x=0，则y=3，∴点D为（0，3），令y=0，则x=4，∴点C为（4，0），∴，由题意可知，∽，∴，∵，，，∴，∴，同理可得；∴P1（，0），P2（，0），结合图象可知：满足条件的m的值为：m≤或m≥．故答案为：m≤或m≥．【点睛】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher本题考查圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，两直线平行的性质、解直角三角形、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．21．在平面直角坐标系中，动点为函数图像上的任意一点，点和点的坐标分别为．现给出如下定义：以线段为直径的圆称为点的“反比例伴随圆”，在图中，点坐标为，请画出点的“反比例伴随圆”，并写出与轴的交点坐标；在点运动过程中，直接写出其“反比例伴随圆”半径的取值范围；点由运动到的过程中，直接写出其对应的“反比例伴随圆”扫过的面积．【答案】（1）（3，0）（-3，0）；（2）r≥3；（3）S=18π+72【分析】（1）根据“反比例伴随圆”的定义画图即可，然后利用垂径定理计算与轴的交点坐标；（2）根据（1）计算半径的方法，计算半径的最值；（3）根据“反比例伴随圆”判断扫过的图形，然后计算面积即可．【详解】解：（1）如图所示：与x轴交于点D，E∵A（2，）即a=2，b=∴B（0，），C（0，-2）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴直径BC=-（-2）=更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher∴r=∴=，=-2=∴OD==3∴D（3，0）E（-3，0）∴与x轴交于点的坐标为（3，0）（-3，0）（2）直径=BC==∴r=∵A（a，b）在上∴即∵=6∴rmin=∴r≥3（3）∵，∴，∴=∴S=S圆+=18π+72【点睛】本题主要考查圆的相关知识，然后结合反比例函数，求出相关的点，计算半径和面积．22．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，顶点为，直线经过，两点，并且与轴交于点．更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher（1）求抛物线的函数解析式；（2）若四边形是平行四边形，且点在抛物线上，则点的坐标为________；（3）平面内是否存在点，使以点为圆心的圆经过、两点，并且与直线相切？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，P点坐标为或【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），再表示为顶点式，从而用a表示C、M点的坐标，然后把M（1，-4a），（0，-3a）代入y=x+d中求出a得到抛物线解析式；（2）先写出