2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1.2指数函数的性质与图像学案含解析新人教B版必修第二册

PAGE4.1.2指数函数的性质与图像学习目标1.通过详细实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出详细指数函数的图像,探究并理解指数函数的单调性与特别点,发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.3.初步运用指数函数的性质解决诸如比较大小等简洁问题,提升学生的数学运算和数学建模的核心素养.课堂探究考古学家常常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时,会持续不断地汲取碳14,从而其体内的碳14含量会保持在肯定的水平;但当有机体死亡后,就会停止汲取碳14,其体内的碳14含量就会渐渐削减,而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.你能用函数表示有机体内的碳14含量与其死亡时间之间的关系吗?一种死亡已经一万年的有机体,其体内的碳14含量是其生存时的百分之多少?利用本节课我们要学习的指数函数学问,可以顺当解决情境中的问题.问题探究一:在以上情境中,假设有机体生存时碳14的含量为1,假如用y代表该有机体死亡x年后体内碳14的含量,则x=5730时,y=12;x=2×5730时,y=122由此可知:x=3×5730时,y=;

x=5730n时,y=;

从而y与x的关系可以表示为.

要点归纳1:指数函数的定义:一般地,函数称为指数函数,其中a是常数,.

问题探究二:请同学们用描点法画出指数函数y=2x的图像,小组探讨完成以下问题:视察y=2x的图像图像特征代数表述图像向x轴的、方向无限延长

定义域

图像位于x轴的

值域

图像不关于和对称

奇偶性

续表自左向右看,图像

单调性

第一象限内的函数图像在y=1的上方当x>0时,y∈

其次象限内的函数图像在y=1的下方当x<0时,y∈

问题探究三:类比指数函数y=2x的图像和性质,探讨指数函数y=12视察y=12图像特征代数表述图像向x轴的、方向无限延长

定义域

图像位于x轴的

值域

图像不关于和对称

奇偶性

自左向右看,图像

单调性

第一象限内的函数图像在y=1的上方当x>0时,y∈

其次象限内的函数图像在y=1的下方当x<0时,y∈

思索并回答下面问题:(1)指数函数y=2x和y=12(2)能得出指数函数y=ax的图像肯定过哪个定点吗?(3)为什么要限定a>0且a≠1?要点归纳2:由以上实例,归纳指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质:0<a<1a>1图像定义域值域性质定点单调性典型例题:例1(多选)若函数f(x)=12a-3·ax(a>0,且A.a=8 B.f(0)=-3 C.f12=22 D.a=例2利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小.(1)0.8-0.1与0.8-0.2;(2)2.5a与2.5a+1.变式训练1已知实数a,b满意37a>37b,试推断6a变式训练2求不等式13x2-8>3例3利用指数函数的性质与图像求方程3x=2x+1的解集.变式训练3利用指数函数的性质与图像求不等式13x>-23课堂练习1.下列的关系式:(1)y=2x+2;(2)y=(-2)x;(3)y=-2x;(4)y=x2;(5)y=πx,其中是指数函数,理由是.

2.函数y=ax-2(a>0,且a≠1)的图像必过定点.

3.将下列三个数按从小到大的依次用不等号连接起来:1323,34核心素养专练1.(多选)若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图像经过第一、三、四象限,则下列选项中正确的有()A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<02.(多选)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是(A.2 B.12 C.3 D.3.(多选)已知实数a,b满意等式12a=13b,则下列五个关系式中A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.b<a<04.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的34,写出存留污垢的百分比y与漂洗次数x的函数关系式,并求出若要使存留的污垢不超过原有的1%所要漂洗的最少次数参考答案课堂探究问题探究一1231要点归纳1:y=axa>0且a≠1问题探究二第一行:负半轴上方R其次行:上方(0,+∞)第三行:y轴原点非奇非偶函数第四行:上升递增第五行:(1,+∞)第六行:(0,1)问题探究三第一行:正半轴上方R其次行:上方(0,+∞)第三行:y轴原点非奇非偶函数第四行:下降递减第五行:(0,1)第六行:(1,+∞)思索并回答下面问题:(1)(0,1)(2)(0,1)(3)其他范围没有探讨的意义.要点归纳2:第一行:图像参考课本其次行:R第三行:(0,+∞)第四行:(0,1)第五行:单调递减单调递增典型例题例1解析:因为函数f(x)是指数函数,所以12a-3=1,所以a=所以f(x)=8x,所以f(0)=1,f12=812=故B,D错误,A,C正确.故选AC.例2(1)<(2)<变式训练1<变式训练2解:不等式13x2-8>3-2x所以由指数函数的性质可知x2-8<2x,∴-2<x<4.例3解:函数y=3x和y=2x+1的图像如图:由图知方程的解集是{0,1}.变式训练3解:函数y=13x和y=-2由图知不等式的解集是{x|x<0或x>1}.课堂练习1.(5)符合指数函数的定义2.(2,1)3.1323<1核心素养专练1.AD2.AB3.CD4.y=14x(x∈N*学习目标1.通过对指数函数概念的理解,培育数学抽象的核心素养;2.通过对指数函数性质和图像的驾驭,培育直观想象、数据分析等数学素养;3.通过对指数函数的应用,培育数学建模、逻辑推理、数学运算等数学素养.自主预习1.指数函数的定义:.

思索:定义中为什么限定a>0且a≠1?

2.用列表描点法画出下列函数图像.(1)y=2x和y=12x(2)y=3x和y=13xx-2-1012y=y=3.指数函数的性质函数y=ax0<a<1a>1图像定义域值域定点单调性课堂探究1.【探究一】比较大小例1利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小.(1)0.8-0.1与0.8-0.2;(2)2.5a与2.5a+1;(3)1.70.3与0.93.1.学后反思:变式训练(1)已知实数a,b满意37a>37b,试推断6(2)求函数y=1-12.【探究二】指数函数恒过定点问题例2(1)函数y=ax(a>0且a≠1)必过定点;

(2)函数y=ax+1(a>0且a≠1)必过定点;

(3)函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)必过定点.

学后反思:变式训练函数y=a2x+b+1恒过定点(1,2),则b=.

课堂小结:核心素养专练A组1.下列函数是指数函数的是()A.y=3-x B.y=32x C.y=3x2 D.y=32.比较两个值的大小.(1)15-12

1523;(2)1.72.(3)140.8

121.8;(4)1.70.33.已知对不同的a值,函数fx=2+ax-1a>0,a≠1的图像恒过定点P4.解指数函数不等式.(1)12x2-2≤2;(2)135.求下列函数的定义域.(1)y=19x-1;(2)y=2B组1.比较大小:a0.5与a0.6a>2.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,求x的取值范围.3.已知f(x)的定义域为(0,1),则f(3x)的定义域为.

4.求y=4x-2x+1+3,x∈(-∞,1]的值域.5.函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,2]中的最大值比最小值大a2,则a的值为参考答案自主预习略课堂探究略核心素养专练A组1.B2.(