2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-第三章3.23.2.2A组·素养自测一、选择题1．下列说法正确的是(B)A．偶函数的图象肯定与y轴相交B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0C．奇函数y＝f(x)的图象肯定过原点D．图象过原点的奇函数必是单调函数[解析]A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不肯定单调，故选B．2．对于定义域是R的随意奇函数f(x)，都有(C)A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0[解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0，故选C．3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下面坐标表示的点肯定在函数y＝f(x)的图象上的是(C)A．(a，－f(a)) B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a)) D．(a，f(－a))[解析]∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，∴(－a，－f(a))在y＝f(x)图象上．4．下列函数中既是奇函数又是偶函数的是(A)A．f(x)＝eq\r(x2－1)－eq\r(1－x2)B．f(x)＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x)C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0))D．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))[解析]选项A中定义域为{－1,1}，函数解析式为y＝0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B为偶函数，选项C为偶函数，选项D为非奇非偶函数，故选A．5．若函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a∈R)，则下列结论正确的是(C)A．对随意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．对随意实数a，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．存在实数a，使f(x)是偶函数D．存在实数a，使f(x)是奇函数[解析]对于A，取a＝4.5，则f(1)＝5.5，f(1.5)＝1.52＋eq\f(4.5,1.5)＝5.25，f(1)>f(1.5)，A错；对于B，取a＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上为增函数，B错；对于C，取a＝0，则f(x)＝x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝f(x)＝x2，C对；对于D，假设存在实数a使f(x)为奇函数，则f(－1)＝－f(1)，又f(－1)＝1－a，f(1)＝1＋a，－f(1)＝－1－a，明显f(－1)≠－f(1)，即假设不成立，D错．6．已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋|x|－1，则当x<0时，f(x)的解析式为f(x)＝(D)A．x2－|x|＋1 B．－x2＋|x|＋1C．－x2－|x|－1 D．－x2－|x|＋1[解析]若x<0，则－x>0，f(－x)＝x2＋|x|－1，∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2＋|x|－1，f(x)＝－x2－|x|＋1.二、填空题7．设f(x)为奇函数，且f(0)存在，则f(0)＝__0__.[解析]由奇函数定义，得f(－0)＝－f(0)．即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝__－5__.[解析]由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.9．若f(x)为偶函数，则f(eq\r(2)＋1)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－\r(2))))＝__0__.[解析]因为f(x)为偶函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－\r(2))))＝f[－(1＋eq\r(2))]＝f(1＋eq\r(2))，故f(eq\r(2)＋1)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－\r(2))))＝0.三、解答题10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．[解析]f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：f(x)＝x2－2，g(x)＝x.11．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求m－n的值．[解析]∵当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2，且f(x)是奇函数，∴当x>0时，－x<0，则f(－x)＝x2－3x＋2.故当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝3x－x2－2.∴当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))时，f(x)是增函数；当x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))时，f(x)是减函数．因此当x∈[1,3]时，f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(1,4)，f(x)min＝f(3)＝－2.∴m＝eq\f(1,4)，n＝－2，从而m－n＝eq\f(9,4).B组·素养提升一、选择题1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(C)A．－2 B．－1C．1 D．2[解析]∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，且函数是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴1－a＝0，∴a＝1.2．假如奇函数f(x)在区间[－7，－3]上单调递减且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上(C)A．单调递增且最小值为－5B．单调递增且最大值为－5C．单调递减且最小值为－5D．单调递减且最大值为－5[解析]f(x)为奇函数，所以f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一样，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，所以f(7)＝－f(－7)＝－5.3．(多选题)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在(AC)A．[0,1]上单调递增B．[0,1]上先增后减C．[2,3]上单调递增D．[2,3]上先减后增[解析]因为f(x)在[－1,0]上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在[0,1]上单调递增．由f(x＋2)＝f(x)，得f(x－2)＝f(x)，设x∈[2,3]，则x－2∈[0,1]，又f(x－2)＝f(x)，从而f(x)在[2,3]上单调递增．故选AC．4．(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(BD)A．|f(x)g(x)|是奇函数B．f(x)|g(x)|是奇函数C．f(x)＋|g(x)|是偶函数D．|f(x)|＋g(x)是偶函数[解析]A中，令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴A中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)＝f(x)·|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴B中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，由g(x)是偶函数可得g(－x)＝g(x)，由f(－x)＋|g(－x)|＝－f(x)＋|g(x)|知C错误；D中，由|f(－x)|＋g(x)＝|－f(x)|＋g(x)＝|f(x)|＋g(x)，知D正确，故选BD．二、填空题5．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__3__.[解析]∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．又f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.6．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间为__(－∞，0]__.[解析]由偶函数的定义知k＝3，所以f(x)＝x2＋3，其图象开口向上，所以f(x)的递减区间是(－∞，0]．7．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是__(－∞，0)__.[解析]∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴f(a－1)>f(－1)．又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.三、解答题8．推断函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x，x<0，,x1＋x，x>0))的奇偶性．[解析]本题是求分段函数的奇偶性，则只需分段探讨即可．∵函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x>0)；当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x<0)．综上可得，f(x)为奇函数．9．已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的随意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)解不等式f(2x－1)<2.[解析](1)证明：设x2>x1>0，则f(x2)－f(x1)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1·\f(x2,x1)))－f(x1)＝f(x1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)))－f(x1)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1))).∵x2>x1>0，∴eq\f(x2,x1)>1.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,x1)))>0，即f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f(2)＝1，∴f(4)＝