2024-2025学年高中数学第二章数列2.1第1课时数列的概念与通项公式学案含解析新人教A版必修5

PAGE1-其次章数列2.1数列的概念与简洁表示法第1课时数列的概念与通项公式[目标]1.知道数列的定义，理解数列的依次性；2.知道数列的几种分类；3.知道数列是特别的函数，体会数列的项与序号间的关系，并能依据数列的前几项写出数列的通项公式．[重点]数列的定义，依据数列的前几项写出数列的通项公式．[难点]数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项．学问点一数列的定义以及有关概念[填一填]1．数列的定义：依据肯定依次排列的一列数叫做数列．2．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．3．数列的一般形式：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中an是数列的第n项．[答一答]1．1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列吗？提示：不是．两个数列相同，每一项都必需相同，而且数列具有依次性．2．怎样表示一个数列的某一项？数列中的项与它的项数有何区分？提示：数列的项通常用字母a加右下标表示，其中右下标表示项的位置序号．例如，a5代表数列的第5项，an代表数列的第n项．数列中的项与项数不是同一概念，项是指该数列中某一确定的数，而项数是指这个数在这个数列中的位置序号．3．推断下列各组元素能否构成数列，并说明理由．(1)a，－3，－1,1，b,5,7,9,11；(2)非负整数．提示：(1)当a，b都代表数时能构成数列；当a，b中有一个不代表数时，不能构成数列．因为数列是按肯定的依次排列的一列数．(2)能构成数列，可以按依次排列为0,1,2,3,4,5,6，….学问点二数列的分类[填一填]1．依据数列项数分类．可分为有穷数列和无穷数列2．依据数列中项的改变趋势分类[答一答]4．数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，eq\f(1,23)，…，eq\f(1,2n－1)与数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，eq\f(1,23)，…，eq\f(1,2n－1)，…是同一数列吗？提示：不是同一数列，前者是有穷数列，共有n项，后者是一个无穷数列．5．同一个数在数列中可以重复出现吗？提示：可以；如常数列2,2,2,2,2，….学问点三数列与函数的关系及数列的通项公式[填一填]1.序号1234…n…项a1a2a3a4…an…所以数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数an＝f(n)，当自变量依据从小到大的依次依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，假如f(i)＝ai(i＝1,2,3,4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(n)，….2．假如数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[答一答]6．对于随意数列，我们是否都可以求出其通项公式呢？数列的通项公式是否唯一确定呢？提示：与全部的函数关系不肯定都有解析式一样，并不是全部数列都有通项公式．有些数列的通项公式可以用不同形式表示．例如，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n＝2k－1n∈N*，,1，n＝2kn∈N*.))类型一数列的概念及分类[例1]已知下列说法：(1)数列1,2,3,4,5，…是无穷递增数列；(2)数列1,1,2,2,3,3共3项；(3)数列－1,0,3,4,7,9的第2项是0；(4)2024年从1月份到12月份全国每月新生婴儿数可组成数列；(5)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，4，－\f(1,3)，3，－\f(1,2)，2，－1，1))是有穷摇摆数列．其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[分析]利用数列概念表示，分类进行推断．[解析](2)中数列共有6项，故(2)错误；(5)数列不能用集合表示，故(5)错误．(1)(3)(4)正确．[答案]C推断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.而推断数列的单调性，则须要从第2项起，视察每一项与它的前一项的大小关系，若满意an<an＋1，则是递增数列；若满意an>an＋1，则是递减数列；若满意an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摇摆数列.[变式训练1](1)下列说法正确的是(A)A．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k项是1＋eq\f(1,k)B．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N*)C．数列的项数都是无限的D．数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是相同数列(2)下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(C)A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)类型二数列的通项公式命题视角1：依据数字特征写数列的通项公式[例2]写出下列数列的一个通项公式：(1)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)9,99,999,9999，…；(4)eq\f(22－1,1)，eq\f(32－2,3)，eq\f(42－3,5)，eq\f(52－4,7)，…；(5)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，….[分析]经过视察、分析找寻每一项与其项数的统一规律．[解](1)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再视察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，所以，它的一个通项公式为an＝eq\f(n2,2).(2)数列各项的肯定值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．(3)各项加1后，分别变为10,100,1000,10000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1起先的奇数列，其通项公式为2n－1；分子的前一部分是从2起先的自然数的平方，其通项公式为(n＋1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an＝eq\f(n＋12－n,2n－1)＝eq\f(n2＋n＋1,2n－1).(5)这个数列的前4项的肯定值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n·eq\f(1,nn＋1).此类问题主要靠视察视察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特别数列、联想联想常见的数列等方法.详细方法为：1分式中分子、分母的特征；2相邻项的改变特征；3拆项后的特征；4各项的符号特征和肯定值特征；5化异为同.对于分式，还可以考虑对分子、分母各个击破，或找寻分子、分母之间的关系.[变式训练2]依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)eq\f(1,2)，eq\f(4,5)，eq\f(9,10)，eq\f(16,17)，…；(2)1,11,111,1111，…；(3)1，eq\f(1,2)，3，eq\f(1,4)，…；(4)4,0,4,0,4,0，….解：(1)an＝eq\f(n2,n2＋1)(n∈N*)；(2)an＝eq\f(1,9)(10n－1)(n∈N*)；(3)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n，n为奇数，,\f(1,n)，n为偶数；))(4)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n为奇数，,0，n为偶数))或an＝2＋2×(－1)n＋1.命题视角2：依据图表特征写数列的通项公式[例3]传闻古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—约公元前500年)学派的数学家常常在沙滩上探讨数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将小石子摆成如图所示的三角形态，就将其所对应的小石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．[分析]通过题中给出的图形计数，探究项与项数n的关系，猜想通项公式求解，或者依据图形改变规律，将小石子的个数逐个写出，直到第10个．[解析]方法一(计数探规律)：三角形数依次为：1,3,6,10,15，…；从第2项起，规律为：3＝1＋2(第2个)；6＝1＋2＋3(第3个)；10＝1＋2＋3＋4(第4个)；…；第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.方法二(图形找规律)：如图，矩形框内的图形是比前一个图形多出的图形，这样逐次写出三角形数为：1,3,6,10,15,15＋6,15＋6＋7,15＋6＋7＋8,15＋6＋7＋8＋9,15＋6＋7＋8＋9＋10＝55.[答案]55图形、数表等形式的信息条件，隐含着各种数的排列规律，要处理好这些问题，关键在于读懂图形或数表中数与数之间的关系，从中找出规律.[变式训练3]黑、白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖4n＋2块．解析：第1个图案中有白色地面砖6块，第2个图案中有白色地面砖10块，第3个图案中有白色地面砖14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块白色地面砖，从而第n个图案中有4n＋2块白色地面砖．类型三数列通项公式的应用[例4]已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1)))，(1)求这个数列的第10项；(2)eq\f(98,101)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．[分析]将n代入或列方程求解；对于(3)，将通项化简，依据n≥1求出项的取值范围．[解]设f(n)＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq\f(3n－2,3n＋1).(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝eq\f(28,31).(2)令eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(98,101)，得9n＝300.此方程无正整数解，所以eq\f(98,101)不是该数列中的项．(3)证明：∵an＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，又n∈N*，∴0<eq\f(3,3n＋1)<1，∴0<an<1.即数列中的各项都在区间(0,1)内．1.数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.,2.推断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解.若方程的解为正整数，则该数值是数列中的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项.[变式训练4](1)已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n2,n2＋1)，试推断0.7是不是数列{an}中的一项？若是，是第几项？(2)已知数列{an}的通项公式为an＝3－2coseq\f(nπ,2).求证：am＋4＝am.解：(1)令eq\f(n2,n2＋1)＝0.7，则3n2＝7，即n2＝eq\f(7,3)，此时n无整数解，故0.7不是这个数列中的项．(2)证明：因为am＋4＝3－2coseq\f(m＋4π,2)＝3－2coseq\f(mπ,2)，又am＝3－2coseq\f(mπ,2).所以am＋4＝am.1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有(D)A．① B．①②C．①②③ D．①②③④解析：数列是按“肯定依次”排列着的一列数．因此选D.留意此题易错选B.2．在数列－1,0，eq\f(1,9)，eq\f(1,8)，…，eq\f(n－2,n2)，…中，0.08是它的(C)A．第100项 B．第12项C．第10项 D．第8项解析：∵an＝eq\f(n－2,n2)，令eq\f(n－2,n2)＝0.08，解得n＝10或n＝eq\f(5,2)(舍去)．3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝3－4n，eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,5).解析：依据通项公式我们可以求出这个数列的随意一项．∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n＝3－4n，eq\f(a2,a3)＝eq\f(3－22,3－23)＝eq\f(1,5).4．若数列{an}的通项满意eq\f(an,n)＝n－2，那么15是这个数列的第5项．解析：由eq\f(an,n)＝n－2可知，an＝n2－2n，令n2－2n＝1