2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列二练习含解析新人教A版选修2-3

PAGE5-第一章1.21.2.1第2课时请同学们仔细完成练案[4]A级基础巩固一、选择题1．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为(C)A．18 B．24C．36 D．48[解析]5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36(种)．2．某单位支配7位员工在10月1日至7日值班，每天支配1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的支配方案共有(C)A．504种 B．960种C．1008种 D．1108种[解析]甲、乙相邻的全部方案有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)＝1440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48种，故符合题设要求的不同支配方案有：1440－2×240＋48＝1008种，故选C．3．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车须要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有(D)A．Aeq\o\al(8,12)种 B．2Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(4,4)种C．8Aeq\o\al(8,8)种 D．9Aeq\o\al(8,8)种[解析]将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有Aeq\o\al(9,9)＝9Aeq\o\al(8,8)种．4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(B)A．192种 B．216种C．240种 D．288种[解析]分两类：最左端排甲有Aeq\o\al(5,5)＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有4Aeq\o\al(4,4)＝96种不同的排法，由分类加法原理可得满意条件的排法共有120＋96＝216种．5．甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的5天中参与某项志愿者活动，要求每人参与一天且每天至多支配一人，并要求甲支配在另外两位前面，不同的支配方法共有(A)A．20种 B．30种C．40种 D．60种[解析]分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有Aeq\o\al(2,4)种支配方法；甲排周二，乙、丙有Aeq\o\al(2,3)种支配方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有Aeq\o\al(2,2)种支配方法．由分类加法计数原理可知，共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝20种不同的支配方法．6．(2024·广元模拟)在航天员进行一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最终一步，程序B和C在实施时必需相邻，问试验依次的编排方法共有(C)A．34种 B．48种C．96种 D．144种[解析]依据题意，程序A只能出现在第一步或最终一步，则从第一个位置和最终一个位置选一个位置把A排列，有Aeq\o\al(1,2)＝2种结果，又由程序B和C实施时必需相邻，把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，留意B和C之间还有一个排列，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48种结果，依据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，故选C．二、填空题7．(2024·和平区高三)现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为__480__．[解析]假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置，有Aeq\o\al(5,5)＝120种状况，故不同排列方法种数4×120＝480种．故答案为480．8．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，假如分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__96__．[解析]先分组后用安排法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有Aeq\o\al(4,4)种，因此共有不同的分法4Aeq\o\al(4,4)＝4×24＝96(种)．9．2024年某地实行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标记性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必需相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答)[解析]将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标记性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×Aeq\o\al(2,3)＝24种．三、解答题10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在起先和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Aeq\o\al(2,5)种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有Aeq\o\al(6,6)种排法，故共有不同排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400种．(2)先不考虑排列要求，有Aeq\o\al(8,8)种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的状况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝37440种．B级素养提升一、选择题1．(2024·濮阳三模)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲解并描述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的依次提出了如下要求：重点任务A必需排在前三位，且任务E、F必需排在一起，则这六项任务的不同支配方案共有(D)A．240种 B．188种C．156种 D．120种[解析]依据题意，由于任务A必需排在前三位，分3种状况探讨：①A排在第一位，任务E、F必需排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的依次，有2种状况，将剩下的3个任务全排列，支配在其他三个位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6种支配方法，则此时有4×2×6＝48种支配方案；②A排在其次位，任务E、F必需排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的依次，有2种状况，将剩下的3个任务全排列，支配在其他三个位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6种支配方法，则此时有3×2×6＝36种支配方案；③A排在第三位，任务E、F必需排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的依次，有2种状况，将剩下的3个任务全排列，支配在其他三个位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6种支配方法，则此时有3×2×6＝36种支配方案；则符合题意要求的支配方案有36＋36＋48＝120种．故选D．2．(多选题)某地为了迎接2024年城运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的依次不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪耀．在每个闪耀中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪耀的时间间隔均为5秒．假如要实现全部不同的闪耀，那么须要的时间可以是(ABC)A．1205秒 B．1200秒C．1195秒 D．1190秒[解析]由题意每次闪耀共5秒，全部不同的闪耀为Aeq\o\al(5,5)个，相邻两个闪耀的时间间隔为5秒，因此须要的时间至少是5Aeq\o\al(5,5)＋(Aeq\o\al(5,5)－1)×5＝1195秒，故选ABC．二、填空题3．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为__576__．[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事务，由间接法可得Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝576．4．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门支配在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有__300__种不同的支配方法．(用数字回答)[解析]法一：(分类法)分两类．第1类，化学被选上，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,5)种不同的支配方法；第2类，化学不被选上，有Aeq\o\al(4,5)种不同的支配方法．故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(4,5)＝300种不同的支配方法．法二：(分步法)第1步，第四节有Aeq\o\al(1,5)种排法；第2步，其余三节有Aeq\o\al(3,5)种排法，故共有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,5)＝300种不同的支配方法．法三：(间接法)从6门课程中选4门支配在上午，有Aeq\o\al(4,6)种排法，而化学排第四节，有Aeq\o\al(3,5)种排法，故共有Aeq\o\al(4,6)－Aeq\o\al(3,5)＝300种不同的支配方法．三、解答题5．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．[解析](1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2500(个)．(2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有Aeq\o\al(1,4)种填法，其余四个位置四个数字共有Aeq\o\al(4,4)种，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(个)．解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有Aeq\o\al(1,4)种方法，其余四个数字全排有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位Aeq\o\al(1,2)，其余任排有Aeq\o\al(2,2)，故有2Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)种．②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2Aeq\o\al(3,3)，所以共有2Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(3,3)＝8＋12＝20(个)．(4)考虑特别位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有Aeq\o\al(1,2)种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有Aeq\o\al(1,3)种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为Aeq\o\al(3,3)，故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(个)．6．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必需相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)若3个女生身高互不相等，女同学从左到右按高矮依次排，有多少种不同的排法？[解析](1)3个女同学是特别元素，她们排在一起，共有Aeq\o\al(3,3)种排法；我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有Aeq\o\al(5,5)种排法，由分步乘法计数乘法原理，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有Aeq\o\al(4,4)种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空档中插入3个女生有Aeq\o\al(3,5)种方案，故符合条件的排法共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440种不同排法．(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144种．(4)先排甲、乙和丙3