《空间向量及其运算》知识探究

高中数学精编资源2/2《空间向量及其运算》知识探究探究点1空间向量的相关概念1.空位向量:在空间,具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度或模:空间向量的大小.3.表示方法（1）几何表示法:空间向量用有向线段表示.（2）字母表示法:用字母表示;若向量的起点是,终点是,也可记作:,其模记为或.（3）坐标表示法:建立空间坐标系后,还可以用坐标表示空间向量.4.常见的特殊向量（1）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0.（2）单位向量：模为1的向量叫做单位向量.（3）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a.（4）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.（5）方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.（6）相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量.【要点辨析】1.空间向量要紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.2.注意一些特殊向量的特性（1）零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.（2）单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.（3）两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.学科素养:利用空间向量的定义及空间向量的线性运算解决问题，体现了数学抽象的核心素养.典例1[概括理解能力]给出下列命题：①若,则或;②若向量是向量的相反向量,则;③在正方体中,;④若空间向量满足,则.其中正确命题的序号是___________.解析:本题考查空间向量的相关概念和常见的特殊向量的定义,根据向量的概念,向量既有大小,又有方向,所以要从两方面来判断关于空间向量的有关概念的题目;模相等的向量,方向不一定相同或相反,而相反向量的模一定相等,空间向量是自由向量,所以只要模相等,方向在一条直线或平行就可以判断两个相等或相反.对于①,向量与的方向不一定相同或相反,故①错;对于②,根据相反向量的定义知,故②正确;对于③,根据相等向量的定义知,,故③正确;对于④,根据相等向量的定义知正确.答案②③④.探究点2空间向量的线性运算1.向量的加法、减法运算空间向量的运算加法减法加法运算律①交换律:②结合律:2.空间向量的数乘运算(1)定义:实数与空间向量的乘积仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.当时,与向量方向相同;当时,与向量方向相反;的长度是的长度的倍.(2)运算律①结合律:.②分配律:.【要点辨析】1.空间向量加法、减法运算的两个技巧（1）巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.2.利用数乘运算进行向量表示的技巧（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.学科素养:利用空间向量的线性运算解决问题，体现了数学抽象、数学运算的核心素养.典例2[分析计算能力](1)如图所示,在正方体中,下列各式中运算结果为向量的有（）①;②;③;④.A.1个B.2个C.3个D.4个(2)已知空间四边形,连接,设分别是的中点,则等于（）A.B.3C.3D.解析:本题考查空间向量中,根据向量的三角形法则以及三角形中位线的性质,依次得出空间向量加法的运算结果.(1)对于①,(;对于②,;对于③,;对于④,.答案D答案B探究点3空间向量的共线问题共线向量定理:对于空间任意两个向量的充要条件是存在实数使.【要点辨析】证明空间三点共线的三种思路:对于空间三点可通过证明下列结论来证明三点共线.(1)存在实数,使成立.(2)对空间任一点,有.(3)对空间任一点,有.学科素养:利用空间向量的共线向量定理解决问题，体现了数学运算的核心素养.典例3[分析计算能力]若非零空间向量不共线,则使与共线的的值为_______________.解析:本题考查空间向量中,根据空间向量的共线向量定理,找出唯一的实数,计算得出值.若与共线,则,.答案探究点4空间向量的共面问题1.共面向量:平行于同一个平面的向量叫做共面向量.2.共面向量定理:若两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.【要点辨析】四点共面的结论:(1)存在有序实数对,使得,(2)空间一点在平面内的充要条件是存在有序实数组使得(其中).(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线,如.学科素养:利用空间向量的共面向量定理解决问题，体现了数学运算的核心素养.典例4[分析计算能力]已知向量不共面,且,试判断是否共面.解析:本题考查空间向量中,根据空间向量的共面向量定理解决问题,首先设,然后用分别表示出,通过系数相等算出.解:设,即.因为不共面,所以,而此方程组无解,所以不能用表示,即不共面.探究点5空间向量的数量积运算1.（1）夹角的定义已知两个非零向量与,在空间任取一点,作,则叫做向量与的夹角,记作.（2）范围:空间向量的夹角范围是.2.（1）空间向量的数量积定义:已知两个非零向量,则叫做的数量积,记作,即.（2）数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律交换律分配律【要点辨析】1.两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.2.向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律.3.可利用数量积证明垂直，计算夹角，计算距离.学科素养:利用空间向量的数量积解决问题，体现了数学运算的核心素养.典例5[分析计算能力]如图所示，在一个直二面角-A