32一阶系统的时域分析

3-2一阶系统的时域分析1.一阶系统的时域分析2.一阶系统的单位阶跃响应3.一阶系统的单位脉冲响应4.一阶系统的单位斜坡响应5.一阶系统的单位加速度响应(1)、通过对一阶系统的分析，掌握如何应用时域指标的概念来计算上述五个动态指标。(2)、通过一阶系统在三个典型信号（阶跃、斜坡、加速度）的响应，引出系统对信号的跟踪概念（稳态误差）重点分析阶跃、斜坡信号作用于一阶系统时的响应，误差表达式、稳态误差。3－2一阶系统的时域分析1、一阶系统的数学模型i(t)RCr(t)c(t)图3-2一阶控制系统

如RC电路C(t)为输出电压，r(t)为输入电压，C(0)=0

一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。

其中，T＝RC为时间常数；取拉氏变换(3-2)则一阶系统的传递函数为：(3-3)R(s)C(s)I(s)-i(t)RCr(t)c(t)(a)(b)3-2一阶系统的时域分析1.一阶系统的时域分析2.一阶系统的单位阶跃响应3.一阶系统的单位脉冲响应4.一阶系统的单位斜坡响应5.一阶系统的单位加速度响应2、一阶系统的单位阶跃响应设输入信号为单位阶跃输入于是单位阶跃响应h(t)为：h(t)=1－e-t/T

，t≥0(3-4)注意：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。⑴可以时间常数T度量系统输出量的数值。当t=0，h(0)=0；当t→∞，h(∞)=1。如：当t=T，h(T)=0.632；

t=2T，h(2T)=0.865t=3T，h(3T)=0.95h(t)h(t)=1－e-t/T

一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，具备如下两个特点：图3-3一阶系统的单位阶跃响应曲线

一阶系统响应曲线在t=0时的斜率为1/T；其斜率随时间下降，当t＝∞时，动态过程结束，但工程上习惯取t=(3-5)T，认为过渡过程结束。

∴T反映了系统的响应速度。h(t)h(t)=1－e-t/T

⑵一阶系统的响应曲线斜率t=0时，t=T时，t=∞时，根据动态指标定义，求一阶系统的动态性能指标a.求延迟时间td：因为h(∞)=1，由td的定义，当t=td时，h(td)=0.5

代入一阶系统阶跃响应表达式，b.求上升时间tr由上升时间的定义，分别求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9得：t1=0.1T；t2=2.3T所以：tr=t2－t1=2.2Tc.同理可求出ts=3T（误差范围：±5%）d.一阶系统没有超调，所以不需要求tp和σ%。h(t)h(t)=1－e-t/T

讨论：动态指标与时间常数T有关，T越小，其响应过程越快，即惯性越小，一阶系统又称为“惯性系统”。h(t)h(t)=1－e-t/T

稳态性能指标:一阶惯性系统的单位阶跃响没有静态误差3-2一阶系统的时域分析1.一阶系统的时域分析2.一阶系统的单位阶跃响应3.一阶系统的单位脉冲响应4.一阶系统的单位斜坡响应5.一阶系统的单位加速度响应3、一阶系统单位脉冲响应当输入为单位脉冲函r(t)=δ(t)，求其脉冲响应。因为R(s)=1，则系统的输出为：(3-5)图3-4一阶系统的单位脉冲响应曲线k(t)一阶系统的脉冲响应为一单调下降指数曲线，其衰减到初始值5%所需时间仍为ts=3T。

故系统的惯性越小，响应过程的快速性越好。响应曲线的各处斜率为：备注：在初始条件为零的情况下，一阶系统的单位脉冲响应与系统闭环传递函数包含了相同的动态信息。这一特点同样适用于其他各阶线性定常系统。因此，工程上常用测量系统的单位脉冲响应，来求出被测系统的传递函数。工程上无法得到理想单位脉冲函数，一般用具有一定脉宽b和有限幅度的矩形脉动函数来代替。一般要求b<0.1T。3-2一阶系统的时域分析1.一阶系统的时域分析2.一阶系统的单位阶跃响应3.一阶系统的单位脉冲响应4.一阶系统的单位斜坡响应5.一阶系统的单位加速度响应4、一阶系统的单位斜坡响应当输入为单位斜坡函数r(t)=t，tr(t)=tc(t)单位斜坡响应为：

讨论：

(1).斜坡响应有二部分：

稳态分量：t－T响应曲线比输入曲线延迟T

瞬态分量：随时间的增加而减小。(3-6)

误差与时间常数T有关，惯性T越小，系统的速度跟踪误差越小，精度越高。(2).输出误差tr(t)=tc(t)当t=0时，e(0)=0；t→∞时，e(∞)=T

一阶系统时域分析无零点的一阶系统Φ(s)=Ts+1k,T时间常数(画图时取k=1,T=0.5)单位脉冲响应k(t)=T1e-Ttk(0)=T1K’(0)=T12单位阶跃响应h(t)=1-e-t/Th’(0)=1/Th(T)=0.632h(∞)h(3T)=0.95h(∞)h(2T)=0.865h(∞)h(4T)=0.982h(∞)单位斜坡响应T?c(t)=t-T+Te-t/Tr(t)=δ(t)r(t)=1(t)r(t)=t问1、3个图各如何求T？2、调节时间ts=？3、r(t)=vt时，ess=？4、求导关系k(0)=T1K’(0)=T12

小结:等价对应关系表明：

系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。此特征适用于任何阶线性定常系统。因此，研究线性定常系统的时间响应,只用一种典型输入信号进行研究即可。5、一阶系统单位加速度响应上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。一阶系统暂态响应小结

1.对于单位阶跃响应，当t→∞时，系统的稳态误差

e(t)→0,说明一阶系统能跟踪单位阶跃输入。2.对于单位斜坡响应，当t→∞时，系统的稳态误差

e(t)＝T，说明一阶系统在单位斜坡信号作用下，存在一个跟踪误差，而且T越小，误差越小。3.一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪，t→∞时，e(t)→∞。4.一阶系统的快速性和稳态误差都与T的大小有关系。3－3二阶系统的时域分析1.二阶系统的数学模型2.二阶系统的单位阶跃响应3.欠阻尼二阶系统的动态过程分析4.过阻尼二阶系统的动态过程分析5.二阶系统的单位斜坡响应6.二阶系统性能的改善7.非零初始条件下二阶系统的响应过程

什么是二阶系统？凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，即为二阶系统。研究二阶系统的意义:1.二阶系统的典型应用极为普遍

2.不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统特性来表征。本节主要内容：一、继续讲二阶系统的时域分析中的几种工作状态。二、二阶系统的性能改善，关键是改变了阻尼比和振荡频率。三、介绍主导极点的概念。1.二阶系统的数学模型模型(1).开环传递函数(2).闭环传递函数C(s)R(s)R(s)C(s)E(s)注意模型中的二个重要参数:ξ:阻尼比

ωn:自然频率或称为无阻尼振荡频率(3-11)将闭环传递函数进行因式分解：式中，p1、p2是闭环传递函数的极点，即为特征方程的特征根。求特征方程的特征根：3－3二阶系统的时域分析1.二阶系统的数学模型2.二阶系统的单位阶跃响应3.欠阻尼二阶系统的动态过程分析4.过阻尼二阶系统的动态过程分析5.二阶系统的单位斜坡响应6.二阶系统性能的改善7.非零初始条件下二阶系统的响应过程2.二阶系统的单位阶跃响应

当输入r(t)=1(t)时，R(s)=1/s，所以二阶系统的单位阶跃响应为取拉氏反变换，求时域响应β、ξ、ωn三者之间的关系：s1j+1β特征根的形式与ξ值有关，分别讨论如下：(1).当ξ=0时，特征根是一对虚数根s1、2=±jωn

；(2).当0<ξ<1时，特征根是具有负实部的共轭复根；(3).当ξ=1时，特征根是两个相等的负实数根

s1、2=ωn

；(4).当ξ>1时，特征根是两个不相等的负实数根；

系统将具有一对纯虚数极点，此时称系统处于无阻尼状态，系统的阶跃响应将是等幅振荡，并且将称为无阻尼自然振荡角频率，或简称为无阻尼自然振荡频率。响应的形式与ξ值的关系，讨论如下：(1).ξ=0（零阻尼）s1、2=±jωn

系统具有一对实部为负的共轭复数极点，系统的阶跃响应是振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，此时称系统处于欠阻尼状态。(2).0<ξ

<1(欠阻尼)

系统具有两重实极点，于是系统阶跃响应中没有周期分量，阶跃响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。此时称系统处于临界阻尼情况。(3).ξ=1(临界阻尼)s1、2=ωn

系统具有不相等的两个实极点，系统的阶跃响应还是随时间按指数函数规律而单调衰减，只是衰减的快慢主要由靠近虚轴的那个实极点决定。此时称系统处于过阻尼情况。(4).ξ>1(过阻尼）

<-1（右半平面有相异正实根）时系统响应

0>>-1（右半平面有带正实根的共轭虚根）时系统响应

分别研究欠阻尼、临界阻尼、过阻尼二阶系统的单位阶跃响应：(1)、欠阻尼(0<ξ<1)二阶系统的单位阶跃响应σ：衰减系数；ωd：为阻尼振荡频率。对于单位阶跃输入，C(s)可以写成暂态振荡频率为阻尼振荡频率，它是随阻尼比而变化的。取拉氏反变换，求单位阶跃响应：这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为ωn由系统本身的结构参数确定，故称为无阻尼振荡频率。

(2)、临界阻尼

(ξ=1)二阶系统的单位阶跃响应

如果C(s)/R(s)的两个极点接近相等，则系统可近似看作临界阻尼系统。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示为：其拉氏反变换为：当ξ=1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，

(3)、过阻尼(ξ>1)二阶系统的单位阶跃响应

这种情况下，C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因此C(s)可以写成其拉氏反变换为：(3-17)

系统的响应h(t)包含着两个衰减的指数项。当ξ远大于1时，在两个衰减的指数项中，一个比另一个衰减的要快得多，因此衰减得比较快的指数项（相应于较小时间常数的指数项），就可以忽略不计。ξ=00.10.20.30.60.40.70.82.01.0二阶系统单位阶跃响应曲线

由图：临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快；在欠阻尼(0<ξ<1)响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升时间最短，通常取ξ=0.4~0.8为宜，此时超调量适度，调节时间较短；若二阶系统具有相同的ξ和不同的ωn，则其振荡特性相同但响应速度不同，ωn越大，响应速度越快。3－3二阶系统的时域分析1.二阶系统的数学模型2.二阶系统的单位阶跃响应3.欠阻尼二阶系统的动态过程分析4.过阻尼二阶系统的动态过程分析5.二阶系统的单位斜坡响应6.二阶系统性能的改善7.非零初始条件下二阶系统的响应过程当系统为欠阻尼情况下，即0<<1时，二阶系统阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量的计算公式：上升时间tr峰值时间tp

由上式可见，如欲减小tr

，当一定时，需增大，反之，若一定时，则需减小。3.欠阻尼二阶系统的动态过程分析s1j+1βs20图3-11欠阻尼二阶系统的特征参量3-3二阶系统的时域分析－－单位阶跃响应最大超调量σp

调整时间ts

当0<ξ<0.8时当采用2%允许误差时

当采用5%允许误差时二阶系统单位阶跃响应定性分析Φ(s)=s2+2ξωns+ωn2ωn2S1,2=-ξωn±√ξ2-1ωnS1,2=-ξωn±j√1-ξ2ωnS1,2=-ξωn-ωn=S1,2=±jωn0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0j0j0j0j0T11T21h(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)=1-(1+ωnt)e-ω

tnh(t)=1√1-ξ21e-ξωtnsin(ωdt+β)h(t)=1-cosωntξ＞1:ξ＝1:0＜ξ＜1:ξ＝0:3-3二阶系统的时域分析－－脉冲响应

三、二阶系统的脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应C(s)为

该方程的拉普拉斯反变换，就是时域响应解c(t)，当0≤ξ<1时，

当ξ＝1时当ξ>1时3-3二阶系统的时域分析－－单位斜坡响应当输入信号r(t)=t时，3-3二阶系统的时域分析－－单位斜坡响应由上分析，二阶系统可以跟踪单位斜坡输入，但有误差。误差响应：3-3二阶系统的时域分析－－举例

例：图示系统中，

弧度/秒。当系统受到单位阶跃输入信号作用时，试求上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量σp和调整时间ts。

解：根据给定的

和

值，可以求得

和

。上升时间tr3-3二阶系统的时域分析－－举例峰值时间tp

最大超调量σp

因此，最大超调量百分比为9.5%。调整时间ts

对于2%允许误差标准，调整时间为：

对于5%允许误差标准，调整时间为：

3-3二阶系统的时域分析－－举例例：下图控制系统，输入信号r(t)=t，放大器增益kA分别取13.5、200、1500，试分别写出系统误差响应表达式，并估算其性能指标。解：将系统的开环传递函数与标准二阶系统的开环的开环函数相比较。R(s)E(s)C(s)当ka=13.5时，ξ=2.1ωn=8.2ξ=2.1>1，系统属于过阻尼二阶系统。3-3二阶系统的时域分析－－举例对于二阶系统斜坡输入的过阻尼误差响应，参见P95(3-40)式。将ξ和ωn代入(3-40)式，求出误差响应表达式。系统有二个衰减因子比较二个因子，后者的系数比前者小很多，而且衰减也比前者快，所以它在系统响应中的影响可以忽略不计，因此，可近似为：可视为一阶系统模型。注意：二阶系统在某些条件下，可近似等效为一阶系统，工程上常这样处理。3-3二阶系统的时域分析－－举例所以，可以用一阶系统的性能指标近似估算该系统的性能指标。3-3二阶系统的时域分析－－举例当kA=200时，求得ξ=0.55<1，ωn=31.6系统属欠阻尼二阶系统，在斜坡输入下，二阶系统欠阻尼误差响应参见P87(3-31)式，代入ξ和ωn求得：3-3二阶系统的时域分析－－举例当kA=1500时情况请大家自习时计算。

kA、ξ、ωn之间的关系，以及与稳态误差、动态性能的关系：增大放大器增益会导致系统的阻尼下降，虽可减小稳态误差，却恶化了误差响应的动态性能，因此ξ值不宜太小，而ωn值希望足够大。在通常只有可调的系统中要同时满足稳态和动态两方面特性要求是困难的。这是因为：3-3二阶系统的时域分析－－举例

1.改变开环增益就相当于改变系统阻尼比的数值，但是，阶跃响应中的超调量和斜坡响应中的稳态误差对ζ的要求正好相反，要取得一个合适的折衷方案比较困难。

2.即使能够找到合适的开环增益值，满足上述稳态和动态两方面的要求，也可能不满足系统在扰动作用下的稳态误差要求。

3.在高精度控制系统中，需要采用高增益使死区、间隙和摩擦等非线性因素的影响减到最低程度，因此不能任意降低开环增益以换取较小的超调量。3-3二阶系统的时域分析－－二阶系统性能改善为什么要改善二阶系统的性能？目的是什么？1.从前面讲述中可以看到，动态指标与静态指标对ζ的要求是不一致的。如：调节时间稳态误差如何协调动态、静态的矛盾？2.动态指标之间也存在不能同时达到最佳的问题。二阶系统常用比例－微分控制和测速反馈控制来改善性能(1)比例－微分控制比例－微分控制特点：因为微分控制反映的是系统的动态性能，静态时不起作用，而微分控制又是超前控制，可以在误差出现之前提前产生修正作用，从而达到改善系统性能的目的。

比例－微分控制的实质仍是改变阻尼系数ξ(1)比例－微分控制比例－微分控制系统结构图。没有TdS环节，系统是一个典型的二阶系统，Td为微分时间常数。开环传递函数与闭环传递函数分别为Tds1R(s)－＋C(s)

上两式表明，比例－微分控制不改变系统的自然频率，但可增大系统的阻尼比，由于ξ和ωn均与K有关，所以适当选择开环增益和微分器时间常数，既可减小系统在斜坡输入时的稳态误差，又可使系统在阶跃输入时有满意的动态性能。(1)比例－微分控制由上述结构图和函数式，比例－微分控制系统与二阶系统闭环传递函数相比：

1.无阻尼振荡频率ωn

没有改变

2.系统增加了一个零点-z，有关零点的作用以后再讲

3.增大了阻尼系数，由ξ改变成ξd

由于微分环节Td只是在动态时起作用，静态时不起作用，所以在动态时系统阻尼比是ξd起作用，使调节时间和超调量下降；而稳态时是ξ起作用，可使系统的稳态误差减小。(1)比例－微分控制例：设单位反馈系统开环传递函数为：k为开环增益，已知系统在单位斜坡输入时，稳态误差ess=1/k，若要求ess≤0.2rad，ξd=0.5，试确定k与Td的数值，并估算系统在阶跃函数作用下的动态性能。解：由ess=1/k，和ess≤0.2rad求得k≥5，取k＝5

根据比例－微分控制系统模型，(3－41)式，(1)比例－微分控制又由系统单位斜坡响应稳态误差表达式（3－30）：比较加入PD前后系统的动态性能(1)比例－微分控制（1）没加入PD之前，(1)比例－微分控制（2）加入PD之后，阻尼比变成ξd=0.5，ωn不变，用（3－24）曲线图求出上升时间tr。求峰值时间用（3－47）式，求超调量用（3－49）式，求调节时间用（3－50）式，分别求出：tp=1.63；δ%=42.4%；ts=3.73

，

动态指标都得到了改善。(1)比例－微分控制参数加入PD之前加入PD之后tr1.021.2tp1.841.63δ%57.642.4ts11.73.73比较加入PD之前、后系统的参数变化。比例－微分控制可