2022年人教A版高中数学必修第一册第4章同步知识点指导与训练

第四章指数函数与对数函数

4.1指数

【素养目标】

i.弄清(%)”与海的区别，掌握〃次方根的运算.(数学抽象)

2.能够利用3=幅进行根式与分数指数幕的互化.(数学运算)

3.通过对根指数〃的讨论学会运用分类讨论的思想方法.(逻辑推理)

【学法解读】

本节的重点是根式与分数指数暴的概念及性质和分数指数幕的运算法则，以及法则的推广，这同时也

是简亿计算的一个方面.在学习中应采用类比的方法经历从整数指数塞到有理数指数累、再到实数指数累

的拓展过程，掌握指数基的运算性质.

4.1.1〃次方根与分数指数基

必备知识•探新知

基础知识

■知识点1〃次方根

定义--般地，如果亡=小那么x叫做a的〃次方根,其中〃>1,且〃七N*

a>0x>0

〃是奇数X仅有一个值，记为缶

a<0x<0

个数

a>0x有两个值，且互为相反数，记为土缶

〃是偶数

a<0X不存在

思考1：正数。的〃次方根一定有两个吗？

提示：不一定.当〃为偶数时，正数。的〃次方根有两个，且互为相反数，当〃为奇数时，正数。的〃

次方根只有一个且仍为正数.

知识点2根式

(1)定义：式子缶叫做根式，这里〃叫做根指数，

。叫做被开方数.

(2)性质：(〃>1,且〃£N*)

®(y[a)n=a.

〃为奇数，

②叫:1同:〃为偶数.

思考2：(彷)”与胞中的字母〃的取值范围是否一样？

提示：取值范围不同.式子(%)”中隐含。是有意义的，若〃为偶数，则。20,若〃为奇数，〃£R；

式子切中，a£R.

知识点3分数指数塞的意义30,m,〃£N:且〃>1)

m

正分数指数幕7=版

311

a-,—

负分数指数塞n

0的分数指数第0的正分数指数鼎等于0,0的负分数指数幕没有意义

思考3：为什么分数指数恭的底数规定。>0?

提示：(1)当。<0时，若〃为偶数，机为奇数，则j,a7无意义；

(2)当。=0时，无意义.

知识点4有理数指数鬲的运算性质(GO,A>0,r,sWQ)

⑴*=/s.

(2)(0=酒

O)(ab)r=arbr.

思考4：同底数基相除/小〃，同次的指数相除票分别等于什么？

提示：(l)a，+if=。L'；

(谤=(/

基础自测

L4百等于(B)

A.2B.-2

C.±2D.-8

［解析］g=［(-2)3=-2.

2.下列各式正确的是(A)

A.（编）3=B.(能了=一7

C.(yfa)5=\a\D.y［^=a

［解析I(赤)3=。，(4»=7,

(\［a)5=a,名示=|a|="'"I。；、，故选A.

—a(〃<0)

3.41可化为(c)

4

A.8B.25

12

C.不D.24

o

21iii

［解析］42=-j=3=93=O-

47(22/

4.若公>0,〃，切为实数，则下列各式中正确的是(D)

丝

A.4'+/=/B.4〃・""=。加"

C.D.1

［解析I由指数嘉的运算法则知1：/=。。+/=。°—〃正确，故选D.

5.若折弓有意义，则实数x的取值范围为(-8,61.

［解析I要使式子般不有意义，应满足6—x20,

关键能力•攻重难

题型探究

题型一〃次方根的概念

»■例1(1)16的平方根为坦，一27的5次方根为如三五；

(2)已知丁=6,则］=/；

(3)若需二i有意义，则实数x的取值范围是［2,+8).

［分析］解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及〃次方根的个数要求.

［解析］(1)・・・(±4)2=16,・・・16的平方根为±4.—27的5次方根为田二方.

(2)Vx7=6,.”=依

41------

(3)要使正工有意义，则需“一220,即x22.因此实数x的取值范围是［2,+-).

［归纳提升］(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个£互为相反数；

(2)(%)〃是实数a的〃次方根的n次寐，其中实数。的取值由n的奇偶性决定.

【对点练习】❶计算下列各值：

(1)27的立方根是』

(2)256的4次算术方根是4；

(3)32的5次方根是2.

［解析］(1)・・*=27,

，27的立方根是3.

(2)V(±4)4=256,

J256的4次算术方根为4.

(3)V25=32,

・・・32的5次方根为2.

题型二利用根式的性质化简或求值

»・例2化简：

(1启(3-二)4

(2)xJ(〃—()2(a>b)；

(3)(〉〃-1A+N(1-a)2+守(1—。)3.

［解析］(1).(3-n)4=0―n|=I—3.

(a-()2=\a-b\=a-b.

(3)由题意知。一120,即。21.

原式=a—1+|1—〃|+1—a

=a—1+a-1+1—a=a—\.

［归纳提升］〃为赤数时，(%)"=加=出。为任意实数均可；〃为偶数时，。20,(%)”才有意义,

且(缶)〃=a;而。为任意实数超均有意义，且汩=同.

【对点练习】❷求下列各式的值：

(1)7(-2)7；

A.-----------------

(2)V(3a-3)1(a<l)；

(3)+yj(1—a)4.

［解析］(1)7(-2)7=-2.

(2)。(3〃—3)4=|3〃—3|=3|a—1|=3—3a.

(3)^/?+M(1—a)4=a+|l—a\=1,aWl,

2a-1,a>\.

题型三根式与分数指数幕的互化

»・例3（1）用根式的形式表示下列各式（%＞0）.

①j;@x-\

⑵把下列根式化成分数指数辕的形式，其中。乂），比＞0.

［解析］（口①/二知？；

②/=心

⑵①旧=7.

©^-=4=/.

叫§=身=贰。V.

________6

®yj（_q）6=迎＞=”=卓

［归纳提升1根式与分数指数球互化的规律

化为

（1）根指数-------»•分数指数的分母，被开方数

（式）的指数一分数指数的分子.

⑵在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数藤的形式，然后利用有理数指数寐的运算性质解题.

【对点练习】❸（1）化简（学125）一-3的结果是（A）

A3c5

A-5B-3

C.3D.5

⑵用分数指数累表示下列各式：

题型四利用分数指数幕的运算性质化简求值

“■例4⑴计算：（21）。+2-2・（2；尸一（0.01）。.5=1|；

(2)化简：4-'\/4-.

［分析］将根式化为分数指数察的形二3利用分数指数鬲的运算性质计算.

1411

解

桐«式+XG+-16

1-----

-4y6

1015

30~3/~8~J53/~31

（2）原式=7/小鼠万・7尸不

—-?y］a2

2222

=/+3平"29

2

_2_7_I_-14-1

_6ZT_6:a_a_ci.

［归纳提升］1.球的运算的常规方法

C）化负指数簇为正指数寐或化分母为负指数：

（2）化根式为分数指数寐；

（3）化小数为分数.

2.分数指数寐及根式化简结果的具体要求

利用分数指数寐进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数寐的形式，不强求统一用什么

形式，但结果不能既有根式又有分数指数冢，也不能同时含有分母和负指数.

【对点练习】❹计算下列各式（式中字母均为正数）.

®（5x-y）•（y）•（~^y~6）；

17-

®(0.064)-3-(-O)0+[(-2)3]-3+16-0-75：

o

^|+，0.0625+[(0.06宿2牙一"。.

15-1ill

[解析1①原式=[5X(-w)X(-7)ky・Xy・46

21|—

25-

-一-

-3？2

-273

_25_y|

-24x户

②原式=0.4_,-1+(-2尸+2-3

5,।1।1

=2-1+16+8

_27

二7?

75i771AOS1Ad1254],

③原式=(/一卬+而俞“(两5心2减一1=]-尹/@「1=3.

课堂检测•固双基

1.化简［（一书）2］』的结果是（C）

_亚

A.B.小

3

C.坐D.一小

［解析］［（一小）2］*=3

2.已知机v|,则化简/（3加一2）2的结果为（c）

A.、3〃1—2B.-yl3m~2

C.^2~3mD.—\l2—3m

2

[解析IA3m-2<o,排除A,B,

又（3加-2）2>0,所以，（3〃?一2）2为正,所以选C.

3.若2V“V3,化简N（2-〃）2+中（3—。）4的结果是（c）

A.5~2aB.2a-5

C.1D.-1

［解析］由于2VaV3,所以2—。<0,3一心0,所以原式="-2+3—4=1,故选C.

4.以下说法正确的是（C）

A.正数的〃次方根是正数

B.负数的〃次方根是负数

C.0的〃次方根是0（其中〃>1且〃WN・）

D.负数没有〃次方根

［解析］对于A,正数的偶次方根中有负数，・・・A错误；

对于B,负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，

JB错误;

却于C,当〃>1且〃WN*时，0的〃次方根是0,

.'.C正确；

对于D,〃为奇数时，负数的奇次方艰是负数，・・・D错误.

44

5.（2021•江苏、苏州市高一期中测试）求值：yp-1

33

一

［解析］

素养作业提技能

请同学们认真完成练案［25］

A组•素养自测

一、选择题

4—

1.一句f证的结果是（B）

A.2B.-2

C.±2D.以上都不对

［解析1—§TB=—勺方=—2.故选B.

2.下列各式正确的是（C）

A.%（-3）2=寺（-3）B.

C.影=能D.a°=\

［解析］§（-3）』褥=折,勺7=同，〃。=1条件为aRO,故A,B,D错.

3,若2019vm〈2020,则(牛〃?一2O19>+4(m-2020)，等于(A)

A.1B.4031-2加

C.4031D.2/W-4031

［解析］因为2019Vm<2020,所以加一2020<0.

故原式=m—2019+|w-2020|

=/n-2019+2020-m

=1.

故选A.

4.若甑寺•行G有意义，则x的取值范围是(C)

A.x22B.xW3

C.2«D.x£R

［解析］由题意，知工一220,且3—工20,所以2WxW3.

二、填空题

5.64的6次方根是拉，计算64一3的值是古.

2==

［解析］•・•(±2)6=64,，64的6次方根是±2；64"=」一=----!----=----!----^~k'

砺.⑷)2.3)3

6.已知a£R,给出四个式子：①［(-2)叫②需；③3(-3)2；④，二7,其中没

有意义的是③.(只填式子的序号即可)

［解析］③中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义.

三、解答题

7.写出使下列各式成立的实数%的取值范围：

(1%芬士：

QN(x-5)~~(X2-25)=(5-xyyjx-^5.

［解析］(1)由于根指数是3,故x只需使占有意义即可，此时x—3W0,即x¥3.故实数x的取值范围

是彳#3.

(2),・W(彳一5)(/—25)=7让-5)2a+5)=(5一分正名,

x+520,

，一5WxW5.

%—5W0,

，实数x的取值范围是一5《x《5.

B组•素养提升

一、选择题

1.化简（一劝勺一:的结果是（B）

A.y[xB.—x\[—x

C.x\{xD.x\j—x

[解析]由知％<o,又当x〈o时，d?=H=-x,因此（一幻、^^=』J―

2.（多选题）下列根式、分数指数基的互化中，正确的是（CD）

,故CD正确.

二、填空题

3.若10°=2,100"=3,则10002

［解析］V100=2,100^=10^=3,

••・10'=小.

.10002。-鼻=心」=等第=邛.

31。43

211Q2

4.273+1—2一（；）-2一（合）-3=3.

212-Q

［解析］原式=（33）3+（42）*22一◎厂3=32+4-4—;=3.

三、解答题

5.计算：

2.______

+水）.125；

（2）寸（一8）3+。（小一2）4一寸（2一小）3；

⑵原式=-8+h/§—2|—（2一小）

=-8+2-V3-2+V3=-8.

（3）原式=（,

=（坐-：）.（/+D+1

斗5-1）.（小+1）+1

=2（3-1）+1=14-1=2.

4.1.2无理数指数率及其运算性质

必备知识•探新知

基础知识

知识点1无理数指数鬲

无理数指数鼎a\a>0,a是无理数)是二个确定的实数.

思考1：2也一定是实数吗？

提示：根据无理指数暴的定理2正是实数.

知识点2实数指数幕的运算性质(a>0,b>0,r,5ER)

(lXav=^2.(2)(°了=贮.(3)(abY=arbr.

思考2：指数基是怎样从正整数指数幕推广到实数指数累的？

提示:

?黑髻｝自然数指数均铉批招宴

。次指数幕负整数指数森魏慧力黑舞w｝曹嘉

基础自测

1.下列说法正确的个数是(B)

⑴无理数指数塞有的不是实数.

⑵指数鬲明办0)中的X只能是有理数.

(3)(3/)啦=9.

A.0B.1

C.2D.3

［解析］(1)无理数指数累对应一个确定的实数，不正确;

⑵指数嘉炉3>0)中的x是任意实数，不正确；

(3)(36)^2=3由=32=9,正确，故选B.

X1

2.43a6=42

3.0)小=7/Va.

关键能力•攻重难

题型探究

题型一无理数指数得的运算

»■例1计算下列各式：

⑴(3幻笆产；

jr

⑵石.

正

［解析］(1)原式=(3/X23)30=36X22=2916.

n27Cn

⑵原式=7+于r=a一不.

［归纳提升J关于无理数指数器的运算

⑴底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算.

(2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留.

【对点练习】❶计算下列各式：

(2)(m手m-&)I2.

［解析］⑴原式=(“小-2)砧=(兀2)寸=n3.

nn

⑵原式=(不一卬2=(〃产)12=62;

题型二指数幕运算的综合应用

11

»■例2已知/+a与=3,求下列各式的值.

(l)a+H(2)屋+。一2；(3片

-方

［分析］利用完全平方差公式求(1)(2),利用立方差公式求(3).

।1

［解析］(1)将7+。$=3两边平方，得〃+/1+2=9,即a+/i=7.

(2)将a+ai=7两边平方，有4+加2+2=49,：.a2+a2=47.

33，.2_

2323

(3)由于/一a~=(cr)-(a~)f所以有—­

II1

(滔一a

-----i----i-----------=a-\-a[+]=7+]=8.

［归纳提升］(1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别

11

注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.在题若通过/+/3=3解出〃

的值代入求值，则非常复杂.

(2)解决此类问题的一般步骤是

从整体上把握已知条件

和所求代数式的特点

H化简已知条件I

化筒

q化简所求代数下］

求侑把条件代入求值］

孙=16,求壬乜的值.

【对点练习】❷已知x-y=6,

A2—/

［解析।.出=高力(”

-y(JC2—y2)

______x-y

x+y-2(孙)7

又％—y=6,xy=16,

.,.(x+y)2=(x-j)2+4xy=624-4X16=100.

.'.x+y=10或x+y=—10.

当x+y=10时，原式值为10—擞乂4=3,

6

当x+y=-10时，原式值为一in0V/1=—4

误区警示

因忽略幕底数的范围而导致错误

3化简(1—a)［(a—1)一2(—，)2平=(一不

［错解］(1一初(°一1)-2・(一。)苹

xX

=(1一-(一。)*=一(一4)1.

［错因分析］忽略了题中有(一次即相当于告知一心0,故后0,这样，［3—1)一2］必伍一1尸.实际上

在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件.

［正解］由(一招知一心0,故4一1<0.

JLJL11

.,.(1—〃)［(〃-I)2(—〃)孑=(［—〃)(1—。尸・(一〃)，=(—〃)*.

［方法点拨］在利用指数繇的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶

次方根，被开方数是否符合要求.

学科素养

用换元法处理指数幕中的化简与证明问题

7OI

»1?J4设4,b,c都是正数，且3"="=6。，求证：冷+卡.

［分析］根据已知条件3“="=6M设一个参数f,用含f的式子表示出b,c,从而找到a,Ac之间

的关系.

xxx

［解析］令3"="=6。=«。0),则3=八2=产，6=£

I1

因为3X2=6,所以/•尹=5,

J.11的2,1

即P一+五=一，所以一=一+工.

a2bccab

［归纳提升1对于指数赛等式的证明问题常常是将指数球化为同底，利用指数版相等的规律进行证

明.解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换，以及利用参数找到已知与结论的联系，这样才能

使问题迅速得到解决.

课堂检测•固双基

1.下列能正确反映指数易的推广过程的是(A)

A.整数指数塞一有理数指数塞一无理数指数昂

B.有理数指数基一整数指数基一无理数指数基

C.整数指数累一无理数指数某一有理数指数累

D.无理数指数某一有理数指数塞一整数指数累

厂应

2.计算（26厂2的结果是（D）

A.y［2B.一班

C.2D.1

厂近1

［解析］（毡广=2-1=*故选D.

A）

197

C.刁D.庐

［解析］原式•。4=/+4=°20,故选A.

4.设x£R且xWO,若x+Xr=3,则r十68的个位数字是（D）

A.2B.5

C.6D.7

［解析］x+x-1=3^x2+x-2=7=>x4-|-x-4=47=>x8+x_8=472—2,故选D.

素养作业提技能

请同学们认真完成练案［26］

A组•素养自测

一、选择题

1.化简自（-5）2『的结果为（B）

A.5B.小

C.一小D.-5

［解析］原式=（褥）彳=（57=5?4=宇=木.

2.卷化成分数指数辕为（B）

£土

A.x-5B.户

C.x~^

D./

3.若31一2)，=2,则萨=(B)

11

A-5B-25

C.5D.25

v

［解析］*25=52厂”=5-2==1.

25

4.计算(2a%-5).(—3a历)网4a4户)的结果为(A)

A.一金B.”2

C.一泰，D.射

［解析I原式=(-6刈-3-1尸+|)汽4加夕力

=一方一4+4・，+5=一去2

二、填空题

5.计算：(0.027户一(6()'+2563+(2小户一3一1+五°=照看.

［解析］原式=(0.33)，一｝+(44)4+(2即一g+1=0.3—1+43+2—1+1=64-^.

6.化简/・7a3.W•诃(〃>0)的结果是1.

［解析］\laz,+7赤^•=7示•7)+7L际=a-ra=1.

三、解答题

7.计算下列各式：

(•)(6^)-5+5-：2X253-4yX；

⑵(2/'+(0.1)-2+(堞)T-3it。+养

［解析］(1)原式=(竽卢+5X(52)L(22菽1

⑵原式=管户焉户+(招)3—3+1

5937

=币+100+而-3+丽=100.

B组•素养提升

一、选择题

1.如果x=l+2〃，），=1+2",那么用x表示了为（D）

x+1x+1

A.y="=­

'x—1B-yr-

X—1

D.y—

JX—1

［解析］由x=l+2",得2。=工-1,y=1+2-6=11

2.（多选题）卜夕U结论中不止确的是（ABC）

3

A.当4<0时（层）2=/

B.甯=13

2

C.函数丁=。一2日一（31一7）。的定义域是［2,+8）

D.若100a=5,10*=2,则2a+b=l

1

［解析］取a=—2,可验证A不正确；当a<0,〃为奇数时，B不正确；y=（x—2）’—（3x—7）。的定义域

77

应是［2,辛ug,+8）,C不正确；D.由10"=5,得10加=5,又W=2,两式相乘得也小=10,即2a

+b=l正确.

二、填空题

3.设a,"为方程”+3x+l=0的两个根，则（；）"+夕='

31］士』

［解析］由根与系数的关系，得。+片一本所以（；严修（/2=（2-2）"=23=8.

33

a177-12=

23</7=2

4.(2021.江西南昌高一联考)计算：d)+(-9.6)°-(y)-X\^-

［解析］（影+（—9.6）。—（第K&=（赳+1—（犷］装崩=扛i-l=1.

三、解答题

5.已知x+y=10,xy=9f且％<y，求［’；的值.

J+y2

［解析I因为11=工工」工工

/+/（/+，）（/­），）

_a+y）-2（町，）*

x—y

又因为x+y=10,封=9,②

所以（x—y）2=（x+y）2—4xy=IO2—4X9=64.

因为x<y,所以x—y=-8,③

将②③式代入①式得士二苫=吐彳城=-

-8

4.2指数函数

【素养目标】

i.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法.（数学抽象）

2.能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出指数函数的性质.（直观想象）

3.掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较累的大小.（逻辑推理）

4.通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用指数函数的图象研究一些实际问

题.（数学运算）

【学法解读】

指数函数的学习，学生应掌握指数函数的运算法则和变化规律，运用信息技术学习、探索和解决问题.例

如，利用计算器、计算机画出指数函数的图象，探索、比较它的变化规律，并研究指数函数的性质.

4.2.1指教法教的概念

必备知识•探新知

基础知识

知识点1指数函数

函数、，=力（。>0,且aWD叫做指数函数,其中指数x是自变量，定义域是R.

思考1：（1）为什么指数函数的底数。>0,且

⑵指数函数的解析式有什么特征？

提示：（1）①如果。=0,当x>0时，炉恒等于0,没有研究的必要；当xWO时，炉无意义.

②如果〃<0,例如y=（一4>，这时对于尸今；该函数无意义.

③如果。=1,则y=l*是一个常量，没有研究的价值.

为了避免上述各种情况，所以规定。>0,且々W1.

(2)①a>0,且々K1；②炉的系数为1;③自变量x的系数为1.

知识点2指数型函数模型

形如v=3"£R,且kWO；»0且aRl)的函数是指数型函数模型.

思考2：设原有量为N,每次的增长量为p,经过4次增长，该量增长到)，，则x,y之间满足的关系式

是什么？

提示：y=Ml+pF(x£N).

基础自测

1.下列函数中一定是指数函数的是(C)

A.旷=2eB.y=f

C.y=3~xD.y=-2-3x

［解析］只有丁=3一'=《)'符合指数函数的概念，A,B,D选项中函数都不符合)，=炉(公>0,且

的形式.

2.按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%,5年后支取，本利和为人民币(B)

A.2(1+03)5万元B.2(1+0.03)5万元

C.2(1+0.3)4万元D.2(1+0.03尸万元

3.若函数是指数函数，且式2)=2,则式x)=h②S

［解析］设｛r)=〃(a>0且aH1),

由42)=2得次=2,・,・〃=&或一正(舍去).

・g)=(回

关键能力•攻重难

题型探究

题型一指数函数的概念

»・例1(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(B)

A.y=(-4尸B.y=nx

C.y=-4vD.y=aK+2(a>0,a#l)

(2)若y=Q2—3a+3)"是指数函数，则有(C)

A.a=1或2B.a=1

C.a=2D.a>0且。六1

［分析］利用指数函数的定义进行判断.

［解析］(1)函数丫=(一4＞的底数一4＜0,故A中函数不是指数函数；函数的系数为1,底数冗＞1,

故B中函数是指数函数；

函数),=一芈的系数为-1,故C中函数不是指数函数；

函数),=炉+2=〃.炉的系数为。2,故D中函数不是指数函数，故选B.

〃2—3〃+3=1

(2)由题意，得，。＞0,

"I

解得。=2,故选C.

［归纳提升］1.指数晶数的解析式必须具有三个特征：

(1)底数〃为大于。且不等于1的常数；

(2)指数位置是自变量x;

(3)户的系数是1.

2.求指数函数的关键是求底数a,并注意a的限制条件.

【对点练习】❶(1)下列函数中是指数函数的是(D)

A.y=2-(y［2YB.y=x¥

x

C.y=3*D.y=(小厂

(2)若函数尸〃(2—。尸是指数函数，则(C)

A.a=1或-1B.a=l

C.a=~\D.a＞0且aRl

［解析］(1)由指数函数定义可知，函数y=(小厂是指数函数，故选D.

(2)由条件知，2—公＞0,解得々=-1.

12-

题型二指数函数解析式

»■例2(1)指数函数)=«r)的图象经过点(无，＜2),则/一/)=坐

(2)指数函数'=段)的图象经过点(一2,；),那么心)・贝2)=处

［解析］⑴设段)="3＞0且aKl),则。'=也，

,小―”)="_7一/=2.

⑵设义幻=炉(〃＞0且aHl),则。-2=不;.a=2.

x

：.J(x)=2f••瓜4)逃2)=24・22=26=64.

【归纳提升I求指数函数解析式的步璨

⑴设指数函数的解析式为Kt）="（a>0且。工1）.

（2）利用已知条件求底数a.

（3）写出指数函数的解析式.

【对点练习】❷（1）若点（。，27）在函数y=（小尸的图象上，则/的值为（A）

A.,B.1

C.2V5D.0

⑵若指数函数），=©的图象经过点（一2,9，

31

则，一引=］

题型三指数型函数的实际应用

角度1增长型指数函数模型

»■例3随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地

区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为

（B）

A.3000X1.06X77EB.3000X1.067TG

C.3000X1.06X8元D.3000X1.068元

［解析I由题意知，2021年底该地区农民人均收入为3000X（l+6%）7=3000X1.067,故选B.

角度2衰减型指数函数模型

»■例4调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时

血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml,在

停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过小时后才可以驾驶

机动车.（B）

A.1B.2

C.3D.4

［解析］设〃小时后才可以驾车，据题意得

0.8（l-50%）”W0.2,・・・0.5〃W（,

即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B.

［归纳提升］关于指数型函数模型

谈原有量为M每次的增长（衰减）率为p,经过彳次增长（衰减），该量增长到y,则y=Ml切TOWN）.

【对点练习】❸已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2017年底的生产成本为6400元/件,

那么2020年底的生产成本为2_700元/件.

［解析］2020年底生产成本6400X（1—25%>=2700元.

课堂检测•固双基

1.下列函数中，是指数函数的是（D）

A.y=（-8r

B.^=2^-1

C.y=ax

D.y=（2a-iy（a>^t且。#1）

2.若指数函数£x）的图象过点（3,8）.则的解析式为（B）

A.於）=3B.凡0=2》

11

C.Av）=（2>rD.段）=f

3.（2020.吉林乾安七中高一期中测试）指数函数人工）的图象经过点（2,4）,则43）=1

［解析］设大防="3>0且。灯），

由题意，得■4一々2,：.a—2.

.•・段）=2",・M3）=23=8.

4.若函数丁=伏+2）0r+2-b（a>0,且。#1）是指数函数，则a=二1，b=2.

k+2=14=—1

［解析1根据指数函数的定义，得L,八，解得，-.

2~b=（j［b=2

素养作业•提技能

请同学们认真完成练案［27］

A组•素养自测

一、选择题

1.下列各函数中，是指数函数的是（D）

A.y=x5B.y=~

C.y=5'D.卜=5级

［解析］根据指数函数的定义：形如y