第04讲 轴对称图形的概念、性质、设计（8种题型）（解析版）-八年级数学

第04讲轴对称图形的概念、性质、设计（8种题型）1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。一．生活中的轴对称现象（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．（2）轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．二．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．三．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．四．镜面对称1、镜面对称：有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．五．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．六．利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．七．剪纸问题一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．八．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．一．生活中的轴对称现象（共4小题）1．（2022秋•江阴市校级月考）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【分析】利用轴对称画出图形即可．【解答】解：如图所示：，该球最后落入的球袋是4号袋，故选：D．【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．2．（2022秋•苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品书．【分析】结合题意可知，题中的四个字母均是轴对称图形，所以直线l是四个字母的对称轴；将残缺的字母关于直线对称，即可得到完整字母，通过字母组成的单词即可知道所指物品了．【解答】解：补全字母，如图所示：故这个单词所指的物品是书．故答案为：书．【点评】本题侧重考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称的性质是解决此题的关键．3．（2022秋•江宁区校级月考）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是D点．【分析】利用对称的性质得出M经过的路径，进而得出答案．【解答】解：如图所示：要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是：D．故答案为：D．【点评】此题主要考查了生活中轴对称现象，正确利用对称的性质是解题关键．4．（2022秋•灌南县校级月考）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A．① B．② C．⑤ D．⑥【分析】入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可．【解答】解：如图，求最后落入①球洞；故选：A．【点评】本题主要考查了生活中的轴对称现象；结合轴对称的知识画出图形是解答本题的关键．二．轴对称的性质（共2小题）5．（2022秋•阜宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°，故选：A．【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．6．（2022秋•如东县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为60°．【分析】利用轴对称得∠DEB＝∠A＝120°，所以∠DEC＝60°，又因为∠C＝60°，即可求出∠CDE＝60°．【解答】解：如图：∵∠A＝120°，∴∠DEB＝∠A＝120°，∴∠DEC＝60°，∵∠C＝60°，∴∠CDE＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称变换和性质．三．轴对称图形（共3小题）7．（2022秋•徐州期末）“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰…在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．（2022秋•镇江期末）我市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A．防控疫情我们在一起 B．有症状早就医 C．打喷嚏捂口鼻 D．勤洗手勤通风【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．（2022秋•大丰区期末）微信已成为人们的重要交流平台，以下微信表情中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【解答】解：根据轴对称图形的定义，选项A，B，C都是轴对称图形，故选：D．【点评】本题考查轴对称图形，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型．四．镜面对称（共3小题）10．（2022秋•兴化市校级月考）从镜子中看到汽车正面的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是B6395．【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395，故答案为：B6395．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．11．（2022秋•锡山区期中）从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是50281．【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，因此18502的真实图象应该是50281．故答案为：50281．【点评】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．12．（2022秋•大丰区月考）如图是小明从镜子中看到电子钟的时间，此时实际时间是21：05．【分析】镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：15成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．故答案为：21：05．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质，解决此类题应认真观察，注意技巧．五．作图-轴对称变换（共4小题）13．（2022秋•大丰区期末）如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；（3）如果AC上有一点P（m，n）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点P2的坐标是（m﹣4，﹣n）．【分析】（1）利用轴对称的性质即可画图；（2）利用平移的性质即可画图；（3）根据平面直角坐标系中点的变化规律可得出答案．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）点P（m，n）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点P2的坐标为（m﹣4，﹣n），故答案为：（m﹣4，﹣n）．【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换、平移变换，平面直角坐标系中点的变换规律等知识，准确画出图形是解题的关键，属于常考题．14．（2022秋•南通期末）如图△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（2，1），C（4，2）．（1）点A，B，C关于x轴对称点的坐标分别为A1（1，﹣3），B1（2，﹣1），C1（4，﹣2），在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）△ABC面积等于．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出结论，再进行连线即可得到△A1B1C1；（2）用割补法求解即可．【解答】解：（1）由关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得：A1（1，﹣3），B1（2，﹣1），C1（4，﹣2）；如图所示，△A1B1C1即为所求；故答案为：A1（1，﹣3），B1（2，﹣1），C1（4，﹣2）；（2）解：．故答案为：．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣轴对称，，以及三角形的面积．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．15．（2022秋•启东市校级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（4，3）．（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC；（2）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请直接写出点B1，C1的坐标；（3）求出△A1B1C1的面积．【分析】（1）描点、连线即可；（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图所示即为所求图形．（2）△A1B1C1即为所求图形，B1（﹣3，1），C1（﹣4，3）；（3）．【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．16．（2022秋•盱眙县期末）△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线1对称．（1）画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标：A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标：（a，2﹣b）；（3）若直线l′经过点（0，m），并且与x轴平行，根据上面研究的经验，写出点Q（c，d）关于直线l′的对称点Q′的坐标：（c，2m﹣d）．【分析】（1）分别作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可；（2）根据（1）中各对应点坐标之间的关系即可得出结论；（3）根据（2）中各对应点坐标之间的关系即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；故答案为：A'（﹣3，﹣3），B'（﹣5，0），C'（﹣1，﹣1）；（2）由题可得，点P'的横坐标为a，设点P'的纵坐标为y，则＝1，解得y＝2﹣b，∴点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标为（a，2﹣b），故答案为：（a，2﹣b）；（3）由题可得，点Q′的横坐标为c，设点Q'的纵坐标为y，则＝m，解得y＝2m﹣d，∴点Q（c，d）关于直线l′的对称点Q′的坐标为（c，2m﹣d）．故答案为：（c，2m﹣d）．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．六．利用轴对称设计图案（共3小题）17．（2022秋•兴化市校级期末）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形．【分析】利用轴对称的性质找到对称轴，再画上相关网格即可．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查轴对称图形，关键是找到对称轴画出缺少的网格．18．（2022秋•常州期末）在“3×3”的网格中，可以用有序数对（a，b）表示这9个小方格的位置．如图，小方格①用（2，3）表示，小方格②用（3，2）表示．则下列有序数对表示的小方格不可以和小方格①、②组成轴对称图形的是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，2） D．（3，1）【分析】根据轴对称的图形的定义解题即可．【解答】解：可知A，B，C，D四个选项点的位置如图所示，则A，B，C三个选项点可以组成轴对称图形，不符合题意；D选项点不能组成轴对称点，符合题意；故选D．【点评】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．19．（2022秋•丹徒区期末）如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有3种．【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：如图所示：将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有3种．故答案为：3．【点评】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．七．剪纸问题（共3小题）20．（2022秋•锡山区校级月考）如图（1），小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（）A． B． C． D．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来【解答】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，展开得到结论．故选：C．【点评】此题主要考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．21．（2022秋•灌云县月考）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形【分析】动手操作可得结论．【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形．故选：C．【点评】本题考查剪纸问题，正方形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会动手操作，属于中考常考题型．22．（2022秋•工业园区校级月考）把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应形成的角度是45度．【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．故答案为：45．【点评】本题考查了剪纸的问题，同时考查了菱形和正方形的判定及性质，以及学生的动手操作能力．八．翻折变换（折叠问题）（共3小题）23．（2022秋•海陵区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点B'处，则线段B'F的长为．【分析】根据翻折的性质可知∠ECF＝45°，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积即可求解．【解答】解：根据两次翻折可知：∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠DCF，CE⊥AD，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝∠ECD+∠FCD＝∠ACB＝45°，∴∠EFC＝45°，∴EF＝CE，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴5CE＝3×4，∴CE＝．∴EF＝．在Rt△CEB中，BE＝＝＝，∴BF＝BE﹣EF＝﹣＝，∴B′F＝BF＝．故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换、等腰直角三角形、等面积法，解决本题的关键是熟练运用等面积法．24．（2022秋•兴化市校级期末）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为．【分析】由第①次折叠知△AD'B'是等腰直角三角形，由第②次折叠知，AB＝AB'，从而解决问题．【解答】解：由第②次折叠知，AB＝AB'，由第①次折叠知，∠B'AB＝45°，∴△AD'B'是等腰直角三角形，∴AB'＝AD'，∴AB与宽AD的比值为，故答案为：，【点评】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．25．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．如果∠BAC＝35°，则∠CBD的度数是20°．【分析】由AC＝BC，∠BAC＝35°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ABC的度数，又由折叠的性质，求得∠ABD的度数，继而求得∠CBD的度数．【解答】解：∵AC＝BC，∠BAC＝35°，∵∠ABC＝∠BAC＝35°，由折叠的性质可得：∠CAD＝∠BAC＝35°，AB＝AD，∴∠BAD＝∠CAD+∠BAC＝70°，∴∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝55°，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝20°．故答案为：20°．【点评】此题考查了折叠的性质与等腰三角形的性质．此题注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．一．选择题（共9小题）1．（2022秋•大丰区期中）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，B、C、D选项中的图形都不是轴对称图形．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2021秋•南京期中）如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．【解答】解：如图：共3个，故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形，根据题意作出图形是解答此题的关键．3．（2021秋•东海县期中）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）A． B． C． D．【分析】解答该类剪纸问题，通过自己动手操作即可得出答案．【解答】解：重新展开后得到的图形是C，故选：C．【点评】本题主要考查了剪纸问题，培养学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．4．（2022秋•高邮市期末）下列图形不一定是轴对称图形的是（）A．线段 B．圆 C．角 D．直角三角形【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A．线段一定是轴对称图形，故此选项不合题意；B．圆一定是轴对称图形，故此选项不合题意；C．角一定是轴对称图形，故此选项不合题意；D．直角三角形不一定是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形概念．5．（2022秋•江阴市期中）如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0 B．3 C．4 D．5【分析】由轴对称的性质得OP1＝OP＝1.7，OP＝OP2＝1.7，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：∵点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝1.7，OP＝OP2＝1.7，∵OP1+OP2＞P1P2，∴0＜P1P2＜3.4，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握轴对称的性质和三角形三边的关系．6．（2022秋•镇江期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）A． B． C． D．【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD＝CF﹣CD＝4﹣CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【解答】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF＝BC＝4，∴FD＝CF﹣CD＝4﹣CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝＝，∴FD＝CF﹣CD＝4﹣＝，故选：D．【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．7．（2020秋•灌南县校级期末）如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：有3个使之成为轴对称图形分别为：②，③，④．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．8．（2021秋•盱眙县期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到长方形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2018次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2018除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2018÷6＝336…2，∴当点P第2018次碰到矩形的边时为第337个循环组的第2次反弹，∴第2018次碰到矩形的边时的点为图中的点M，故选：C．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．9．（2022秋•苏州期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长是（）A． B． C． D．【分析】先由△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，证明AD垂直平分BE，再由∠AFB＝∠BFD＝90°，AF＝4，AB＝5，根据勾股定理求得EF＝BF＝＝3，再由DG＝EG，得S△ADG＝S△AEG＝，则S△ADE＝，即可列面积等式×3AD＝，求得D＝5，则DF＝1，再根据勾股定理求得BD＝＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，∴AD垂直平分BE，∴∠AFB＝∠BFD＝90°，AF＝4，AB＝5，∴EF＝BF＝＝＝3，∵DG＝EG，S△AEG＝，∴S△ADG＝S△AEG＝，∴S△ADE＝S△AEG+S△ADG＝+＝，∴×3AD＝，∴AD＝5，∴DF＝AD﹣AF＝1，∴BD＝＝＝，∴BD的长是，故选：B．【点评】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据勾股定理求理EF＝BF＝3，再列面积等式求得AD＝5是解题的关键．二．填空题（共4小题）10．（2022秋•新吴区期中）小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是10：51．【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际时间．【解答】解：∵是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是10：51．故答案为：10：51．【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5．11．（2013秋•张家港市校级期末）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于115°．【分析】根据折叠的性质，得∠BFE＝（180°﹣∠1），再根据平行线的性质即可求得∠AEF的度数．【解答】解：根据长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，得∠BFE＝（180°﹣∠1）＝65°．∵AD∥BC，∴∠AEF＝115°．【点评】此题综合运用了折叠的性质和平行线的性质．12．（2020秋•盐都区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为110度．【分析】根据轴对称的性质先求出∠C等于∠C′，再利用三角形内角和定理即可求出∠B．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠C＝∠C′＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣20°＝110°．故答案为：110．【点评】此题考查关于某直线对称的两图形全等，全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和定理．13．（2022秋•沭阳县期中）如图，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，一共有4种不同的涂法．【分析】利用网格根据轴对称的性质即可解决问题．【解答】解：如图所示：一共有4种不同的涂法．故答案为：4．【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．三．解答题（共7小题）14．（2022秋•鼓楼区期中）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上．（1）利用方格纸，画△ABC关于直线l对称的△A'B'C′；（2）根据轴对称的性质，用符号语言写出2条不同类型的正确结论．【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线l的对称点即可；（2）根据轴对称的性质求解．【解答】解：（1）如图，△A'B'C′为所作；（2）△ABC≌△A'B'C′；AA′∥BB′．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．15．（2022秋•玄武区期末）在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的位置如图所示．（1）△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移5个单位得到；（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称，请画出△A2B2C2；（3）若△ABC的内部有一点P（x，y），则P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是（﹣x，y﹣5）．【分析】（1）利用点A和点A1的坐标特征确定平移的距离即可；（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）先把P点向下平移5个单位得到（x，y﹣5），然后写出点（x，y﹣5）关于y轴的对称点的坐标即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移5个单位得到；故答案为：5；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是（﹣x，y﹣5）．故答案为：（﹣x，y﹣5）．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了平移变换．16．（2022秋•高邮市期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝20，BC＝12，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕与AC、AB分别相交于点M、N．（1）请利用尺规作图作出折痕MN；（2）连接AD、ND，求△ADN的面积．【分析】（1）尺规作图如图；（2）连接AD，作AD中垂线交AC、AB于M、N点即可．【解答】解：（1）如图所示．（2）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝12，则AB＝16，设BN＝x，则AN＝DN＝16﹣x，∵D为BC中点，∴BD＝6，在Rt△ABC中，用勾股定理可得：ND2＝BD2+BN2，即（16﹣x）2＝62+x2，解得，，∴．【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．17．（2022秋•丹徒区期末）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标为（﹣4，﹣1）、（﹣5，﹣4）．（1）请画出符合题意的平面直角坐标系；（2）点C的坐标为（﹣1，﹣3）；（3）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于y轴对称；（4）△ABC的面积为．【分析】（1）根据A、B的坐标建立正确的坐标系即可；（2）根据（1）建立的坐标系写出点C的坐标即可；（3）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点A'、B'、C'的位置，然后顺次连接A'、B'、C'即可；（4）利用割补法求解即可．【解答】解：（1）如图所示平面直角坐标系即为所求；（2）由（1）的坐标系可知，点C的坐标为（﹣1，﹣3）；（3）如图所示，△A'B'C'即为所求；（4）．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，写出坐标系中点的坐标，割补法求三角形面积等等，正确建立坐标系是解题的关键．18．（2022秋•如东县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，直接写出点P的坐标．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面积看成矩形面积仅为掌握三个三角形面积即可；（3）构建方程求出a可得结论．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（﹣2，1）；（2）S△ABC＝5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×5×2＝8.5．（3）∵点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，∴|a﹣2|＝4，∴a＝6或﹣2，∴P（6，4）或（﹣2，﹣4）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．19．（2022秋•高邮市期中）如图，已知△ABC．（1）画出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于直线MN成轴对称；（2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于直线PQ成轴对称；（3）△A1B1C1与△A2B2C2不成轴对称；（填“成”或“不成”）（4）△ABC的面积＝2.（设网格图中每个小正方形的边长为1）【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；（3）根据轴对称的定义判断即可；（4）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）△A1B1C1与△A2B2C2不成轴对称，故答案为：不成；（4）△ABC的面积＝2×3﹣×1×1﹣×2×2﹣×1×3＝2．故答案为：2．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．20．（2022秋•高邮市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．（1）请在图中正确画出平面直角坐标系；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；（3）点B'的坐标为（2，1）．【分析】（1）选择适合的点为直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可；（2）先找出A、B、C、三点关于y轴对称的对称点A'、B'、C'，连接三点画出三角形；（3）由直角坐标系即可得到B'点的坐标．【解答】解：（1）建立直角坐标系如下图所示：（2）△A'B'C'如图所示：（3）由图可知B'点的坐标为（2，1）．【点评】本题考查构造平面直角坐标系，轴对称，写出直角坐标系中的点的坐标，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．一、单选题1．下列图形中对称轴条数最多的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．等腰三角形 D．等腰梯形【答案】B【分析】根据对称轴的定义分别得出各选项中对称轴的条数，比较选出正确答案．【详解】解：A.等边三角形，有3条对称轴；B.正方形，有4条对称轴；C.等腰三角形，有1条对称轴；D.等腰梯形，有1条对称轴．故选：B．【点睛】本题考查了求对称轴的条数，理解对称轴的定义是解题关键．2．给出下列5个图形：线段、等边三角形、角、平行四边形、正五边形，其中，一定是轴对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：线段一定是轴对称图形，等边三角形一定是轴对称图形，角一定是轴对称图形，平行四边形不一定是轴对称图形，正五边形一定是轴对称图形，综上所述，一定是轴对称图形的有4个．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，如果再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形的标号不可能是（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念结合图形分别作出图形即可得解．【详解】解：如图，涂黑标号是2、3、4的小正方形所得图案是一个轴对称图形．

所以，不可能的标号是1号．

故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据轴对称的性质可直接进行求解．【详解】解：如图所示：，共3个，故选：C．【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．5．如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解．【详解】解：与成轴对称的格点三角形最多有6个．故答案为：D．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．6．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48° B．54° C．64° D．78°【答案】B【分析】根据△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则依据轴对称的性质，两三角形对应边对应角都相等得出∠C，再根据三角形内角和定理即可求得∠B．【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∵∠A=78°，∠C′=48°，∴∠C=48°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故选：B．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形内角和定理．理解轴对称图形，对应角相等是解题关键．7．如图，在4×4的正方形网格中，已将图中的三个小正方形涂上阴影，若再将图中其余小正方形任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A． B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【分析】根据轴对称图形的特征判断即可．【详解】解：如图所示，在图中标数的位置涂上阴影，能构成轴对称图形．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的特征，解题关键是树立空间观念，准确进行判断．8.如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用轴对称的性质，通过作对称点找到修建水泵站的位置．【详解】解：作点A关于直线l的对称点，然后连接与直线l交于一点，在这点修建水泵站，根据轴对称的性质和连点之间线段最短的性质可以证明此事铺设的管道最短．故选：D．【点睛】本题考查利用轴对称的性质找线段和最小的问题，解题的关键是掌握这个作图方法．二、填空题9．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是______．【答案】（1，﹣2）【分析】根据关于x轴对称的点坐标特征解答．【详解】解：点（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．【点睛】本题考查坐标与图形变化，熟练掌握关于x轴对称的点坐标特征是解题关键．10．黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，请至少再写出三个具有这种特征的汉字：_____．【答案】出、三、品（不唯一）【分析】根据轴对称图形的性质直接解答即可．【详解】由黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，可得具有这个特征的汉字有：出、三、品、口等等；故答案为出、三、品（不唯一）．【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．11．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．【答案】5种【分析】根据轴对称图形的性质分别得出即可．【详解】如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1，3，7，6，5，选择的位置共有5处.12．如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有___种选择．【答案】3【分析】利用轴对称图形的性质即可得出符合题意的答案．【详解】解：如图所示：灰色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，故答案为3．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确把握轴对称图形的定义．13．在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有______个．【答案】3【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得出结果．【详解】解：线段、角、圆都是轴对称图形，三角形不一定是轴对称图形，故答案为：3．【点睛】本题主要