第04讲 轴对称图形的概念、性质、设计（8种题型）（原卷版）-八年级数学

第04讲轴对称图形的概念、性质、设计（8种题型）1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。一．生活中的轴对称现象（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．（2）轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．二．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．三．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．四．镜面对称1、镜面对称：有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．五．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．六．利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．七．剪纸问题一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．八．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．一．生活中的轴对称现象（共4小题）1．（2022秋•江阴市校级月考）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后落入的球袋是（）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋2．（2022秋•苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品．3．（2022秋•江宁区校级月考）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是点．4．（2022秋•灌南县校级月考）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A．① B．② C．⑤ D．⑥二．轴对称的性质（共2小题）5．（2022秋•阜宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°6．（2022秋•如东县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为．三．轴对称图形（共3小题）7．（2022秋•徐州期末）“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰…在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是（）A．B． C． D．8．（2022秋•镇江期末）我市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）A．防控疫情我们在一起 B．有症状早就医 C．打喷嚏捂口鼻 D．勤洗手勤通风9．（2022秋•大丰区期末）微信已成为人们的重要交流平台，以下微信表情中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．四．镜面对称（共3小题）10．（2022秋•兴化市校级月考）从镜子中看到汽车正面的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是．11．（2022秋•锡山区期中）从镜子里看黑板上写着，那么实际上黑板写的是．12．（2022秋•大丰区月考）如图是小明从镜子中看到电子钟的时间，此时实际时间是．五．作图-轴对称变换（共4小题）13．（2022秋•大丰区期末）如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；（3）如果AC上有一点P（m，n）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点P2的坐标是．14．（2022秋•南通期末）如图△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（2，1），C（4，2）．（1）点A，B，C关于x轴对称点的坐标分别为A1，B1，C1，在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）△ABC面积等于．15．（2022秋•启东市校级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（4，3）．（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC；（2）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，请直接写出点B1，C1的坐标；（3）求出△A1B1C1的面积．16．（2022秋•盱眙县期末）△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A′B′C′与△ABC关于线1对称．（1）画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标：；（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标：；（3）若直线l′经过点（0，m），并且与x轴平行，根据上面研究的经验，写出点Q（c，d）关于直线l′的对称点Q′的坐标：．六．利用轴对称设计图案（共3小题）17．（2022秋•兴化市校级期末）如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在网格图中补画一个有阴影的小正方形，使四个阴影的小正方形组成的图形为轴对称图形．18．（2022秋•常州期末）在“3×3”的网格中，可以用有序数对（a，b）表示这9个小方格的位置．如图，小方格①用（2，3）表示，小方格②用（3，2）表示．则下列有序数对表示的小方格不可以和小方格①、②组成轴对称图形的是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，2） D．（3，1）19．（2022秋•丹徒区期末）如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有种．七．剪纸问题（共3小题）20．（2022秋•锡山区校级月考）如图（1），小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（）A． B． C． D．21．（2022秋•灌云县月考）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形22．（2022秋•工业园区校级月考）把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应形成的角度是度．八．翻折变换（折叠问题）（共3小题）23．（2022秋•海陵区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点B'处，则线段B'F的长为．24．（2022秋•兴化市校级期末）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为．25．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD．如果∠BAC＝35°，则∠CBD的度数是．一．选择题（共9小题）1．（2022秋•大丰区期中）下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2021秋•南京期中）如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2021秋•东海县期中）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）A． B． C． D．4．（2022秋•高邮市期末）下列图形不一定是轴对称图形的是（）A．线段 B．圆 C．角 D．直角三角形5．（2022秋•江阴市期中）如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0 B．3 C．4 D．56．（2022秋•镇江期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）A． B． C． D．7．（2020秋•灌南县校级期末）如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（）A．① B．② C．③ D．④8．（2021秋•盱眙县期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到长方形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2018次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点9．（2022秋•苏州期中）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长是（）A． B． C． D．二．填空题（共4小题）10．（2022秋•新吴区期中）小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是．11．（2013秋•张家港市校级期末）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于．12．（2020秋•盐都区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为度．13．（2022秋•沭阳县期中）如图，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，一共有种不同的涂法．三．解答题（共7小题）14．（2022秋•鼓楼区期中）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上．（1）利用方格纸，画△ABC关于直线l对称的△A'B'C′；（2）根据轴对称的性质，用符号语言写出2条不同类型的正确结论．15．（2022秋•玄武区期末）在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的位置如图所示．（1）△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移个单位得到；（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称，请画出△A2B2C2；（3）若△ABC的内部有一点P（x，y），则P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是．16．（2022秋•高邮市期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝20，BC＝12，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕与AC、AB分别相交于点M、N．（1）请利用尺规作图作出折痕MN；（2）连接AD、ND，求△ADN的面积．17．（2022秋•丹徒区期末）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标为（﹣4，﹣1）、（﹣5，﹣4）．（1）请画出符合题意的平面直角坐标系；（2）点C的坐标为；（3）画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于y轴对称；（4）△ABC的面积为．18．（2022秋•如东县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）点P（a，a﹣2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝8，直接写出点P的坐标．19．（2022秋•高邮市期中）如图，已知△ABC．（1）画出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于直线MN成轴对称；（2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于直线PQ成轴对称；（3）△A1B1C1与△A2B2C2轴对称；（填“成”或“不成”）（4）△ABC的面积＝.（设网格图中每个小正方形的边长为1）20．（2022秋•高邮市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．（1）请在图中正确画出平面直角坐标系；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；（3）点B'的坐标为．一、单选题1．下列图形中对称轴条数最多的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．等腰三角形 D．等腰梯形2．给出下列5个图形：线段、等边三角形、角、平行四边形、正五边形，其中，一定是轴对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，如果再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形的标号不可能是（）A．1 B．2 C．4 D．64．如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个6．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48° B．54° C．64° D．78°7．如图，在4×4的正方形网格中，已将图中的三个小正方形涂上阴影，若再将图中其余小正方形任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A． B．5个 C．4个 D．3个8.如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A． B．C． D．二、填空题9．在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是______．10．黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，请至少再写出三个具有这种特征的汉字：_____．11．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．12．如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色