第05讲 线段、角的轴对称性（解析版）-八年级数学

第05讲线段、角的轴对称性理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。2、了解线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。1．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．一．角平分线的性质（共15小题）1．（2022秋•邗江区期中）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部 B．∠C的平分线一定经过点O C．点O到△ABC的三边距离一定相等 D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等【分析】根据角平分线的定义与性质即可判断．【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．故选：D．【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．2．（2022秋•邗江区校级期末）∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，和角平分线的性质计算．【解答】解：∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5则P到OB的距离为5因为Q是OB上任一点，则PQ≥5故选：B．【点评】本题主要考查平分线的性质，还利用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．3．（2022秋•广陵区校级期末）如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝5，则OE的最小值为5．【分析】利用角平分线的性质即可，【解答】解：∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，OD＝5，∴O到AB的距离等于OD的长，根据垂线段最短，可知OE最小值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，利用垂线段最短是关键．4．（2022秋•广陵区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是．【分析】由角平分线的性质可求DE＝BD＝，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，∴DE＝BD＝，∴点D到AC的距离为，故答案为．【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．5．（2022秋•通州区校级月考）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，再利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∵DE＝2，∴DF＝2，∴S△ADC＝AC×DF＝×4×2＝4，故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．（2022秋•东台市期中）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5，则DF的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据角平分线的性质定理解答即可．【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝5，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．（2022秋•徐州期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面积为5．【分析】过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，先利用角平分线的性质可得DE＝DF＝2，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝2，∴DE＝DF＝2，∵AC＝5，∴△ACD面积＝AC•DF＝×5×2＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．（2022秋•启东市期末）如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为200m．【分析】过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出DE＝DC，再求出DC的长即可．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，∵∠ACB＝90°，∴DC⊥AC，∵AD为∠CAB的平分线，∴DE＝DC，∵BC＝1000m，BD＝800m，∴DC＝BC﹣BD＝200m，∴DE＝DC＝200m，即此时这个人到AB的最短距离为200m，故答案为：200．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．9．（2022秋•句容市期末）如图，射线OQ平分∠MON，点P是射线OQ上一点，且PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离等于3．【分析】过点P作PB⊥OM，垂足为B，然后利用角平分线的性质，即可解答．【解答】解：过点P作PB⊥OM，垂足为B，∵射线OQ平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，∴PA＝PB＝3，∴点P到射线OM的距离等于3，故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，则点O到三角形三条边的距离是．【分析】（1）连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，得到OB＝OC，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；（2）延长AO交BC于D，先证明AD垂直平分BC，由等腰三角形的性质可求BD＝6，再两次利用勾股定理可求解OA的长．【解答】（1）证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F．∵∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O，∴OD＝OF，OE＝OF．∴OD＝OE．∴点O在∠BAC的平分线上；（2）解：延长AO交BC于D，∵AB＝AC＝5，点O在∠BAC的平分线上，∴AO⊥BC，∵AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，∴AD＝AO+OD＝2+OD，∵BD2＝AB2﹣AD2＝OB2﹣OD2，∴52﹣（2+OD）2＝42﹣OD2，∴OD＝，∴点O到三角形三条边的距离是．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质以及角平分线的性质是解此题的关键．11．（2022秋•镇江期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积．【解答】解：作EF⊥BC交BC于点F，∵CD是AB边上的高，∴CD⊥BA，∵BE平分∠ABC，∴DE＝EF，∵DE＝2，∴EF＝2，∵BC＝8，∴S△BCE＝，故选：C．【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．12．（2022秋•海安市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF＝2，∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，∵△ABC的面积为9，∴△ADC的面积为9﹣5＝4，∴AC×DF＝4，∴AC×2＝4，∴AC＝4，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．13．（2022秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，若AB＝8，OD＝1，则△AOB的面积为4．【分析】根据角平分线的性质得到OD＝OM＝1，再利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，OM⊥AB，∴OD＝OM＝1，∴△AOB的面积为．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线的性质，结合图形利用角平分线的性质是解题的关键．14．（2022秋•阜宁县期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是120．【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DE+BC•CD，＝×12×8+×18×8，＝120．故答案为：120．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．15．（2022秋•江都区期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．【分析】连EB、EC，根据角平分线性质得EF＝EG；根据垂直平分线的性质得EB＝EC；再根据“HL”定理证明Rt△EFB≌Rt△EGC，从而得BF＝CG．【解答】解：相等．证明如下：连EB、EC，∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，∴EF＝EG．∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB＝EC．∴Rt△EFB≌Rt△EGC，∴BF＝CG．【点评】本题考查了角平分线性质和垂直平分线的性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键．二．线段垂直平分线的性质（共12小题）16．（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝40°．【分析】由条件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝110°，则可求得∠EAB+∠GAC＝70°，再利用角的和差可求得∠EAG．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠EBA＝50°，同理∠GAC＝∠GCA＝20°，∴∠GAC+∠EAB＝20°+50°＝70°，∵∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝110°﹣70°＝40°故答案为：40°．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．17．（2022秋•句容市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长6．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝AE＝4，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EB＝AE＝4，∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝40°．【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB＝100°，根据线段垂直平分线的性质得到AO＝BO，AO＝CO，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：连接OA，∵∠BOC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°，∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴AO＝BO，AO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．19．（2022秋•启东市校级期末）如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是15cm．【分析】由△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，AB＝2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+BC的值，继而求得△ABC的周长．【解答】解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，∴BD＝AD，AB＝2AE＝6cm，∵△ADC的周长为9cm，∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝15cm．故答案为：15．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用．20．（2022秋•大丰区期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周长；（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．【分析】（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝CE，继而可得△ADE的周长＝BC；（2）由AD＝BD，AE＝CE，可求得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又由∠BAC＝128°，即可求得∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，继而求得答案．【解答】解：（1）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，又∵BC＝10，∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；（2）∵AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又∵∠BAC＝128°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．21．（2022秋•广陵区校级期末）如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA＝MB，NA＝NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；（3）根据（2）的解法得到∠MAN＝90°，根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，∴MA＝MB，同理，NA＝NC，∵△AMN的周长为6，∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；（2）∵∠MON＝30°，∴∠OMN+∠ONM＝150°，∴∠BME+∠CNF＝150°，∵MA＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，同理，∠ANC＝2∠CNF，∴∠BMA+∠ANC＝300°，∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC设MN＝x，∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，解得，x＝5，即MN＝5．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．22．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是（）A．AB＝2CM B．EF⊥AB C．AE＝BE D．AM＝BM【分析】根据基本作图得到EF是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的概念和性质判断即可．【解答】解：由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，∴EF⊥AB，AE＝BE，AM＝BM，则B、C、D说法正确，不符合题意，AB与2CM的故选不确定，A错误，符合题意，故选：A．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．23．（2022秋•广陵区校级期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【分析】根据垂直平分线的判定判断即可．【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB垂直平分CD，故选：A．【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判断是解题的关键．24．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，且BD＝AB﹣2．（1）求证AB＝AD；（2）求CD长．【分析】（1）根据线段垂直平分线得出DC＝AD，进而利用等腰三角形的性质解答即可；（2）根据边长得出方程解答即可．【解答】（1）证明：∵点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，∴DC＝AD，∴∠C＝∠CAD，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C＝∠B，∴AB＝AD；（2）解：∵AB＝AD，CD＝AD，BD＝AB﹣2，BC＝8，∴CD+CD﹣2＝8，∴CD＝5．【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出DC＝AD解答．25．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，E是BC上一点，AE＝AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于点D，△ABC的周长为18cm，AC＝7cm，则DC的长为（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根据已知能推出2DE+2EC＝11cm，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC周长18cm，AC＝7cm，∴AB+BC＝11cm，∴AB+BE+EC＝11cm，即2DE+2EC＝11cm，∴DE+EC＝5.5cm，∴DC＝DE+EC＝5.5cm．故选：C．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．26．（2022秋•南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝20°，则∠BAC＝80°或100°．【分析】当∠BAC为锐角时，如图1，设∠BAG＝α，∠CAE＝β，根据线段垂直平分线性质可得：∠ABC＝∠EAB＝20°+α，∠C＝∠CAG＝β+20°，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当∠BAC为钝角时，如图2，根据线段垂直平分线性质可得：∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∠BAC＝∠B+20°+∠C，再结合三角形内角和定理即可求得答案．【解答】解：当∠BAC为锐角时，如图1，设∠BAG＝α，∠CAE＝β，∵∠EAG＝20°，∴∠EAB＝∠EAG+∠BAG＝20°+α，∠CAG＝∠CAE+∠EAG＝β+20°，∠BAC＝α+β+20°，∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，∴∠ABC＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴α+β+20°+20°+α+β+20°＝180°，∴α+β＝60°，∴∠BAC＝α+β+20°＝60°+20°＝80°；当∠BAC为钝角时，如图2，∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∴∠BAC＝∠EAB+∠EAG+∠CAG＝∠B+20°+∠C，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠B+20°+∠C+∠B+∠C＝180°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°；综上所述，∠BAC＝80°或100°．故答案为：80°或100°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．27．（2022秋•邗江区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为3cm．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到NB＝NA，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，∴NB＝NA，△BCN的周长＝BC+CN+BN＝7cm，∴BC+AC＝7cm，又AC＝4cm，∴BC＝3cm，故答案为：3．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用作图痕迹可判断，平分，加上为公共边，然后利用全等三角形的判定方法求解．【详解】解：由作图痕迹得，平分，∴，∵，∴．故选：A．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．2．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，如图，中，，，点、分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作于点，于点，于点，利用角平分线的性质得到，进而证明平分，利用三角形外角的性质求出的度数即可得到答案．【详解】解：作于点，于点，于点，平分，平分，，，，，，平分，，，，．故选：．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，证明平分是解题的关键．3．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，若，，则的面积等于（）A．30 B．60 C．24 D．48【答案】A【分析】如图，过点E作于点F，由角平分线的性质可得，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，过点E作于点F，∵是边上的高，∴，又∵平分，，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．4．（2022秋·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若的周长是，则的周长是（

）A．22 B．15 C．17 D．18【答案】C【分析】由的垂直平分线交于点D，交于点E，易得，又由的周长是，可求得，继而求得答案．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，∵的周长是，∴，∵，∴的周长是：．故选：C．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意转化思想与数形结合思想的应用．5．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，则的周长为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案．【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线，∴，∵∴的周长．故选：A．【点睛】此题考查了尺规作图－线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．6．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（

）A．6 B．6 C．3 D．3【答案】D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，这样AP＋PQ转化为AP＋PE即可得出答案．【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，当AP＋PE＝AH时最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝AB•cos60°＝，∴AP＋PQ的最小为，故选：D．【点睛】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把PQ转化到BD的另一侧．7．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，则的长为（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出，即可求出答案．【详解】解：如图，过点作于点，

∵是的角平分线，，，∴，∴，∴，即有：，∴，故选：．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形面积的应用，解此题的关键是求出长和面积．二、填空题8．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是____．【答案】3【分析】根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案；【详解】解：由题意可得，如图所示，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，∴，故答案为3．【点睛】本题考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边，解题的关键是根据图形判断出角平分线．9．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期末）如图，P是的平分线上一点，，，垂足分别为D，E，若，则PE的长是______．【答案】2【分析】根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：∵点是的平分线上一点，，，，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要有角的平分线上的点到角的两边的距离相等．10．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长为_____．【答案】23【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，即可得到答案．【详解】解：是的垂直平分线，，，的周长为13，，的周长为：，故答案为：23．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．11．（2022秋·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，的三边，，的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则：：___________【答案】4：6：5【分析】过点作三边的高，根据角平分线性质得到，根据三角形面积公式得到面积之比等于三边之比即可得到答案．【详解】解：过点作于点，于点，于点，、、是的三条角平分线，，，，的长分别为40，50，60，：：：：：：4：6：5故答案为：4：6：5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握辅助线的做法，注意数形结合思想的运用是解题关键．12．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为____________．【答案】6【分析】在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，得出．根据E、F分别是和上的动点，三角形三边的关系和垂线段最短得出，求出的长即可得出的最小值．【详解】解：如图所示，在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，．∵的面积为24，的长为8，∴，∴，∵平分，∴又∵，，∴≌（SAS），∴，∴，∵E、F分别是和上的动点，∴，∴∴当C、E、共线且点与点H重合时，即，这时的值最小，∴最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求的长是解题的关键．三、解答题13．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，于点E，于点F，若．(1)求证：平分；(2)请猜想与之间的数量关系，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)，证明见解析【分析】（1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可；（2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：，证明如下：在和中，，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．14．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，对角线，相交于点，，，垂足分别是，，求证；【答案】见解析【分析】已知，，结合，可证，得到，即平分，结合，，即可得证．【详解】在和中，∵，，，∴，∴，∴平分，又∵，，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）已知，求作点P，使得点P与三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】分别作、边上的垂直平分线的交点即为所求．【详解】如图，点P即为所求．【点睛】本题考查了尺规作垂线，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．16．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，校园有两条路、，在交叉口附近有两块宣传牌、，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点．（请保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】分别作线段的垂直平分线和的角平分线，它们的交点即为点．【详解】解；如图，点为所作．【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．17．（2022秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合．(1)求证：是的平分线；(2)连接，判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)垂直平分，理由见解析【分析】（1）根据题意，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；（2）连接，交于点，首先根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，进而即可得出结果．【详解】（1）证明：∵移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，∴，在和中，，∴，∴，∴是的平分线；（2）解：垂直平分，理由如下：如图，连接，交于点，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴垂直平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定，解本题的关键在理解题意，灵活运用全等三角形的判定方法证明三角形全等．一、单选题1．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（）A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，从而可确定答案．【详解】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平，故选：D．【点睛】本题主要考查垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是关键．2．如图所示，在四边形ABCD中，，于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到，再根据垂线段最短即可得出结论．【详解】解：∵，E是BD的中点，∴．又∵于点B，∴AE是斜线段，BE是垂线段．∴AE>BE．∴AE>CE．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，和垂线段最短的定理，正确理解并应用这些知识点是解题关键．3．到三角形三个顶点距离相等的点是（）的交点．A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条角平分线的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等即可判断．【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故选：Ａ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是：掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．4．如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E．过点C作，垂足为点D，与相交于点F．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接DE，如图，利用基本作图得到AE=CE，则DE为斜边AC的中线，所以DE=AE=CE，则∠ADE=∠A=34°，接着证明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性质计算∠BFC的度数．【详解】解：连接DE，如图，由作法得MN垂直平分AC，∴AE=CE，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDE=90°，∵DE为斜边AC的中线，∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A=34°，∵BD=CE，∴BD=DE，∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．故选：B．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．5．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④【答案】B【分析】证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．【详解】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=AC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．二、填空题6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=___________°．【答案】45【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．【详解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，∵∠ADB=90°．∴∠ABC=∠BAD=45°．故答案为：45．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．7．如图，△ABC中，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，AC＝5，△AEC的周长为12，则AB＝___．【答案】7【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∵△AEC的周长为12，∴AC+AE+EC＝12，∴AC+AE+EB＝AC+AB＝12，∴AB＝12﹣5＝7，故答案为：7．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线BF交AC于G．如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为_____．【答案】24【分析】如图，过点作于，于．证明，求出，即可解决问题．【详解】解：如图，过点作于，于．由作图可知，平分，，，，，，，，故答案为24．【点睛】本题考查作