第09讲 勾股定理（3种题型）（解析版）-八年级数学

第09讲勾股定理（3种题型）1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．一．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．三．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．一．直角三角形的性质（共6小题）1．（2023春•江阴市期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】注意直角三角形中有一个内角为90°．2．（2022秋•高新区校级月考）直角三角形中两个锐角的差为60°，则较小的锐角度数是15°．【分析】设较小锐角的度数为x，则较大锐角的度数为x+20°，根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．【解答】解：设较小锐角的度数为x，则较大锐角的度数为x+60°，根据题意得：x+x+60°＝90°，解得：x＝15°，∴较小锐角的度数为：15°，故答案为：15°．【点评】本题考查了直角三角形的性质，列出方程是解题的关键．3．（2022秋•新吴区期中）如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′＝72°，则∠ACD的度数为（）A．12° B．9° C．10° D．8°【分析】根据∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，求出∠DCB即可解答．【解答】解：∵∠ACB′＝72°，∠ACB＝90°，∴∠BCB′＝162°，由翻折的性质可知：∠DCB＝∠BCB′＝81°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣81°＝9°，故选：B．【点评】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．4．（2022秋•兴化市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠A＝24°，则∠CDE＝69°．【分析】根据翻折的性质可得∠ACD＝∠BCD＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CDB，然后根据翻折的性质可得∠CDE＝∠CDB．【解答】解：∵∠ACB＝90°，将△CBD沿直线CD翻折180°，得到△CED，点E恰好落在边AC上，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，由三角形的外角性质得，∠CDB＝∠A+∠ACD＝24°+45°＝69°，由据翻折的性质得，∠CDE＝∠CDB＝69°．故答案为：69．【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．5．（2022秋•崇川区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝20°，则∠BDC等于65°．【分析】求出∠B，∠DCB即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，由折叠可知，∠DCB＝∠DCE＝45°，∴∠BDC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，故答案为：65°．【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边上一动点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD．若∠ABD＝15°，则∠ABE的度数为60°．【分析】依据角的和差关系即可得到∠DBC的度数，再根据折叠的性质即可得到∠ABE的度数．【解答】解：∵∠ABD＝15°，∠ABC＝90°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣15°＝75°，由折叠可得∠DBE＝∠DBC＝75°，∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝75°﹣15°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．二．勾股定理（共5小题）7．（2022秋•常州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝n2﹣1，AB＝n2+1，则AC的长为（）A．2n B．2n2 C．4n D．4n2【分析】由勾股定理得AC2＝AB2﹣BC2，把BC、AB代入化简即可求得AC2，再根据二次根式的性质即可求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝n2﹣1，AB＝n2+1，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴AC2＝AB2﹣BC2＝（n2+1）2﹣（n2﹣1）2＝（n2+1+n2﹣1）（n2+1﹣n2+1）＝4n2，∴，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理、二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．8．（2022秋•新北区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（）A． B．3 C． D．2【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵，∴，解得CD＝2.4，故选：C．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．9．（2020秋•东台市月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，则下列结论成立的是（）A．BC＝AC+BC B．AC2＝AB2+BC2 C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC2【分析】根据勾股定理解决此题．【解答】解：如图．∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2+AC2．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．10．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）A．50 B．16 C．25 D．41【分析】根据勾股定理求出AB2，再根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，∴CD2+BD2＝BC2＝25，∴阴影部分的面积＝25+25＝50，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．11．（2022秋•南京期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【分析】由勾股定理得AB＝5，再由三角形面积公式得S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝2.4，故选：A．【点评】此题考查了勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三．勾股定理的证明（共10小题）12．（2022秋•江阴市期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝4【分析】由题意，①﹣②可得2xy＝65记为③，①+③得到（x+y）2＝146由此即可判断．【解答】解：由题意，①﹣②可得2xy＝65③，∴2xy+16＝81，①+③得x2+2xy+y2＝146，∴x+y＝，∴①③④正确，②错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．13．（2022秋•沭阳县期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为21．【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．【解答】解：如图，由题意得AC＝＝，AB＝CD＝2，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝29，∴△ADC面积＝CD•AB＝×2×2＝2，∴阴影部分的面积S＝29﹣4×2＝21，故答案为：21．【点评】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．14．（2022秋•锡山区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝，∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝5+4ab＝21，∴ab＝4，∴大正方形的面积＝4×ab+5＝13，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．15．（2022秋•锡山区校级月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a﹣b；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．16．（2022秋•兴化市期中）如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（）A．25 B．28 C．16 D．48【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，从而求得．【解答】解：∵大正方形的面积为16，∴它的边长为4，即得a2+b2＝42＝16，由题意4××ab+4＝16，2ab＝12，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+12＝28．故选：B．【点评】本题巧妙地利用直角三角形的勾股定理，来求得未知问题．17．（2022秋•工业园区校级期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，则四边形ACBD的面积为53．【分析】根据全等三角形的性质可得DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，再根据四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积，列出算式计算即可求解．【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，∴四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积＝×9×9+×5×5＝53．故答案为：53．【点评】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，以及由图形得到四边形ACBD的面积＝△DAC的面积+△DBC的面积．18．（2021秋•无锡期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，则S2的值是（）A． B．6 C．5 D．【分析】先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和S1+S2+S3＝18，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得S2的值．【解答】解：设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，∵S1+S2+S3＝18，∴（a+b）2+（a2+b2）+（a﹣b）2＝18，∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2＝18，∴3（a2+b2）＝18，∴a2+b2＝6，∴S2＝a2+b2＝6，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的应用、正方形的面积，解答本题的关键是明确勾股定理的内容，可以写出相应的等式．19．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为60．【分析】根据勾股定理可知a2+b2＝c2，再根据b﹣a＝4，c＝20，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×10＝60，故答案为：60．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．20．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．【分析】（1）利用“8字型”证明∠AFE＝∠ECD＝90°即可．（2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型．一．选择题1．（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，则BC的长度为（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】先根据等腰三角形的性质得出BC＝2BD，再由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分线，AD＝6，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+62＝102，解得BD＝8，∴BC＝16．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．2．（2022秋•海安市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝（）A．40° B．30° C．20° D．10°【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D＝∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，∴∠B＝180°﹣90°﹣55°＝35°，由折叠可得：∠CA′D＝∠A＝55°，又∵∠CA′D为△A′BD的外角，∴∠CA′D＝∠B+∠A′DB，则∠A′DB＝55°﹣35°＝20°．故选：C．【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．3．（2022秋•南京期末）如图，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，以边AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．4【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC＝CB＝2，进而可求得S△ACB＝2，再利用阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积计算可求解．【解答】解：在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，∴AC2+BC2＝AB2＝8，∴AC＝CB＝2，∴S△ACB＝AC•BC＝2，∴S阴影＝π（）2+S△ACB﹣π（）2＝π+2﹣π＝2，故选：C．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积＝以AC为直径的圆的面积+△ACB的面积﹣以AB为直径的半圆的面积是解题的关键．4．（2022秋•泗阳县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中线，CD＝，AC＝，则AE的长为（）A． B．5 C．6 D．4【分析】由CD、AE是Rt△ABC中线，得BE＝CE＝BC，AB＝2BD，由勾股定理得（）2﹣BD2＝（）2﹣（2BD）2＝BC2，即可求得BD＝2，则AB＝4，进而求得BC＝＝6，BE＝3，则AE＝＝5，于是得到问题的答案．【解答】解：∵CD、AE是Rt△ABC中线，∴BE＝CE＝BC，BD＝AD＝AB，∴AB＝2BD，∵∠B＝90°，∴CD2﹣BD2＝AC2﹣AB2＝BC2，∵CD＝，AC＝，∴（）2﹣BD2＝（）2﹣（2BD）2，∴BD＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝6，BE＝3，∴AE＝＝＝5，∴AE的长为5，故选：B．【点评】此题重点考查三角形的中线的定义、勾股定理等知识，将AB的长用BD表示，再根据勾股定理列方程是解题的关键．二．填空题5．（2022秋•泰兴市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，则斜边AB长为cm．【分析】根据勾股定理求得斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求得斜边上的高的长．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，∴AB＝＝13cm．故答案为：13．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方以及三角形面积公式的综合运用．6．（2022秋•常州期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC平分∠BAD，且∠ACB＝90°．当点C在BD的垂直平分线上时，CD2的值为．【分析】延长AD、BC交于点E，由题意可得AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出BC＝CE＝CD，过点C作CF⊥DE于点F，分别在Rt△CDF中，Rt△ACF中和Rt△ABC中利用勾股定理求出AC2＝CD2+60和AC2＝100﹣CD2，进而可得答案．【解答】解：如图，延长AD、BC交于点E，∵AC平分∠BAE，且∠ACB＝90°，∴AB＝AE＝10，∴BC＝CE，∵点C在BD的垂直平分线上，∴BC＝CD，∴CD＝CE，过点C作CF⊥DE于点F，∴DF＝EF，∵AD＝6，∴DE＝4，∴DF＝EF＝2，∴AF＝AD+DF＝8，在Rt△CDF中，CF2＝CD2﹣DF2＝CD2﹣4，在Rt△ACF中，AC2＝AF2+CF2＝64+CD2﹣4＝CD2+60，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2＝100﹣CD2，∴CD2+60＝100﹣CD2，∴CD2＝20．故答案为：20．【点评】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，作出合适的辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．7．（2022秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长为．【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据勾股定理列式计算得到答案．【解答】解：连接BE，由勾股定理得，BC＝＝＝3，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，AD＝DB＝，则CE＝4﹣AE＝4﹣EB，在Rt△CBE中，BE2＝CE2+BC2，即BE2＝（4﹣BE）2+9，解得BE＝，∴AE＝BE＝，故答案为：．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（2022秋•如东县期末）李老师和“几何小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（Hippocrate'sTheorem）”：如右图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝6，b＝8，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为．【分析】直接根据勾股定理求出AB的长，再根据S阴影＝以AC为直径的扇形的面积+以BC为直径的扇形面积﹣以AB为直径的扇形面积+△ABC的面积即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝6，b＝8，∴AB＝＝＝10．∴S阴影＝＝π+24＝24．故答案为：24．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），故答案是：3．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．10．（2022秋•泰兴市期末）已知，如图，四边形ABCD中，AD＝6，CD＝8，∠ADC＝90°，点M是AC的中点，连接BM，若BM＝AC，∠BAD+∠BDC＝180°，则BC2的值为．【分析】延长BM交CD于N点，连接DM，如图，先利用勾股定理计算出AC＝10，根据斜边上的中线性质得到MD＝MC，再证明∠ABC＝90°，接着证明∠BDC＝∠BCD，则BD＝BC，于是可判断BM垂直平分CD，所以DN＝CN＝4，∠BNC＝90°，然后证明MN为△ADC的中位线得到MN＝3，最后利用勾股定理计算BC2的值．【解答】解：延长BM交CD于N点，连接DM，如图，∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝＝10，∵点M是AC的中点，∴MD＝MC，∵BM＝AC＝5，∴AM＝BM＝CM，∴∠MAB＝∠MBA，∠MBC＝∠MCB，∵∠MAB+∠MBA+∠MBC+∠MCB＝180°，∴∠MBA+∠MBC＝90°，即∠ABC＝90°，∴∠DAB+∠BCD＝180°，∵∠BAD+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠BCD，∴BD＝BC，而MD＝MC，∴BM垂直平分CD，∴DN＝CN＝4，∠BNC＝90°，∵M点为AC的中点，N为CD的中点，∴MN为△ADC的中位线，∴MN＝AD＝3，∴BN＝BM+MN＝8，在Rt△BCN中，BC2＝CN2+BN2＝42+82＝80．故答案为：80．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．构建Rt△BCN是解决问题的关键．11．（2022秋•连云港期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，短直角边长为b，若（a+b）2＝24，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为6．【分析】根据题意和勾股定理，可以求得ab的值，再根据图形可知：小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：设大正方形的边长为c，则c2＝15＝a2+b2，∵（a+b）2＝24，∴a2+2ab+b2＝24，解得ab＝4.5，∴小正方形的面积是：15﹣ab×4＝15﹣4.5×4＝15﹣9＝6，故答案为：6．【点评】本题考查勾股定理的证明、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出ab的值．12．（2022秋•工业园区校级月考）把图1中长和宽分别为6和3的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为．【分析】根据题意得出小正方形的边长，然后根据面积公式计算即可．【解答】解：由题意知，小正方形ABCD的面积为（6﹣3）2＝9，故答案为：9．【点评】本题主要考查勾股定理的证明，熟练根据图形列出代数式是解题的关键．13．（2021秋•丰县校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AB、BC于E、D，∠1＝∠2，则∠B＝°．【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD＝BD，继而可得∠2＝∠B，然后由在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，即可得∠BAC+∠B＝∠B＝90°，继而求得答案．【解答】解：DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠2＝∠B，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠B，∴∠BAC＝∠1+∠2＝∠B，∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠BAC+∠B＝∠B＝90°，∴∠B＝36°．故答案为：36．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．三．解答题（共5小题）14．（2022秋•苏州期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；（2）已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．【解答】解：（1）∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a，较长的直角边＝2a+3，∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；（2）小正方形的面积＝（a+3）2＝36，∴a＝3（负值舍去），∴大正方形的面积＝92+32＝90．【点评】本题考查了勾股定理的证明，列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键．15．（2022秋•徐州期中）操作与探究（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形；（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理．【分析】（1）根据网格用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，即可完成拼图；（2）利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理；【解答】解：（1）如图所示即为拼接成的大正方形；（2）S大正方形＝4×ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，而S大正方形＝c2，∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查了勾股定理的证明及其应用，掌握勾股定理是解本题的关键．16．（2022秋•扬州期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）设CA＝x，则AH＝x﹣0.9，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果；（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果；【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，也可以表示为ab+ab+c2，∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2，即a2+b2＝c2；（2）∵CA＝x，∴AH＝x﹣0.9，在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，即x2＝1.22+（x﹣0.9）2，解得x＝1.25，即CA＝1.25，CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米），答：新路CH比原路CA少0.05千米；（3）设AH＝x，则BH＝6﹣x，在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，解得：x＝．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．17．（2022秋•灌南县期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值．【分析】（1）根据大正方形的面积＝直角三角形的面积+小正方形的面积可得结论；（2）利用完全平方公式结合正方形及直角三角形的面积计算可求解．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；（2）由图可知，（b﹣a）2＝4，4×ab＝12﹣4＝8，∴2ab＝8，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+2×8＝20．【点评】本题主要考查勾股定理的证明，利用面积法证明勾股定理是解题的关键．18．（2022秋•吴江区月考）【方法探究】我们知道，通过不同的方法表示同一图形的面积可以探求相应的数量关系．如图1，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b（a＜b），斜边长为c，大正方形的面积用两种方法可分别表示为、，由此可发现a，b，c之间的数量关系为．【方法迁移】将图1中的四个形状大小完全相同的直角三角形拼成图2，a，b，c之间仍然具有以上数量关系吗？请在图2中添加适当的辅助线，并加以说明．【分析】（1）根据大正方形的面积的两种求法，可得结论；（2）根据几何图形的面积的两种求法，可得结论．【解答】解：（1）大正方形的面积＝（a+b）2；或大正方形的面积＝c2+2ab；∴（a+b）2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，故答案为：（a+b）2，c2+2ab，a2+b2＝c2；（2）结论仍然成立．理由：如图2中，过点F作FH⊥CD于点H．这个几何图形的面积＝正方形BCHF的面积+正方形ETHD的面积+2个直角三角形的面积＝正方形ABJE的面积+2个正方形的面积，∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型，一．选择题1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，则AC2+BC2＝225cm2．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．2．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．【解答】解：根据题意得：S=12（a+b）（a+b），S=12ab+1∴12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，即（a+b）（a+b）＝整理得：a2+b2＝c2．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝4【分析】由题意x2+y2=81①(x-y)2=16②，①﹣②可得2xy＝65记为③，①【解答】解：由题意x2①﹣②可得2xy＝65③，∴2xy+16＝81，①+③得x2+2xy+y2＝146，∴x+y=146∴①③④正确，②错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．4．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根据完全平方公式的变式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根据直角三角形的面积计算方法即可得出答案．【解答】解：设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴△BCD的面积=12ab图中△BCD的面积为4．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．5．如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（）A．17 B．10 C．6 D．7【分析】由正方形的性质得BC2＝15，∠ABC＝90°，则∠EBC＝90°，再由勾股定理求出BE的长即可．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为15，∴BC2＝15，∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=C故选：D．【点评】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】首先求出正方体的棱长，进而得出正方体A、B两点间的距离即可．【解答】解：∵AB＝6，∴该正方体的棱长为32=∴把正方形组合起来之后会发现A、B在同一平面的对角线上，所以该正方体A、B两点间的距离为3，故选：B．【点评】此题主要考查了几何体的展开图，得出正方体的棱长是解题关键．7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（）A．S甲＝S丁 B．S乙＝S丙 C．S甲+S乙＝S丙+S丁 D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【解答】解：连接AC，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，∴甲的面积+乙的面积＝丙的面积+丁的面积，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．二．填空题8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是．【分析】作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得CD＝DE，再利用面积法求出CD的长，从而解决问题．【解答】解：作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=A∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴S△ABC=1∴6CD+10CD＝48，∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积等知识，运用面积法求出CD的长是解题的关键．9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝7，则AB＝．【分析】平移一腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．【解答】解：作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE＝2，∠DEC＝∠B＝60°，∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，∵∠C＝30°，∴∠EDC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．∴EC＝2DE＝5．∴AB＝DE＝2.5．故答案是：2.5．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造平行四边形ABED是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，点D、E分别AB、BC的中点，点F在CA的延长线上，且∠FDA＝∠BAE，则四边形AFDE的周长为．【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线定理得出AE=12BC＝BE，DE∥AF，DE=12AC，由∠FDA＝∠BAE，得出AE∥【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，∴AB＝12，∵点D、E分别AB、BC的中点，∴DE∥AC，AE＝CE＝BE，DE=12∵∠FDA＝∠BAE，∴AE∥DF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴四边形AFDE的周长＝2ED+2AE＝9+15＝24，故答案为：24．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由三角形中位线定理得出DE∥AC，DE=1211．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为时，△BCP为等腰三角形．【分析】分情况讨论，由等腰三角形的判定与性质分别求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=A当点P在AC上时，CP＝CB＝5，∴t＝5；当点P在AB上时，分三种情况：①当BP＝BC＝5，如图1所示：则AP＝13﹣5＝8，∴t＝12+8＝20；②当CP＝CB