第12讲 实数与近似数（8种题型）（原卷版）-八年级数学

第12讲实数与近似数（8种题型）1、体验发现无理数的过程，知道什么是无理数。2、会区分有理数和无理数。3、了解数的范围,从整数→有理数→实数的扩展过程，知道实数的意义及分类4．理解有理数的运算法则及运算律在实数范围内仍然适用；5．掌握实数的加、减、乘、除、开方、乘方运算；6.理解近似数和有效数字的概念；一．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．二．实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：实数：或实数：三．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．四．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．五．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．六．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．七．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．八．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．一．近似数和有效数字（共3小题）1．（2022秋•苏州期末）据统计，2022年前三季度苏州市国民生产总值（GDP）为16976.70亿元，数据16976.70精确到个位是（）A．16970 B．16976 C．16977 D．170002．（2022秋•泗阳县期末）由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（）A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位3．（2022秋•常州期末）用四舍五入法把圆周率π＝3.1415926…精确到千分位得到的近似值是（）A．3.141 B．3.142 C．3.1415 D．3.1416二．无理数（共4小题）4．（2022秋•沭阳县期末）在实数0，，﹣，3.1415926，1.，1.01001000100001……（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022秋•秦淮区月考）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是．6．（2022秋•邗江区校级期末）在2π，﹣2，0，0.454454445…中，无理数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．（2022秋•盱眙县期末）下列各数中，是无理数的为（）A．3. B．3.1415926 C． D．π三．实数（共9小题）8．（2021•吴江区模拟）下列命题正确的个数有：，（3）无限小数都是无理数，（4）有限小数都是有理数，（5）实数分为正实数和负实数两类．（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2022秋•相城区校级月考）实数：﹣，π，0.27，，，，0.3，0.101001000…中，有理数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（2022秋•工业园区校级期中）下列说法正确的是（）A．一个数的算术平方根一定是正数 B．1的立方根是±1 C．＝±5 D．2是4的平方根11．（2020秋•江都区期末）在﹣，﹣，这三个实数中，分数是．12．（2021秋•亭湖区校级月考）六个数：0.123，，3.1416，﹣2π，（﹣1.5）3，0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加1），若其中无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z＝13．（2022春•黄骅市校级期中）下列说法中正确的是（）A．带根号的数都是无理数 B．不带根号的数一定是有理数 C．无限小数都是无理数 D．无理数是无限小数14．（2022春•海安市月考）在实数、、π、3127、0.1212212221…（两个1之间依次多一个2）中，其中有理数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（2021秋•灌南县校级月考）把下列各数的标号填在相应的大括号内：①2，②，③2，④25%，⑤0.25555…，⑥﹣0.040040004…（每两个4多一个0）（1）有理数集合：{}；（2）无理数集合：{}．16．（2021秋•栖霞区校级月考）把下列各数分别填入相应的横线上．﹣5，|﹣|，0，﹣3.14，，﹣12，﹣，+1.99，﹣（﹣6），0.101001，．（1）非负整数：．（2）无理数：．四．实数的性质（共7小题）17．（2022秋•锡山区期中）的相反数是（）A．﹣0.236 B．+2 C．2﹣ D．﹣2+18．（2021秋•工业园区期末）计算：|3.14﹣π|＝．19．（2022秋•崇川区校级月考）若a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．互为负倒数20．（2022秋•宝应县月考）64的相反数的立方根是．21．（2009秋•宿迁校级期中）的相反数是．22．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x+﹣的值．23．（2022秋•苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数；②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7；③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：（1）＝；（2）若，则x＝；已知，且与互为相反数，求x，y的值．五．实数与数轴（共5小题）24．（2021秋•六合区期中）在数轴上画出表示、﹣的点，并标上必要的数据．25．（2021•盐城）如图，点A是数轴上表示实数a的点．（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的点P；（保留作图痕迹，不写作法）（2）利用数轴比较和a的大小，并说明理由．26．（2022秋•徐州期末）如图，数轴上点A表示的实数是．27．（2022秋•大丰区期末）如图，数轴上点A表示的实数是（）A．﹣1 B． C．+1 D．﹣128．（2022秋•镇江期末）如图，在数轴上点A表示的数为2，在点A的右侧作一个长为2，宽为1的长方形ABCD，将对角线AC绕点A逆时针旋转，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点处E，则点E表示的数是（）A． B． C． D．六．实数大小比较（共6小题）29．（2023•扬州）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a30．（2023•仪征市二模）2，，5三个数的大小关系是（）A．5＜＜2 B．＜5＜2 C．2＜5＜ D．＜2＜531．（2023•连云港）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）32．（2022秋•秦淮区期末）比较大小：．（填“＞”、“＜”或“＝”）．33．（2022秋•邗江区期末）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是．34．（2022秋•玄武区期末）比较大小：3﹣﹣2．七．估算无理数的大小（共6小题）35．（2022秋•邗江区期中）若一个正数的两个平方根分别是2m﹣1和2﹣m，n是8的立方根，c是的整数部分，求m+n+c的立方根．36．（2022秋•工业园区校级期中）已知2a+7b+3立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．求3a﹣b+c的平方根．37．（2022秋•丹徒区月考）已知5a+4的立方根是﹣1，3a+b+6的算术平方根是3，c是的整数部分．（1）求a、b、c的值；（2）求3a+b+2c的平方根．38．（2022秋•滨海县月考）已知2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2，（1）求6a+b的算术平方根；（2）若c是的整数部分，求2a+3b﹣c的平方根．39．（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，是无理数，而1＜＜2，所以的整数部分是1，于是可用﹣1来表示的小数部分．材料2：若10﹣＝a+b，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b＝﹣．根据以上材料，完成下列问题：（1）的整数部分是，小数部分是；（2）3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，求a+b的算术平方根．40．（2022秋•东台市期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：（1）的整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．八．实数的运算（共4小题）41．（2022秋•秦淮区期末）计算：．42．（2022秋•常州期末）计算：．43．（2022秋•鼓楼区期末）计算：．44．（2022秋•丹徒区期末）计算与求值：（1）计算：；（2）求下列各式中的x；①5x2＝15；②（x+3）3＝﹣64．一、单选题1．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）据统计，2022年前三季度苏州市国民生产总值（GDP）为16976.70亿元，数据16976.70精确到个位是（）A．16970 B．16976 C．16977 D．170002．（2023秋·江苏徐州·八年级统考期末）某地城市轨道交通6号线全长，该长度用科学记数法（精确到）可表示为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江苏南京·八年级校联考期末）下列实数是无理数的是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）下列判断正确的是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）下列无理数中，在﹣2与1之间的是（）A．﹣ B．﹣ C． D．6．（2023秋·江苏苏州·八年级期中）估计的值在（

）A．0和1之间 B．1和2之间C．2和3之间 D．3和4之间7．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数－2，－1，0，1，2，则表示数的点P应落在（

）A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上8．（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）若，估计m的值所在的范围是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·江苏·八年级统考期末）下列实数大于2且小于3的是（

）A． B． C． D．10．（2023秋·江苏连云港·八年级统考期末）对估算正确的是（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期末）按括号内的要求，用四舍五入法求近似数：5.748（精确到0.01）______．12．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）比较大小：_____π．（填“＞”、“＜”、“＝”）13．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）设n为正整数，且，则n的值为______．14．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）中国空间站未来将单独发射一个光学舱，内设巡天望远镜，其分辨率与哈勃相当，视场角是哈勃的300多倍．在轨10年，可以对以上的天区，约17500平方度天区进行观测．将17500用科学记数表示为_____________（精确到1000）．15．（2023秋·江苏南京·八年级校联考期末）计算：______．16．（2023秋·江苏南京·八年级校联考期末）比较大小：______4（填“＞”、“＜”或“＝”）．17．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）比较大小：________（填“”、“”或“”）．18．（2023春·江苏苏州·八年级期中）如果一个四位数的百位数字和千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的两倍，则这个四位数称作“凤中数”．例如：，∵，∴2456是“凤中数”．若一个“凤中数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且满足（），记，当是整数时，则满足条件的的最大值为______．三、解答题19．（2023春·江苏·八年级期末）计算：(1)；(2)．20．（2023秋·江苏无锡·八年级校联考期末）计算：．21．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期末）计算：(1)(2)22．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）（1）计算：；（2）求中x的值．23．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）计算：．24．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）（1）计算：

（2）化简：25．（2023春·江苏扬州·八年级期中）已知两种不同的数对处理器f、g当数对（x，y）输入处理器f时，输出数对（x＋2y，2x﹣y），记作f（x，y）＝（x＋2y，2x﹣y）；但数对（x，y）输入处理器g时，输出数对（y，﹣x＋4），记作g（x，y）＝（y，﹣x＋4）．(1)f（3，2）＝（，），g（3，2）＝（，）．(2)当f（x，y）＝g（1，﹣1）时，求x，y；(3)是否存在数对（x，y），使f[g（x，y）]＝g[f（x，y）]成立？若存在，求出数对（x，y）；若不存在，说明理由．26．（2023春·八年级单元测试）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式计算下面的题.

例如：求3－2的算术平方根.解：∴3－2的算术平方根是－1回答下面的问题：(1).(2)(3)一、单选题1．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）下列四个实数中，属于无理数的是（）A．0 B． C． D．2．（2023·全国·八年级假期作业）在实数，，中有理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）估计的值在（）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间4．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期中）某礼品包装盒为体积的正方体，若这个正方体棱长为，则的范围为（

）A． B． C． D．5．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）下列整数中，与最接近的是（）A．5 B．6 C．7 D．86．（2022秋·江苏南京·八年级统考期末）已知，，，．若n为整数且，则n的值为（）A．43 B．44 C．45 D．467．（2022秋·八年级单元测试）若、为实数，则下列说法正确的是（）A．是无理数 B．有理数与无理数的积一定是无理数C．若、均为无理数，则一定为无理数 D．若为无理数，且，则8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）数轴上点P表示的数可能是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）估计的值（

）A．在2到3之间 B．在3到4之间 C．在4到5之间 D．在5到6之间10．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）下列各数是无理数的是（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）比较大小：___5（选填“”、“”、“”）．12．（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）下列实数：（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中无理数的个数有________个．13．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）比较大小：__________（填“”“”或“”）14．（2023·全国·八年级假期作业）已知整数满足：，则的值为__________；15．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）规定用符号[m]表示一个实数m的整数分，例如：