圆锥曲线常见结论的应用+小题限时训练 高三数学二轮复习

圆锥曲线常见结论的应用(时间：40分钟满分：73分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.[2023·南昌调研]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)，F1，F2为两个焦点，P为椭圆C上一点，若△PF1F2的周长为4，则a＝()A.2 B.3 C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,4)2.[2024·昭通调研]双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a＞0)的焦点到渐近线的距离为()A.a B.eq\r(a2＋3) C.2eq\r(3) D.eq\r(3)3.[2024·凉山调研]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则双曲线C的离心率为()A.2 B.eq\r(2) C.eq\r(3) D.eq\r(5)4.[2024·辽宁朝阳调研]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，若直线AP，AQ的斜率之积为－eq\f(2,5)，则C的离心率为()A.eq\f(\r(15),5) B.eq\f(\r(10),5) C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(5),3)5.[2024·天津南开区调研]过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的一条通径与抛物线y2＝2px(p＞0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p＝()A.eq\f(1,2) B.1 C.2 D.46.[2024·石家庄模拟]开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律，其内容如下：每一颗行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲线eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞n＞0)，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星H的近日点距离和远日点距离之和是18(距离单位：亿千米)，近日点距离和远日点距离之积是16，则m＋n＝()A.39 B.52 C.86 D.977.[2023·内江三诊]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且kPA·kPB＝eq\f(3,4)，则离心率e的值为()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(\r(7),2) C.eq\r(2) D.eq\f(\r(6),2)8.[2024·平顶山调研]已知双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的焦点到渐近线的距离为eq\r(2)，直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点为N(1，2)，则直线l的斜率为()A.－1 B.1 C.eq\r(2) D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.[2023·长沙质检]已知双曲线的方程为eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝1，则()A.渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x B.焦距为8eq\r(5)C.离心率为eq\f(\r(5),2) D.焦点到渐近线的距离为810.[2024·福州质检]已知曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2m2－4)＝1，则下列说法正确的是()A.若m＞eq\r(2)，则C是椭圆B.若－eq\r(2)＜m＜eq\r(2)，则C是双曲线C.当C是椭圆时，若|m|越大，则C越接近于圆D.当C是双曲线时，若|m|越小，则C的张口越大11.[2024·盐城调研]《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x＝eq\f(9,2)的距离的比是常数eq\f(2,3).若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“成双直线”.则下列结论正确的是()A.动点P的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1B.直线l1：2x－y－5＝0为成双直线C.若直线y＝kx与点P的轨迹相交于A，B两点，点M为点P的轨迹上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－eq\f(5,9)D.若M点为P的轨迹上的任意一点，Q(－2，0)，∠FMQ＝60°，则△MFQ的面积为eq\f(\r(15),3)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.[2023·唐山质检]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为eq\r(3)的直线l与C交于A，B两点，则△AOB的面积为__________.13.[2024·成都调研]已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为__________.14.[2024·济南调研]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C交于另一点B，若∠AF2B＝120°，则椭圆C的离心率为________.

圆锥曲线常见结论的应用1.D[设椭圆C的焦距为2c，则c2＋1＝a2，△PF1F2的周长为2a＋2c＝4，解得c＝eq\f(3,4)，a＝eq\f(5,4)，故选D.]2.D[双曲线的一个焦点为(c，0)，一条渐近线是eq\r(3)x－ay＝0，c2＝a2＋3，由点到直线的距离公式，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是eq\f(|\r(3)c－a×0|,\r(a2＋3))＝eq\r(3).故选D.]3.B[因为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，所以eq\f(b,a)＝1，所以双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋（\f(b,a)）2)＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，故选B.]4.A[由题意可知：A(a，0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，则Q(－x0，－y0)，可得kAP＝eq\f(y0,x0－a)，kAQ＝eq\f(－y0,－x0－a)＝eq\f(y0,x0＋a)，则kAP·kAQ＝eq\f(y0,x0－a)·eq\f(y0,x0＋a)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－a2)，又因为点P(x0，y0)在椭圆上，则eq\f(xeq\o\al(2,0),a2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，整理得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(b2,a2)(a2－xeq\o\al(2,0))，可得kAP·kAQ＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－a2)＝eq\f(\f(b2,a2)（a2－xeq\o\al(2,0)）,xeq\o\al(2,0)－a2)＝－eq\f(b2,a2)，即－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(2,5)，所以C的离心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(2,5))＝eq\f(\r(15),5).故选A.]5.C[圆的通径长为直径长等于4，抛物线通径长为2p，则2p＝4，即p＝2.故选C.]6.D[根据椭圆方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞n＞0)，得长半轴长a＝eq\r(m)，半焦距c＝eq\r(m－n)，近日点距离为a－c＝eq\r(m)－eq\r(m－n)，远日点距离为a＋c＝eq\r(m)＋eq\r(m－n)，近日点距离和远日点距离之和是eq\r(m)－eq\r(m－n)＋eq\r(m)＋eq\r(m－n)＝18，近日点距离和远日点距离之积是(eq\r(m)－eq\r(m－n))(eq\r(m)＋eq\r(m－n))＝16，解得m＝81，n＝16，则m＋n＝97.故选D.]7.B[设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，知B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)·eq\f(y2＋y1,x2＋x1)＝eq\f(yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1),xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1)).因为点A，P在双曲线上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)－\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)－\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减，得eq\f(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1),a2)＝eq\f(yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1),b2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(yeq\o\al(2,2)－yeq\o\al(2,1),xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))，所以kPA·kPB＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以e2＝eq\f(a2＋b2,a2)＝eq\f(7,4)，所以e＝eq\f(\r(7),2).故选B.]8.B[因为双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)，所以它的一个焦点为(c，0)，一条渐近线方程为bx－y＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝eq\f(bc,\r(b2＋1))＝eq\r(2)，化简得b2c2＝2(b2＋1)，又c2＝b2＋1，故解得b2＝2.所以双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以xeq\o\al(2,1)－eq\f(yeq\o\al(2,1),2)＝1，①xeq\o\al(2,2)－eq\f(yeq\o\al(2,2),2)＝1，②①－②得，(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))－eq\f(1,2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，化简得(x1＋x2)(x1－x2)－eq\f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③因为线段AB的中点为N(1，2)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，代入③，整理得x1－x2＝y1－y2，显然x1≠x2，y1≠y2，所以直线l的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1.故选B.]9.BC[eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝1的焦点在y轴上，故渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±2x，A错误；c2＝64＋16＝80，故c＝4eq\r(5)，故焦距为8eq\r(5)，B正确；离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(4\r(5),8)＝eq\f(\r(5),2)，C正确；焦点坐标为(0，±4eq\r(5))，故焦点到渐近线y＝±2x的距离为eq\f(|±4\r(5)|,\r(4＋1))＝4，D错误.故选BC.]10.BD[对于A，m＝2满足m＞eq\r(2)，代入曲线C中，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,4)＝1，即x2＋y2＝4，表示以(0，0)为圆心，半径为2的圆，故A错误；对于B，当－eq\r(2)＜m＜eq\r(2)时，－4≤2m2－4＜0，所以4(2m2－4)＜0，故C是双曲线，故B正确；对于C，当|m|＝eq\r(3)时，方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，为焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2eq\r(2)，焦距为2eq\r(2)的椭圆，离心率为eq\f(\r(2),2)，当|m|＝eq\r(6)时，方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1，为焦点在y轴上，长轴长为4eq\r(2)，短轴长为4，焦距为4的椭圆，离心率为eq\f(\r(2),2)，所以当|m|＝eq\r(3)和|m|＝eq\r(6)时，两个椭圆的扁平程度一样，故C错误；对于D，当曲线C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2m2－4)＝1为双曲线时，2m2－4＜0，整理成eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4－2m2)＝1，则a＝2，b＝eq\r(4－2m2)，c＝eq\r(8－2m2)，若|m|越小，则c＝eq\r(8－2m2)越大，因为顶点不变，此时焦点离顶点越远，图象的张口就越大，故D正确.故选BD.]11.BC[对A，设P(x，y)，则eq\f(\r(（x－2）2＋y2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－x)))＝eq\f(2,3)，即9(x－2)2＋9y2＝81－36x＋4x2，化简得eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，故A错；对B，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,5)＝1，,2x－y－5＝0，))消去y得41x2－180x＋180＝0，Δ＝(－180)2－4×41×180＞0，故直线l1上存在这样的点P，所以l1：2x－y－5＝0为成双直线，故B正确；对C，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则k1＝eq\f(y1－y0,x1－x0)，k2＝eq\f(y1＋y0,x1＋x0)，∴k1k2＝eq\f(y1－y0,x1－x0)·eq\f(y1＋y0,x1＋x0)＝eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,0))＝eq\f(5（1－\f(xeq\o\al(2,1),9)）－5（1－\f(xeq\o\al(2,0),9)）,xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,0))＝－eq\f(5,9)，故C正确；对D，易得Q，F分别为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点，∠FMQ＝60°，故△MFQ的面积为5taneq\f(60°,2)＝eq\f(5\r(3),3)，故D错误；故选BC.]12.eq\f(4\r(,3),3)[由抛物线方程知：F(1，0)，则直线l：y＝eq\r(3)(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)（x－1），,y2＝4x))消y得3x2－10x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(10,3)，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝eq\f(16,3)，又坐标原点O到直线l的距离d＝eq\f(\r(3),\r(3＋1))＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)