2025届内蒙古包头市回民中学高考冲刺数学模拟试题含解析

2025届内蒙古包头市回民中学高考冲刺数学模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A． B． C． D．2．函数的图象大致是（）A． B．C． D．3．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（）A．36种 B．44种 C．48种 D．54种4．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（）A． B． C． D．5．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．6．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（）A． B． C． D．7．已知向量，且，则等于（）A．4 B．3 C．2 D．18．已知，复数，，且为实数，则（）A． B． C．3 D．-39．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A．4 B．5 C．6 D．710．已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，则函数在区间上零点的个数为（）A．9 B．10 C．18 D．2011．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A． B． C． D．12．已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为__________．14．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.15．已知实数满足，则的最大值为________.16．已知是函数的极大值点，则的取值范围是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.（1）证明:点在轴的右侧;（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若，求曲线与的交点坐标；（2）过曲线上任意一点作与夹角为45°的直线，交于点，且的最大值为，求的值.19．（12分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；（3）设直线与平面相交于点，若，求的值．20．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.（1）求证：；（2）若，求的值.21．（12分）已知函数，若的解集为．（1）求的值；（2）若正实数，，满足，求证：．22．（10分）已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在满足不等式，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．2、C【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.【详解】∵，，∴函数为奇函数，∴排除选项A，B；又∵当时，，故选：C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.3、B【解析】

分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案．【详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：；如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有，可能都在A、E的右侧，排列方法有；如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧；所以不同的执行方案共有种．【点睛】本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．4、A【解析】

根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.【详解】因为,所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.5、D【解析】

利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间的一个子集为.故选D.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.6、D【解析】

由可得，所以，由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知在上单调递增，注意到，再利用函数单调性即可解决.【详解】因为在上是奇函数.所以，解得，所以当时，，且时，单调递增，所以在上单调递增，因为，故有，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.7、D【解析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．【详解】因为，且，，则．故选：．【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．8、B【解析】

把和代入再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m值．【详解】因为为实数，所以，解得.【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.9、B【解析】考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：Si是否继续循环循环前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后当i＜5时退出，故选B．10、B【解析】

由已知可得函数f（x）的周期与对称轴，函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，作出函数f（x）与g（x）的图象如图，数形结合即可得到答案.【详解】函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数等价于函数f（x）与g（x）图象在上交点的个数，由f（x）＝f（2﹣x），得函数f（x）图象关于x＝1对称，∵f（x）为偶函数，取x＝x+2，可得f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函数周期为2.又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，且f（x）为偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，g（x），作出函数f（x）与g（x）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点，即函数F（x）＝f（x）在区间上零点的个数为10.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.11、C【解析】

将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则，又，故，所以，.故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.12、C【解析】

由题设条件，可得函数的周期是，再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值，即可得到结论.【详解】由题意，，则函数的周期是，所以，，又函数为上的奇函数，且当时，，所以，.故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

分别用1和进行分类讨论即可【详解】当第一个因式取1时，第二个因式应取含的项，则对应系数为：；当第一个因式取时，第二个因式应取含的项，则对应系数为：；故的展开式中的系数为.故答案为：3【点睛】本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题14、【解析】

利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则，故有，解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.15、【解析】

作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案.【详解】画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点，目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，此时的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题.16、【解析】

方法一：令，则，，当，时，，单调递减，∴时，，，且，∴在上单调递增，时，，，且，∴在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，∴时，，，所以，这与是函数的极大值点矛盾．综上，．方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，由知须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点的横坐标即可证出；（2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由与的面积相等列式，即可解出直线的斜率．【详解】（1）由题意，得，直线（）设，，联立消去，得，显然，，则点的横坐标，因为，所以点在轴的右侧．（2）由（1）得点的纵坐标．即．所以线段的垂直平分线方程为：．令，得；令，得．所以的面积，的面积．因为与的面积相等，所以，解得．所以当与的面积相等时，直线的斜率．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．18、（1），；（2）或【解析】

（1）将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线与的交点坐标；（2）由直线的普通方程为，故上任意一点，根据点到直线距离公式求得到直线的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.【详解】（1），.由，得，曲线的直角坐标方程为.当时，直线的普通方程为由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）由题意知直线的普通方程为，的参数方程为（为参数）故上任意一点到的距离为则.当时，的最大值为所以；当时，的最大值为，所以.综上所述，或【点睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19、（1）证明见解析（2）（3）【解析】

（1）取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证；（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解；（3）设,,则,求得,,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.【详解】（1）证明:取中点为,连接,因为是等边三角形,所以,因为且相交于,所以平面,所以,因为,所以,因为,在平面内,所以,所以.（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,因为在棱上,可设,所以,设平面的法向量为,因为,所以,即,令,可得,即,设直线与平面所成角为,所以,可知当时,取最大值.（3）设,则有,得,设,那么,