导数数列结合

林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理导数数列结合1电fM=噜u,曲线y=/(X)在点(1/(1))处的切线与囱城2x+y+1=0垂直.⑴求G的值；(2)若VjrE［】，*8),f(jr)EmQr-1)恒成立卜求m的范国工(3)求证：由的2.已知函数/(工)=。工+：+仪优)口)的图象在点(1/(1))处的切线方程为y=x-1.(1)用g表示出b，c；⑵若f㈤*Inx在［1,+s)上恒成立,求n的取值范围.(.3)证明二工+1+1+…+2Aln{n"F1)+—-—(tiN1)«z3 .J?fh3..已知函数ra)=ln(l+x)+^x2 >0).(1)若门幻>。对比£(0,+b)都成立.求。的取值范围:(2)已知e为自然对数的底数，证明匕V?i£N"h^/e<(1+ (1+之)…<RT.已知函数r(x)=口，+xlnxfa€R),<1)若函数/(切在区间［e,+8)上为增函数,求Q的取值范围：<2)若函数八外的图象在点工二u 为自然对数的底数)处的切线斜率为"且kEZ时，不等式#0-工)</a)在nE(l,+8)上也成立，求k的最大他；(3)当之4时.证明：(mnn)m>(n7nm)rt..已知函数f(x)=Inx—ax2+(2—d)x.U)若函数f(x)在口+8)上为减函数，求0的取值范围；(2)当口=1时,g(工)=x2-b.当工［停工］时.fC琦与g(公有两个交点，求实数b的取值范围：(3)证明工捻+a+2+a+…+ >tn(n+1)(VnEN*)*.已知函数f(x)—工一：一Hnx.<1)若fG)无极值点，求&的取值范围,(2)设gCr)=*+：-Qn工)工当口取(1)中的最K值时.求g(X)的最小值；⑶证明不等式：以品广|口^5£灯).7,设函数/（x）=士-Q1n（l+，），g（x）=in（l+x）-bx.（I）若函数八七）在H=0处有极值，求函数八X）的最大值.（2）①是否存在实数乩使得关于I的不等式g（幻<0在（0,+8）上植成立?若存在，求出b的取值范围:若不存在，说明理由.②iiE明：（n=U/»）,&已知函数人力=：始+。必一由1+1（#£R，n,B为实数）仃极值.且I在工二1处的切线与直线，-y+1=0平行.（1）求实数q的取值范围.是否存住实数电使等图数/G）的极小值为1,若存在，求出实数我的值：若不存在，清说平整岁<3）设函数@（幻=""」方马：试判断函数gO）在（1,+8）上的符号，井证明；1皿*乂1+3££3：5€明）.9,已知函数〃G=1口(铲十口(口为常数)是实数集R上的奇函数.(1)求实数Q的值：(2)讨论关Fx的方程Inx=fWtx2-2ex+m)的根的个数:(3)证明tEjjD+晒::T)+…+ <“；；；；：飙WN*#32),10.已知函数/(>)-e1-kxxeR.(1)若k=e,试确定函数/①)的单调区间；(2)若A)0.且对于任意某ER,，(闺)>0恒成立，试确定实数k的取值范围：(35设函数F(*)=/(0+/(-幻，求证：F(l)F(2).»F(n)>(铲x+2)KnEN)1】.设施数/(幻=/+如鼠大+1).其中力W(I)当心时.判断函数汽动在定义域上的单调性,(2)求函数/(工)的极值点：(3)证明对任意的正整数n,不等式伍(：+1))*一*部成立.参考答案，仅供参考I.I.⑴I +Inx(x+1)-(x4-a)lnxF(x) 由题设ra）由题设ra）=g--=[■所以1十口=1,a=0,££(2)f(M)=署，Vxe(t4-oo)t/(x)<m{x-1),即Inx<m(m-5).设g(%)-\nx-m(x-口，即Vxe(1,+⑹田G)<0,，㈤=\m(l+力冲？①若mw0,则g*(x)>0，gM>g(l)=CK这与题设g(x)<0矛盾;②若m>0,方程一mx*+h-m=0的判别式△二1一4m工当AEO.即m之士时.g\x）＜0.2 口Q饼557619246，gO）在（0,十8）上单调递减;，93）工©。）=0,即不等式成立.当0＜01＜；时，方程—mx2+1一wt=0,U其根1+dl-4m-2m>1+dl-4m-2m>1j皿= 7.一~>口心=2m当工E（1,不）/（工）＞0,g（x）单调递增.gO）＞g（l）=0.与题设矛盾.综上所述『m＞p（3）由（2）知，当1时，771=:时丁加＜1（工一J成立.^k^k4ft2-11绛〜所以

2k*1 1/2fc+12k-1ln2fr-1C2^2fc-I-2k+1-[ln(2k+1)-】n(掠-1)14 4片4(ln3lnl)<4xi2-r40n5一哂。依-「(lnC2n+1)-ln(2n-1))< 5~~ti=lIn\2n1,1<),4JJ(rEN).2.C1)在题意得解得e二;C2)rti fegQ)=/(则gC0=a故=]一,则有磔田卯五夫0k0.lr(i)=a-b=i>—2fLL/(x)=ax4 +1—2a»令x)-tnx=ax+-——-+1—2o—ln*x£[1,+8),，一 口一1 1禽，一片一(口-1)g⑺ ”“x2X- /g_11.If”工1)\x a)⑴当0＜口"若M时，詈Al.jg'OQvO,g(x)是减国凯所以g(釐)vg(l)=CL即f(x)<Inz,即f(x)>Inx在［lp+«)上不恒成立.(ii)当q之三时,—<E2a若则g,O)>0.gO)是增函数，所以gQt)>g(l)=0,即f(x)>Inx,故当x>1时，f(x)>Iruc-综上所述，所求口的取值范围为原+-(3)证法一,直接证明由(2)知：当九仃£»当1时，4令或:牛，有当1时，4令或:牛，有k\a(k+1)-Ink<-(i+A+；)**=L2,3.…以将上一述花个不等式依次相加得In.+1)<扛&+，+・・,+?+ ；Z\zJn/上1mt1)整理得1+k+m+…+-aln(r+1)+w? 23n 2(ti+L)证法二才用数学归纳法证明M)当打=1射，左边=1.右边=ln2+*<l.不等式成立.5)假设n:以k之LAEN")时，不等式成立，就是+泊+…+卜那么11 k11+_+_+^+_+__>in(fc+1)+^-^+—=小1)+选务由(2)知¥当q之g时,^/(x)>lnx(x>I).令Q=%有/㈤=2("；)之加”(工之1)，令T令1/^4-2Jt+lxk+2 , 、 / 、2(六！一—)"n一= +2)Tn-D所以 QQ群5s76192461口"+1)+2伍十1)*1n"+»+乖较J'所以-+*—4*—+■♦•+1+>In(4+2)+ ——.3kK+1 2(A+2)就是说,当汽=土+1时，不等式也成立.根据(口和(ii),可知不等式对任何TIEN*都成立.3.（1）因为/（工）=ln（l+工）+"之一―其定义域为（一1,十8）,所以ra）=i-i=驾衿①当口=0时,r（幻=一★,当尤6（0,+8）时，f（x）＜0,则/（0在区间（0.+8）上单调递减，此时，f（x）＜/（O）=0,不符合题意.②当0＜。＜1时，令r（x）=0,得与=0,七二—；＞0，当xw（o‘?）时，r（x）＜o,则在区间上单调递减，此时，fM＜/（o）=o不符合题意.③当也=1时./1«=占.当工£（0.+8）时.rG）＞。.则fM在区间（0,+8）上单调递增，此时，a）A/（o）=o,符合题意.④"in＞1时，令/'（工）=o.律h[=0.x2=＜0./H£（6+8）时./t（x）＞0,则六*）在区间（。,+8）上单调递增，此时=0,符合愚意.踪上所述，Q的取他范困为[1.+8）.(2)由(1)可知，当Q=0时，/(均<0对,6(0+8)都成立，即ln(l+xj<xMX£(0,+8)都成立.所以ln(l+2)+ln(l+)+…+ln(l+£)<%+/+*”+£即]n[0+3(1+9…(1+勤廉覆&寡由于FEN・，则署=/¥|+4=1.所以In|(1+*)(1+,)…。+/)_]VL所以(1+3(1+*)…(1+3<©•由(J)可知，当Q=1时./(X)>口对HW(0,+00)都成①,即X-\xZ<ln(l+工)对mE(0,+g)都成立.所以G+城+…+日后G+摄+…+5)<E([+3)+加(1+*)+…+m(1+分即喀制[-十-卜叫】7"十分・(“*)卜舞舞6n^+4n^^3n—1Tu-i12tt由]F由]FEN,则 不——十0睛一310t(1?_1) 6n3_1lln3 ~12nJ2所吗<ln](l+»(l+/,.(l+£)].所以依<(1+/)(1+1)产(1+W).所以mV(1+ (1+W)…(1+£-)<e*4(O因为f{x}=ax+xlnrT又函数/(为在区间叵+00)上为增函数，所以当工之2时，f\x)=a+l+lire>0恒成立.所以a>(―1—Inx%*=—1—Ine=-2,即口的取值范围为［―2,+8).(2)因为f(，)=口，+;dn，(QER),所以rCx)=。+Ini+工，口)在点工二日(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.fr[e}=3»即口+1牌+1=3,所以q=1.当工>1时，x-1>0,故不等式蚁工-1)</(x)o卜<詈,即对任意丫>1恒成立,令以#)=誓，则g，(町=松苗.令人0)二万一1曲-23>1),»Jh'M=1一[=三>0=Mr)在Q,+8)上单调递增，因为的二一贯副嫩般/，4>。，所以存在与E(3,4)使双阳))=3,朗芍1<汇<勺时.h(x)<0.即g\x)<0.当工)科时，h(x)>0i即，所以小幻在(1人)匕单调递减，在(见.+8)卜一单调递增.o-2=Or即In工0工必-2,如C+*}_用口+如T)_ £(34).如一1知T 如一1所以A<g(外mm=工0口及£工，即々max=工(3)由(2)知.@(幻=智是4+8)上的增函数，所以当3%四上>工±型二整理，n-1 hi-1得mnlnn+mlnm>m.nlnm+nlnn+n—因为!i>m.mnlm+ndnm>mnlmn+nlnfit即ImfM+lnmm>lnm^n+Imi% >ln&n™iin),n^m™1>jnmnnrt, >(nmm)n.5.(1)因为八幼在［L+8)上单调递减，所以roo在口,+8)匕恒成立，所以r5)=：—25+(2—G=-3+1,7X0在［1,+8)上恒成立，所以口之;在［1,+8)上恒成在，因为G)=1，所以n之L(2)当。=1时.,a)=lnx-炉+工，因为“幻与白⑺有两个交点所以Irw-x2+工=/-2x+b在售W上行两相异根.所以b=Inx-2x2+3心所以令T(r)=Inr-2xz+3Xi所以T'(h)=：_4,+3=—'"+?匚口,所以「G)>0时，^<x<l,所以丁。)在01)上单调递增,所以「(幻<0时,1<工<，所以TQ)在(L2)上单调递减，所以工二1处有极大值也是最大值，"1)=1，7(|)=1-^2>0,7(2)In2—2<0,所以1-E2E5<1.(3)由(1)知当q=1时，/(幻在［L+8)上单调递减，所以人工)M/(l)=0当且仅当塔逐酉班九解后成立，即InxVx2—X在(11+8)上恒成立.令震=平>1(neN*)-所以In——<—所以In(?i+1)—Irti<—?i=l时,ln2—tad<〃=2时，ln3-In2<r=3时，］n4—【门3<券n=n■时，ln(n+1)-Inn<—累加可得ln(n+l)v捻+摄+&+橙+…+胃(VnwN)

16.⑴由题意/,㈤=1+*一詈号。由于/（工）无极值点,故P—"+1皂。在（0,+8）恒成立即口W工+：■X6（0,+8）恒成立,又工十工之2(王=1取等号)»故(x+B=2,1 1 或/mm所以口的取值范闱是口与乙X3-2Tli1K-1(2)勺cr=2.g(x)=x+i—X3-2Tli1K-1或幻-1-之一21rl广：设立(幻—r2-2x\tvt-1.kr(x)=2h—21n,—2—2(r—1—加度)，下证：跖量三T-1.设m(z)=Inx-x-l-1,mr(r)=--1=-tHW(0,1)时.m'(H)>0.m(x)单斓递增.x€(1,+s)时,也'(m)<0.m(x)单调递减『所以m(K)gm(l)=OiBPInx<r-li所以川(刈兰0,故Mx)在｛0,+8)单调递增，又k(l)=0,所以;一“)时，即0,，阖赌黜挑髀减,工E[L+°°)时，此(工)>0, 均单居递增,gW>gW=2*故©O)的最小值为2：（3）由（2）知力,>1时，x+--（lax）2>2t土+，2）（加工产，（C-q）>Qn，）,v'N一京>lnx,取工iE4行-舄祟即焉司若〉呜条故2n+2FT122n+2FT1In—= +in—= 421+1 22+1/2口+1/2口+12l+l2?+l2n-l+l=lnV'2l+1'2^+1'23-i-1'''2n+1（D由已知得尸一言，加£口困数人均在工=0处有极值.所以（（0）=占一3=口，即曰=l所以r⑺二上一W1+6所以r⑺二击一士=舟・当工£（―1。）时，/⑺>o,当HW（0,+8）时，r㈤H0・洛'单调髭减.所以函数八乃的最大值为r（o）=o.（2）①由已知得©（动的定义域为（-L+8）,8（公二士」上（i）若BN1,则工£［0,+8）时，"（幻=占一七Ed所以gCO=ln（l+工）一匕》在（0,+co）上为减函数，所以gW=ln（l+工）一卜工<g（0）=0在（0,+8）上恒成立.}*fc0,则jcE［0,+8）时.g'G）= —b>0.所以gG）=ln（l+工）一加r在［0,+8）上为增函数，所以gM=ln（l+x）-bx>g（0）=0,不能使g（x）V0在（0,十《0上恒成立.（iii）若0<b<l.则"Cr）二上」h=0时，某=，-1*当工£隙-i）时，厅（分》0,所以g（x）=ln（l+幻-外在［。t―1）上为增函数.此时，g（jr）=ln（l+k）—bx>g（0）=0，所以不能使g（G<o在（。,+8）上恒成立.综上所述，b的取值范围是［1,+oo）.(1+34*令』=£11金(1+34*令』=£11金取鬣=-：-—<in(14--n1+n一山（1十三）<—————+1ti(炉+i加<0(n—23…).因此xn</_[<…<勺=去又因为Inn=X屋Dnk-ln(k-1)]+Ini二工二：In(1+目，8.(()因为/(工)=;jc*+ax2-历r+1.所以「(上)=好+2(ih-瓦山题意，所以((1)=1+2。一方=1*所以b=2n. ①因为外功有极值.所以方程尸口)=x2+2ax-b=Q有两个不等实根.所以A=4序+4b>0,所以出十^〉。.……②由①®可得，az+2a>0.所以。<-2或q>0.故实数a的取值范围是0E%—2)U(0,+8).(2)存在.由(I)可知r(#)=N+2ax-bt令/(x)=0.所以Xi二一以一7必+2&X2=-a+y/a2+2a,且Q£(—8『-2)U(0,+8)备x (一8"。 X) (X1^2) X2 (x2t+™)/'(工) + 0 - 0 +f⑺ 的调增 极大值 单调减 极小值 单调噌所以复=冷时，/(刈取极小值，Wf(xz)= 4ax1™2axz+1=1,所以犯n0或+3ax2-60=0.若物=0,即—a+1谒+2口=0・贝(J。=0(舍).若可十3ax?-6口=0,丈『人)=。,所以弓+2奴工一2日二0，所以口小一4以二0一因为口丰0,所以益=4,所以—口―4度+元=4r所以□之—gv—2.所以存在实数1使得函数八幻的极小值为L

21nxt即gCr)=x--2Jnx.故，g'G)=1+ 1 =-^―>口，则21nxt即gCr)=x--2Jnx.故，g'G)=1+ 1 =-^―>口，则以外在(L+8)匕是增函数，故g(£)>g(l)=0,所以.g(x)在〈1.+8)上恒为正.当口EN•时,—>1>

n，(党设菱=三二则=士二一如山

nn+1n—1+ 1+--2|ln(Ti4-1)—Inn]=L十~—2[ln(n-fl)—Inn1>0.即,1-I--ly>2pn(n+1)\—IxmL上式分别取抑的值为1.2,3,…*5—1)(n>1)累加得:>2[ln2-】nl+In3-ln24-1口4-ln3H 1-Inn—In(门—l)]fn>L所以1+2(?+：+?+,•，+ >2lnn*n>1♦所以2(1+w+1+i+…4—-+—)A2Inm+14—,n>1\ 2 3 4 n-1nx n.所以1+g+]+：+…+—y+工AInn+；(1+工),Ji>I.即,Inn+ji1+;)<n>l.又当黄=工时，Im+30+0=£：=11故所+H1+》m£Up当且仅当川=1时取等号.因为/'(-幻=-/(幻，所以加(广工+区)工-加(炉+口)，所以小，+口=靛X=d(£-*+e］+n)=0.所以n=0.(2)由⑴知所以】nr=火滓-2叱+m)<=今=(义-+m-e£f令h(x)—乎tp(x)=(x-e);4-m—e2.h'(x)= 所以也(幻在⑭启)上递增，©+8)上递减，所以出G)gx=Me)二%平(£)为二次函数.田侬母在递J4,©+8)」二递增，所以甲=m-/・TOC\o"1-5"\h\z当也一/>2时,即0>/十三时,无解：c e当血一/=：时*即/71=d+：时T有一解;当血一/<'u寸,即巾<M+L有二解、e e(3)i正明］由(2)如当m=卡41时ptr)==(M—曰尸+1*甲a)min=m-ez=lt此时甲5)e加>做，)皿恒成立.所以h(x)〈平(x)mui=1,即竽<i*I门及<X恒成立，所以当n上2时育ln{zi2—L)<n2-1,所以叱［“< =1一\n(22-1)ln(32-l) 】n(r?-l) fl1\ +--手+・・・+-<(门_1)_(*+…+耐〈(-一小+去…岛5小("i)GAr2n2-n-12(n+1)J0+(I)由#=都得f(jc)-eT-exf所以r(x)=F-巳由f'MAo得宜>l故，(行的单调递增区网是(L斗8)，由「(幻vo得工<1.故/(*)的单调递减区间是(-8」).⑵由/(I一#l)=f(13),可知/。3)是偶函数.于是/(UI)>0对任意her成立等价于/(x)>0对任意XSO成立由得箫=In1①当k仁(0,1］时।f(x)=『-A>1—在之口口>0),此时了(工)在［0,+8)上单调递增，故六工)=f(0)=l>0,符合题意②当kE(L+8)时.Ink>0.当工变化时ra),f(x)的变化情况如下表！x(OJnfc)Ink(Ink,+8)f(x)一0 +/(x)单调递减极小值单调递增由此可得.在0+8)上.f(x)>/QnJt)=A一MnJt依题意,k-kink>0,又k>I.所以1<k<d综合①.②，得实数上的取值范围是&<心/3=fM+汽-X)=小+3一'所以FCrjrCii)=四+=+R-X+2+册-4+>钓+稣+工所以>背包+工F{2}F(n-1)>k+2Ff加⑴+工由此得.—gfF=[rdy^HTOF^一 可利川川1»>(砂句+2]".(3)因为(3)因为f(OF(2)-F(rt>>((*+,+苕葭EM*.11.(1)函数外幻=#+b]n(x+1)的定义域为(一L+8).b2x2+2x4-b令或外工2必+2m+氏则gCO在（一]，+8）上递增,在（一1,一||卜一速成%）皿=g（_勺=_]+七当6》洒，gQ）min=W+5>0,g（x）=2必+2h+6>0在（-1,+co）上恒成立.二f'（x）>0,即当力时，函数八外在定义城（一L+«0上单调递增.（2）分以下几种情形讨论：①由（1）知当6>；时函数f无极值点，②当6=3时，片幻=冬色，:工4-L-捌，f（x）>0rHE（-1+8）时，尸（约）0,二h=;时,函数打工）在+上无极值点.③当6时,解r（幻=。得两个不同解-1―Ji—2b_1+V1—X1= 2 &= 2 当b<0时，_[_Qi=2b —1十—2b必= 2 <-1亚= j 1上勺£（―1.+8）修ZE（-1,十8）,此时fM在（-L+8）上有唯一的极小值点过=士尸.当时.工力亚e（-L+8）,ra）在（-141（%+⑼都大于0,rex