新高考数学二轮复习培优专题09 球体综合问题 小题综合（解析版）

专题09球体综合问题小题综合一、单选题1．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）一个圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥内部最大的球的表面积为SKIPIF1<0.若该圆锥的轴截面的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先求出内切球的半径SKIPIF1<0，依题意可得圆锥的内切球和外接球的球心是同一个点，且球SKIPIF1<0的半径为该等边三角形外接圆的半径，设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，最后根据球的表面积公式计算可得.【详解】解：设该圆锥内切球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为该圆锥的轴截面是等边三角形，所以其内切球和外接球的球心是同一个点，即该等边三角形的中心，则球SKIPIF1<0的半径为该等边三角形外接圆的半径，设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0.故选：D.2．（2023·广东广州·统考一模）已知三棱锥SKIPIF1<0的四个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据给定条件，证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再确定球心O的位置，求出球半径作答.【详解】在三棱锥SKIPIF1<0中，如图，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点D，连接OD，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因此球O的半径SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0.故选：A3．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折起，当四面体SKIPIF1<0体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，四面体SKIPIF1<0的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解.【详解】不妨设菱形的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球半径为SKIPIF1<0，内切球半径为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此时四面体SKIPIF1<0的高最大为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递减，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最大，最大体积为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，以四面体的顶点构造长方体，长宽高为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以内切球的表面积为SKIPIF1<0，所以内切球和外接球表面积之比为SKIPIF1<0，故选:C.4．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）如图所示的多面体由正四棱锥SKIPIF1<0和三棱锥SKIPIF1<0组成，其中SKIPIF1<0.若该多面体有外接球且外接球的体积是SKIPIF1<0，则该多面体体积的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据求得体积可得其半径SKIPIF1<0，分析可得四棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心为底面中心SKIPIF1<0，根据等体积法可求得点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，进而分析可得三棱锥SKIPIF1<0的高的最大值为SKIPIF1<0，进而可求多面体体积的最大值.【详解】设正四棱锥SKIPIF1<0的外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∵正方形SKIPIF1<0的边长为2，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为四棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的是以边长为2的等边三角形，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由三棱锥SKIPIF1<0的体积可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由题意可知：点SKIPIF1<0在四棱锥SKIPIF1<0的外接球的球面上，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0时等号成立，可得三棱锥SKIPIF1<0的高的最大值为SKIPIF1<0，∴三棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，故该多面体体积SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】关键点定睛：（1）求出球的半径结合正方形的边长分析得球心为底面中心；（2）根据几何性质SKIPIF1<0，分析可得三棱锥SKIPIF1<0的高的最大值.5．（2023·浙江·模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，鳖臑SKIPIF1<0的外接球的体积为SKIPIF1<0，则阳马SKIPIF1<0体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【分析】设SKIPIF1<0的外接球半径为r，根据鳖臑SKIPIF1<0的外接球的体积即可求得r，再根据SKIPIF1<0的外接球的半径与三棱柱SKIPIF1<0的外接球的半径相同可得到x，y的关系式，再根据四棱锥的体积公式结合基本不等式即可求解．【详解】设SKIPIF1<0的外接球半径为r，则SKIPIF1<0的外接球的体积为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．又阳马SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，所以阳马SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0．故选：B．6．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）如图1，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0，使二面角SKIPIF1<0的正切值等于SKIPIF1<0，如图2，四面体SKIPIF1<0的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，进而证明SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，再结合题意得SKIPIF1<0，进而根据余弦定理得SKIPIF1<0，再求几何体的外接球的半径，表面积即可.【详解】解：如图，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为，在图1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，因为二面角SKIPIF1<0的正切值等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0两两垂直且相等，所以，四面体SKIPIF1<0的外接球的半径即为以SKIPIF1<0为棱的正方体的外接球半径，所以四面体SKIPIF1<0的外接球的半径SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以，该球的表面积为SKIPIF1<0故选：B7．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】结合球和正六棱锥的性质求出体积的表达式，令SKIPIF1<0，求导，利用函数的单调性求得取最值时的条件，进而求解即可.【详解】由题意可知：六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上.易知当六边形为正六边形时，其面积最大.要使六棱锥的体积最大，则该六棱锥为正六棱锥.不妨设正六边形的边长为SKIPIF1<0，六棱锥的高为SKIPIF1<0，则正六边形的外接圆的半径为SKIPIF1<0.由球的性质可知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以正六棱锥的体积SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取最大值，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值，此时SKIPIF1<0，所以正六棱锥的侧棱长SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）我们把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0与底面圆SKIPIF1<0都在同一个球面上，若球的表面积为SKIPIF1<0，则圆锥的侧面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意，可判断得圆锥底面圆的半径等于圆锥的高等于球的半径，由球的表面积公式求解球的半径，结合圆锥的侧面积公式求解即可.【详解】由题意，设直角圆锥SKIPIF1<0的底面圆的半径为SKIPIF1<0，则直角圆锥SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，又在直角圆锥SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0与底面圆SKIPIF1<0都在同一个球面上，所以球心为圆锥的底面圆心SKIPIF1<0，设球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为球的的表面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以圆锥的母线长为SKIPIF1<0，所以圆锥的侧面积为SKIPIF1<0.故选：C9．（2023·辽宁·校联考模拟预测）在平面中，若正SKIPIF1<0内切圆的面积为SKIPIF1<0，内切圆与外接圆之间的圆环面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在空间中，若正四面体SKIPIF1<0内切球的体积为SKIPIF1<0，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设正四面体SKIPIF1<0的内切球与外接球的半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，先利用等体积法求出SKIPIF1<0，再结合勾股定理求出SKIPIF1<0，再根据球的体积公式即可得出答案.【详解】设正四面体SKIPIF1<0的内切球与外接球的半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，由等体积法得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，正SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：B.10．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）一球的表面积为SKIPIF1<0，它的内接圆锥的母线长为l，且SKIPIF1<0，则该内接圆锥体积的取值范围是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用球的表面积公式求球的半径，根据圆锥的高的大小分情况利用圆锥的母线长表示圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式求其体积，可得体积的函数表达式，再利用导数求其范围.【详解】设球的半径为SKIPIF1<0，圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，因为球的表面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，过圆锥的轴作球和圆锥的截面可得截面图如下：所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆锥的体积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，过圆锥的轴作球和圆锥的截面可得截面图如下：所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以圆锥的体积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，也满足SKIPIF1<0，所以圆锥的体积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0，所以内接圆锥体积的取值范围是SKIPIF1<0同理可得内接圆锥体积的取值范围是SKIPIF1<0，故选：B.11．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，球O的表面积为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用球的表面积公式及直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，结合勾股定理及重要不等式，再利用棱锥的体积公式即可求解.【详解】设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆的半径为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0成立所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0.故选：D.12．（2023·福建福州·统考二模）已知三棱锥SKIPIF1<0的四个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为球的半径，结合勾股定理可得SKIPIF1<0，进而求解.【详解】过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆半径），则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为球的半径，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0.故选：C.13．（2023·湖南·模拟预测）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积与三棱锥SKIPIF1<0的体积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】证明SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为直角三角形后可得SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0为外接球的球心，SKIPIF1<0为半径,分别计算外接球的表面积与三棱锥SKIPIF1<0的体积即可.【详解】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球的圆心,半径SKIPIF1<0，所以球的表面积为SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：D14．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等边三角形，若三棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据直三棱柱的体积得到SKIPIF1<0，根据直三棱柱外接球半径的求法得到SKIPIF1<0，然后构造函数，求导得到SKIPIF1<0的最小值，即可得到外接球表面积的最小值.【详解】设直三棱柱的高为SKIPIF1<0，外接球的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.15．（2023·山东济宁·统考一模）已知直三棱柱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的内切圆圆心，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0π C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】计算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0分别作平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的垂线，两垂线交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为三棱取SKIPIF1<0的外接球球心，计算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用勾股定理得到SKIPIF1<0，计算表面积得到答案.【详解】如图，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点且SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的内切圆圆心，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的外接圆圆心SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0分别作平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的垂线，两垂线交于点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为三棱取SKIPIF1<0的外接球球心.在SKIPIF1<0中由余弦定理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的外接圆半径分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以三㥄锥SKIPIF1<0的外接球表面积为SKIPIF1<0.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查了线面垂直，三棱锥的外接球表面积，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和转化能力，其中，确定过圆心的垂线交点是球心再利用勾股定理求解是解题的关键，此方法是常考方法，需要熟练掌握.16．（2023·广东梅州·统考一模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两个全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则此刍甍的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据给定条件，求出点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答.【详解】取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0中心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，根据题意可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，则等腰梯形SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，根据几何体的结构特征可知，刍甍的外接球的球心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0，正方体SKIPIF1<0的外接圆的半径SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线（含点SKIPIF1<0）时，

视SKIPIF1<0为非负数，若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线（不含点SKIPIF1<0）时，

视SKIPIF1<0为负数，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则刍甍的外接球的半径为SKIPIF1<0，则刍甍的外接球的表面积为SKIPIF1<0，故选：C.17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】作出图形，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由三角形相似得到SKIPIF1<0，得到圆锥的表面积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由导函数得到当SKIPIF1<0时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，作出圆锥的外接球，设外接球半径为SKIPIF1<0，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积.【详解】设圆锥的顶点为SKIPIF1<0，底面圆的圆心为SKIPIF1<0，内切球圆心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以圆锥的表面积为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取得最小值，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设圆锥的外接球球心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故其外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.二、填空题18．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知SKIPIF1<0，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】分析出球心的位置，得出半正多面体所在的正四面体的高，求出点SKIPIF1<0到正六边形所在平面的距离，到正三角形所在平面的距离，即可求出当球的表面积最大时，该球的半径，进而得出表面积.【详解】由题意，半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，SKIPIF1<0，当球的表面积最大时，该球的球心即为半正多面体所在正四面体的外接球的球心，记球心为SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,该半正多面体所在的正四面体的高为：SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到正六边形所在平面的距离为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由几何知识得，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴当球的表面积最大时，该球的半径为SKIPIF1<0，表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.19．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.若三棱锥SKIPIF1<0的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据勾股定理可得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，从而求出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中利用余弦定理求出SKIPIF1<0，根据勾股定理可判断SKIPIF1<0，从而得知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而可将三棱锥SKIPIF1<0补为直三棱柱SKIPIF1<0，外接球球心为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，根据几何关系即可求解.【详解】由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故可将三棱锥SKIPIF1<0补为直三棱柱SKIPIF1<0，如图所示，则直三棱柱SKIPIF1<0的外接球即为三棱锥SKIPIF1<0的外接球.设SKIPIF1<0外接圆圆心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0，则直三棱柱的外接球球心为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为外接球的半径.在SKIPIF1<0中，根据正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以该外接球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.20．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿边AC翻折，使点D翻折到P点，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先证明出SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，判断出三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心SKIPIF1<0必在直线SKIPIF1<0上，设外接球的半径为SKIPIF1<0，利用球的性质列方程求出SKIPIF1<0，即可求出三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积.【详解】在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，所以梯形ABCD为等腰梯形，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0作出其外心SKIPIF1<0如图所示：所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，由球的性质可知，三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心SKIPIF1<0必在直线SKIPIF1<0上.设外接球的半径为SKIPIF1<0，由球的性质可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.21．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知三棱锥SKIPIF1<0的四个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据题干所给条件求出SKIPIF1<0，再由勾股定理求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，将三棱锥SKIPIF1<0补成正三棱柱SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的外接球即正三棱柱的外接球，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的体积.【详解】解：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，将三棱锥SKIPIF1<0补成正三棱柱SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的外接球即正三棱柱的外接球，外接球的球心SKIPIF1<0为上、下底面的外接圆圆心的连线SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设外接球的半径为SKIPIF1<0，下底面外接圆的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所求外接球的体积为SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<022．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，各顶点均在以SKIPIF1<0为直径的球面上，SKIPIF1<0，则该球的体积为______.【答案】SKIPIF1<0【分析