5.1.3基本计数原理的简单应用课件高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第五章

基本计数原理

5.1.3基本计数原理的简单应用

1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两个计数原理计数解决问题.组数问题一例1用0，1，2，3，4五个数字，(1)可以组成多少个三位数字的电话号码？(2)可以组成多少个三位数？(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝125(种)，即可以排成125个三位数字的电话号码.(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)，即可以排成100个三位数.(3)可以组成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法.因而共有12＋18＝30(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.常见组数问题及解题原则(1)明确特殊位置或特殊数字是我们采用分类还是分步的关键.一般按特殊位置(通常是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的方法分步完成.如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解.(2)要特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的(如数字“0”不能排在首位)，要善于挖掘，排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.思维升华(1)用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为______，有重复数字的三位数的个数为________.训练1648252用0，1，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个).(2)有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，2，从中任取4张，可排出的四位数有________个.14根据题意，分三类：①取出3张1，1张2，可组成的四位数是1112，1121，1211，2111；②取出2张1，2张2，可组成的四位数是1122，1212，2211，2121，2112，1221;③取出1张1，3张2，可组成的四位数是2221，2212，2122，1222.所以可排出的四位数共有4＋6＋4＝14个.抽取与分配问题二例2(1)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________.不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，剩余一人只有一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2(种).2√(2)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有A.360种

B.420种

C.369种

D.396种法一

(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)；第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)；第四类，有一个班级去甲工厂，其他班级去另外四个工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种).综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种).法二

(间接法)先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案.思维升华选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树形图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.(1)从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有A.208种

B.240种

C.180种

D.96种训练2√由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法，后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案.(2)一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有________种.37所有可能的情况有43＝64种，其中最大值不是4的情况有33＝27种，所以取得小球标号最大值是4的取法有64－27＝37种.涂色与种植问题三例3如图所示，要给“创”、“新”、“设”、“计”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？创、新、设、计四个区域依次涂色，分四步.第1步，涂“创”区域，有3种选择.第2步，涂“新”区域，有2种选择.第3步，涂“设”区域，由于它与“创”、“新”区域颜色不同，有1种选择.第4步，涂“计”区域，由于它与“创”“设”区域颜色不同而可与“新”区域颜色相同，有1种选择.所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(种).思维升华涂色与种植问题的四个解答策略(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算.(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算.(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类.训练3(1)(链接教材P181复习题五B组T4)如图所示，一圆形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为依次种A，B，C，D4块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C与A所种的花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法.由分类加法计数原理知，不同的种法种数为36＋48＝84.A.96 B.84

C.60 D.48√(2)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为________.420按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法.第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法.根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法.1、背诵记忆常见组数问题及解题原则2、背诵记忆选（抽）取与分配问题的常见类型及其解法3、背诵记忆涂色与种植问题的四个解答战略1.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生参赛的不同方法有 A.24种

B.48种

C.64种

D.81种√由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法.√先排十位，十位不能为0，有4种选法，个位有4种选法，故有4×4＝16(种)选法.2.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是 A.25 B.20

C.16 D.123.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人分别参加相应语种的活动，则不同的选法种数为________.20由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人，只会英语的有6人，只会日语的有2人.则可分三类：第一类：“多面手”去参加英语活动时，选出只会日语的1人即可，有2种选法.第二类：“多面手”去参加日语活动时，选出只会英语的1人即可，有6种选法.第三类：“多面手”既不参加英语活动又不参加日语活动，则需从只会日语和只会英语的人中各选1人参加活动，有2×6＝12(种)选法.故共有2＋6＋12＝20(种)不同的选法.先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，有3×2×1种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有2×1×1种情况，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2×1×1＝12(种)不同的涂法.4.如图所示的几何体由三棱锥P－ABC与三