圆锥曲线中优化运算的方法与技巧

圆锥曲线中优化运算的方法与技巧圆锥曲线问题是高考中的重点问题，也是难点问题。此类问题涉及的知识面广，解题方法灵活多变、运算量大，容易导致考生在解题中出现畏惧、耗时、无正确结果的“困境”。灵活掌握优化运算的解题策略是破解圆锥曲线问题的关键。一、巧用定义，追本溯源例1(1)已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（）A． B． C． D．(2)已知P为抛物线上的一个动点，设P到抛物线准线的距离为d，点，那么的最小值为______。【分析】(1)点为椭圆上的动点，，分别为两个圆上的动点，三个点都是动点，需要研究图形的结构特征，注意到两圆的圆心分别是椭圆的左、右焦点，因此可以固定其中两个点，实现动静转化；(2)由抛物线的定义可得，所以，结合图形由三点共线可得结果。【解】（1）根据椭圆的定义，得，所以，即所求取值范围为，故选A。图(1)图（2）(2)抛物线的焦点，准线为，如图(2)，过作垂直准线于点，则，所以，由图可知当三点共线时，取得最小值，即最小值为,,所以的最小值为5。【点评】定义是解决圆锥曲线问题的一把“金钥匙”。深刻理解三种圆锥曲线的定义，体会定义中各要素之间的关系，在解题中能够取得事半功倍的效果。利用定义可以实现圆锥曲线两焦点间的距离、焦点到准线距离的互化。二、韦达定理，设而不求例2在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为A，右焦点为。点在双曲线上，直线与双曲线交于两点，且当直线的斜率为1时，。（1）求双曲线的方程；（2）若，求到直线的距离。【分析】（1）由题可得，建立关系，将点代入双曲线求出即可得双曲线的方程；（2）设出直线方程，与双曲线联立，根据可得m与k之间的关系，再由点到直线距离公式求解即可。【解】（1）由可得，则，又点在双曲线上，则，则可解得，所以双曲线的方程为。（2）当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为，设，联立方程可得，则且，，因为，所以，即，则，即，整理可得，点O到直线l的距离，当直线MN的斜率不存在时，设直线为，则，直线代入双曲线可得，若，则，解得，则点O到直线l的距离为。综上，点O到直线l的距离为。【点评】研究直线与圆锥曲线的位置关系时，常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助韦达定理（即根与系数的关系），并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，对于两曲线的交点坐标设而不求，从而优化运算。涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形。三、点差分解，整体代入例3（1）已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为M（4，2），则直线AB的斜率为（）A．1 B． C． D．2（2）已知椭圆C：上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点的纵坐标为，则的值是（）A． B． C． D．2【分析】（1）设，，，，代入椭圆方程后作差并因式分解处理；（2）设出，的坐标，代入椭圆方程，作差后结合已知直线的斜率及中点的坐标列式求解。【解】（1）设交点坐标分别为，，，，则，，，，将第三式和第四式两式相减可得，即，所以，即直线的斜率为，故选A。设，，则，，两式相减，得，即，，关于直线对称，，又线段中点的纵坐标为，线段中点的横坐标为，所以，解得，故选A。【点评】解决直线与圆锥曲线相交弦的中点问题常用韦达定理或者点差法处理。应用点差法的一般思路如下：若设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为，，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦MN的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为点差法。四、巧用对称，灵活转化例4如图（3），点为椭圆：的左焦点，直线分别与椭圆交于A、B两点，且满足，为坐标原点，，则椭圆的离心率。图（3）图（4）【分析】设椭圆的另一个焦点，则结合椭圆的对称性可构造出平行四边形，由条件可得，然后由椭圆的定义可得|BF|，再在用勾股定理，进而求出离心率。【解】如图（4），设椭圆的另一个焦点为，连接，根据椭圆的对称性可得为平行四边形。由FA⊥AB，在中,∠ABF＝∠AFO，，得，在中，,得，，，由椭圆的定义有：，在中：，即，化简整理得:，两边同时除以化为：，解得，又，所以椭圆的离心率为。【点评】由于三种圆锥曲线都是轴对称图形，若垂直于对称轴的直线与圆锥曲线交于A、B两点，则A、B两点关于对称轴对称；椭圆和双曲线都是对称中心图形，若过对称中心作直线与圆锥曲线交于A、B两点，则A、B两点关于对称中心对称。利用圆锥曲线的对称性，可将于圆锥曲线有关的几何关系进行灵活转化，从而简化运算。五、引入参数，减少变元例5设A、B分别是椭圆的左顶点和上顶点，点在上，则点到直线的距离的最大值为（）A． B． C． D．【分析】根据题意求出直线AB的方程，进而通过三角换元设出点P的坐标，然后求出点到直线的距离，最后求出距离的最大值。【解】椭圆的焦点在轴上，，，可得，.椭圆的左顶