辽宁省丹东市2023-2024学年高二上学期期末数学试题

关注公众号《品数学》加入高中数学资料群（QQ群号734924357），获取更多精品资料上学期期末教学质量监测高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点且倾斜角为90°的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可直接写出所求直线方程.【解析】根据题意，所求直线方程为：.故选：C2.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的标准方程即可求解.【解析】由可得，所以焦点为，故选：B3.圆与圆的位置关系是（）A.外切 B.相交 C.内含 D.外离【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出两个圆的圆心距即可判断得解.【解析】圆的圆心，半径，圆，即的圆心，半径，因此,所以两个圆相交.故选：B4.用0，1，2，3，4，5这六个数字排成无重复数字的两位数，这样的两位数共有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】D【解析】【分析】考虑特殊元素（位置）优先法解决问题.【解析】因为0不能在首位，所以首位可以有5种选法，个位包含0在内也有5种选法，所以满足条件的两位数有个，检验可知只有D成立.故选：D5.已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用题给条件列出关于的齐次式，解之即可求得C的离心率.【解析】由，，可得,又由，可得，则，整理得，即，解之得或（舍）故选：A6.在正三棱柱中，，则直线与所成角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取中点D，先证明面，进而证得，则直线与所成角为.【解析】取中点D，连接，则,又面，面，则，又，，面，则面，又面，则由，可得，则，则，又，，面，则面，又面，则，则直线与所成角为.故选：C7.将甲、乙、丙、丁4个人全部分配到A，B，C三个地区工作，其中甲不能去A地区，且每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（）A.36种 B.24种 C.18种 D.16种【答案】B【解析】【分析】分类讨论甲是否单独去一个地区，根据分类加法计数原理结合捆绑法分析求解.【解析】若甲单独去一个地区，则不同的分配方案为种；若甲不单独去一个地区，则不同的分配方案为种；综上所述：不同的分配方案为种.故选：B.8.如图所示，已知二面角-l-的棱上有A，B两点，，，，，若，，，则直线CD与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在平面内，过点，且，证得平面，得到，求得，进而求得，过点作，证得，得到即为直线CD与平面所成角，在直角，即可求解.【解析】如图所示，在平面内，过点，且，可得四边形为平行四边形，所以，因为，可得，又因为，且，平面，所以平面，即平面，所以平面，因为平面，所以，在直角中，由，可得，在直角中，由余弦定理得，因为，所以，过点作的延长线的垂线，垂足为，即，由平面，且平面，所以平面平面，因为平面平面，因为平面，所以，连接，所以即为直线CD与平面所成角，在直角中，可得，在直角，可得.故选：D.【小结】关键小结：本题的关键是利用线面垂直的判定与性质找到线面角，再结合余弦定理和三角函数定义得到线面角的正弦值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知二项式的展开式中，则（）A.含项的系数为6 B.第5项为常数项C.各项系数和为64 D.第3项的二项式系数最大【答案】ABC【解析】【分析】写出二项展开式的通项，当时可判断A；当时可判断B；令可求出各项系数和，进而判断C；根据，得到二项式系数最大的是，可判断D.【解析】二项式展开式的通项为，对于A，令，解得，所以含项的系数为，故A正确；对于B，令，，故B正确；对于C，令，则，所以各项系数和为64，故C正确；对于D，由知，二项式系数最大的是，为第4项，故D错误.故选：ABC.10.已知抛物线C：的焦点为F，，A，B是直线PF与C的两个交点，且，则（）A.直线PF的斜率为 B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据抛物线定义，直线与抛物线的关系进行判断.【解析】设，，不妨令.且，()因为.又且，所以，.故B对；所以，故A错；根据抛物线定义，得：，故C正确；因为直线AB的方程为：，带入，整理得：.所以：，故D正确.故选：BCD11.设为坐标原点，，是椭圆：的左右焦点，过的直线交于，两点，，则（）A.的周长为16 B.的焦距为C.的面积为 D.【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆方程求出和可直接判断选项A和B；在中利用余弦定理和面积公式可判断选项C；利用向量表示，可判断选项D.【解析】椭圆：，，，，，，，对于A，的周长为，故A正确；对于B，，焦距为，故B错误；对于C，在中，，即，，解得，，，故C正确；对于D，，，故D正确.故选：ACD.12.已知平行六面体中，底面是正方形，，，，，则（）A. B.C.与平面所成角为 D.【答案】ABD【解析】【分析】由题意首先得，，，对于A，直接分解向量即可判断；对于B，由数量积运算律即可验算；对于D，由模长公式即可验算；对于C，首先证明面，从而与平面所成角为，解直角三角形即可验算C.【解析】设底面中心为点，由题意，，，所以，对于A，，所以，故A正确；对于B，，而，所以，故B正确；对于D，，故D正确；对于C，因为，且，，所以，即，因为底面是正方形，所以，而，即，又因为，且面，所以面，所以与平面所成角为，而在中，有，所以与平面所成角为，故C错误.故选：ABD.【小结】关键小结：判断C选项的关键是首先要通过证明得到面，进一步有与平面所成角为，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.__________．【答案】75【解析】【分析】根据排列数、组合数的性质及组合数公式计算可得答案.【解析】．故答案为：75.14.已知点关于直线l：的对称点为B，则B的坐标为__．【答案】【解析】【分析】列出关于B的坐标的方程组，解之即可求得B的坐标.【解析】设，则中点坐标为，则有，解之得，则B的坐标为故答案为：15.已知直线l：与圆C：交C于A，B两点，点P是圆C上的动点，若使的面积是的面积的3倍，则点P的坐标为___________．【答案】【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，再由三角形面积关系确定点到直线的距离，进而求出点的坐标即得.【解析】圆C：的圆心，则点到直线的距离，由的面积是的面积的3倍，得点到直线的距离为，而圆半径，即点到直线的距离，因此点是垂直于直线的圆的直径距离较远的端点，则直线斜率为，方程为，由，解得或，而点到直线的距离为，点到直线的距离为，所以点P的坐标为.故答案为：16.已知，是双曲线C：（，）的焦点，圆O：与C的一条渐近线交于点P（P在第一象限），若，则C的离心率___________．【答案】2【解析】【分析】根据题意，联立渐近线与圆的方程可得点的坐标，再由勾股定理列出方程，化为离心率的齐次式，代入计算，即可得到结果.【解析】因为双曲线C：，则其渐近线方程为，且圆O：与C的一条渐近线交于点P（P在第一象限），则，解得，且P在第一象限，则，即，设双曲线的右顶点为，则，连接，则轴，且，由勾股定理可得，化简可得，同时除可得，解得或（舍），则C的离心率.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知圆C经过点，，且圆心C在x轴上．（1）求圆C的标准方程；（2）求过B且与圆C相切的直线方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用待定系数法求圆的标准方程；（2）因为B点在圆上，所以切线和BC垂直，利用两直线垂直的关系求切线斜率，再用点斜式写出切线方程.【17题解析】设所求圆C的方程为()，依题意得，解得.所以圆C的标准方程为：.【18题解析】设过B且与圆C相切的直线的斜率为k，直线BC的斜率为，因为，所以.所以所求的切线方程为：，即.18.已知椭圆：，直线不经过原点也不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．（1）求的取值范围：（2）当时，求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由方程表示椭圆，列出不等式组求参数范围即可；（2）设，坐标并代入椭圆方程，利用点差法即可证明结论.【小问1解析】因为方程是椭圆，则满足，解得，且，所以的取值范围为；【小问2解析】当时，椭圆方程为，设与交于，，中点，所以有，，将，两点坐标代入椭圆中得，两式作差得，即，因为直线的斜率，直线的斜率，所以，直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.19.如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，，是等边三角形，O为的中点，M为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用两个平面垂直的性质定理即可证得平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得直线与平面所成角的正弦值．【小问1解析】是等边三角形，O为的中点，所以，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．【小问2解析】连接，因为，，所以，以O为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题设得，，，，，则，，设平面的法向量为，则，即，可取，设直线PC与平面PAM所成角为，，所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为．20.已知点A在直线l：上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且（1）求点P的轨迹方程E；（2）过点的直线与E交于两点M，N，OM⊥ON，求的值．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）根据题意，由可得，代入计算，即可得到结果；（2）解法一：由OM⊥ON可得，表示出直线的方程，即可得到，再由弦长公式，即可得到结果；解法二：设MN：，联立抛物线方程，结合韦达定理，再由弦长公式，即可得到结果.【小问1解析】设点，则，，，由，可得，即，点P的轨迹方程E为．【小问2解析】解法一：设，，由OM⊥ON，知，由，可得．直线MN：，即，点代入可得．则直线为，即直线斜率，于是．解法二：由题意可知MN不垂直于y轴，可设MN：，代入可得，因为，设，，设，．由OM⊥ON，可得，即，可得，可得，即，．于是．21.如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点，是与的交点．（1）在线段上否存在点，使得平面，并说明理由；（2）若二面角的正弦值为，求线段的长．【答案】（1）存在点，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量解法求解即可.【小问1解析】存在点，当时，面．证明：取的中点，连接，，，设，是的中点，为的重心，，直三棱柱，是的中点，，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，，分别为，的中点，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，平面，平面.故在线段上存在点，当时，面；【小问2解析】直三棱柱，，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题设得，，，，，，设平面的法向量，且，所以，可取，易知平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，，所以，二面角的正弦值为，，解得，故.22.已知双曲线C：（，）离心率为，右焦点为．（1）求C的方程；（2）记C的左右顶点分别为，，过的直线与C交于M，N两点，M在第一象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用题给条件求得的值，进而求得C的方程；（2）设出M，N两点坐标，利用设而不求的方法求得点P的坐标，进而证得点P在定直线