浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学

数学2024.01一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线的斜率等于A． B．1 C．2 D．2．若双曲线的离心率为2，则实数A．2 B． C．4 D．163．若空间向量，则与的夹角的余弦值为A． B． C． D．4．已知等差数列的前项和为.若，则其公差为A． B． C．1 D．25．如图，在平行六面体中，记，则A． B． C． D．6．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列,（为正整数），若，则所有可能的取值的和为A．16 B．18 C．20 D．417．已知抛物线的焦点为,,两点在抛物线上，并满足,过点作轴的垂线，垂足为，若，则A． B．1 C．2 D．48．在空间四边形中，，则下列结论中不一定正确的是A． B．C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是A．是等比数列 B．一定不是等差数列C．是等比数列 D．一定不是等比数列10．已知且，曲线，则下列结论中正确的是A．当时，曲线是椭圆B．当时，曲线是双曲线C．当时，曲线的焦点坐标为D．当时，曲线的焦点坐标为11．如图，在四面体中，分别是,,的中点，,相交于点，则下列结论中正确的是A．平面B．C．D．若分别为,的中点，则为的中点12．已知，，，则下列结论中正确的是A．当时，B．当时，有2个元素C．若有2个元素，则D．当时，有4个元素三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．点到直线的距离为

.14．已知椭圆的左右焦点分别为.为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于

.15．已知数列的前项和为.当时，的最小值是

.16．已知抛物线和.点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，直线交于两点，则的值为

.四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题共10分）已知圆经过原点及点.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）过原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程.18．（本小题共12分）已知数列是公比不为1的等比数列，其前项和为.已知成等差数列，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.19．（本小题共12分）在长方体中，.从①②这两个条件中任选一个解答该题.①直线与平面所成角的正弦值为；②平面与平面的夹角的余弦值为.（Ⅰ）求的长度；（Ⅱ）是线段（不含端点）上的一点，若平面平面,求的值.20．（本小题共12分）如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动.（Ⅰ）求点的轨迹；（Ⅱ）当时，证明：直线与点形成的轨迹相切.21．（本小题共12分）某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为.点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）（Ⅰ）如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？（Ⅱ）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？22．（本小题共12分）已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于,两点，.（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）已知点，过点的直线与双曲线交于,两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】数学2024.01一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．C2．A3．C4．D5．A6．B7．B8．D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．AC10．ABD11．ACD12．ABD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．114．15．416．四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（Ⅰ）解：设原点为，易知，线段的中点为圆心，圆心坐标为.线段的长为圆的直径，，半径.圆的标准方程为…………5分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为,令，代入圆的标准方程，解得或，则，不符合题意.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将其转化为一般式方程,圆心到直线的距离为,则,得，化简得或，即直线的方程为或.…………10分18．（Ⅰ）解：设等比数列的公比为，由题意得：，即,，得，解得或.由于不符合题意，因此.由得，，即，.所以.…………6分（Ⅱ）由题意得，，则，则，则，则，.…………12分19．（Ⅰ）解：如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，设，则,设平面的法向量.取，，，则.若选择条件①，，设直线与平面所成角为，则，解得.即.若选择条件②，易知平面的法向量为,设平面与平面的夹角为，则，解得.…………6分（Ⅱ）由题（Ⅰ）得，，，，，.设，则.设平面的法向量.取，，则又，，设平面的法向量.令，，则.平面平面，,即,解得，所以.…………12分20．（Ⅰ）解：，，.因为.所以与两个定点,的距离的和等于常数（大于）,由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆.…………6分注：若点的轨迹表述不当，则酌情扣分.（Ⅱ）以线段的中点为坐标原点，以过点,的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程为,由椭圆的定义得：，即；，即.则椭圆的标准方程为.当时，点的坐标为和.当点的坐标为时，已知点的坐标为，线段的中点坐标为，直线的斜率为，直线的方程，联立方程得，整理得，可得.所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.当点的坐标为时，同理可证.注：选择点的其中1个位置证明即可…………12分21．（Ⅰ）解：如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为.因为圆的半径为，圆心到地面的距离为，所以.从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得。，则.…………6分（Ⅱ）如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到.过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角.山题意得：其中，表示点和点构成的直线的斜率，当直线的斜率取得最小值时，取最大值.因为点在单位圆上，所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值，设过点的直线方程为：，即，解得，则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.…………12分22．（Ⅰ）解：由已知得.将代入方程，得,由得