数学干货- 圆锥曲线专题六章之第一二章 直线与圆

圆锥曲线专题之直线与圆TOC\o"1-3"\h\u第一章立竿见影，直线方程 4§1直线的倾斜角和斜率 4§2直线的方程 7§3两条直线的位置关系 14§4平面直角坐标系中的距离公式 194.1基础知识篇 194.2构造距离 254.3主元转换构造距离 304.4其他距离 31§5移形换影，对称问题 315.1中心对称 315.2轴对称 325.3光线的入射与反射 365.4角平分线问题 41§6奇思妙想，话直线系 426.1直线系 426.2直线系过定点问题的处理 44§7到角当头，秒解交角 45§8乾坤移位，将军饮马 47§9数形结合，曲线距离 55第二章抛砖迎玉，“圆”来如此 64§1圆与圆的方程 64§2点与圆的位置关系 71§3直线与圆的位置关系 723.1直线与圆位置关系判断 723.2圆的弦长和垂径定理 753.3点、直线、圆模型 803.4综合题集 82§4筷子夹汤圆，切线问题 954.1圆的切线方程的求法 954.2圆的极点极线方程 994.3切线长公式 1014.4圆幂定理 1034.5圆的包络线——圆的切线系方程 107§5五子登科，圆与圆的位置关系 1105.1圆与圆的位置关系的判断方法 1105.2圆的公切线 1155.3相交两圆的公共弦 1245.4圆系方程 126§6大动干戈，圆中最值 1286.1圆的最值问题 1286.2向圆心转化 1366.3弦的外分点模型 1416.3张角最大问题——最大张角圆 1436.4视角最大问题——米勒定理 148§7呼朋唤友，圆的有机结合 1527.1向量和圆 1527.2函数定义 1597.3均值不等式 160§8圆中鬼魅，阿波罗尼斯圆 1618.1定义 1618.2调和点列vs阿波罗尼斯圆 1628.3角平分线vs阿波罗尼斯圆 1668.4阿波罗尼斯球 1728.5阿波罗尼斯圆的拓展 174§9圆的反演——阿波罗尼斯圆 1769.1圆的反演初步 1769.2圆的反演的常见性质 178§10百花齐放，圆的轨迹荟萃 18410.1定长对定角，轨迹为圆弧 18410.2线段的分点——构造分点位似圆 19610.3圆的弦中点轨迹 20010.4隐藏的圆 20110.5旋转的圆 204§11综合练习 210第一章立竿见影，直线方程§1直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角=1\*GB2(1)

定义在直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角．注规定当直线和轴平行或重合时，其倾斜角为，所以直线的倾斜角的范围是．(2)

直线和倾斜角的关系①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角相同的直线不是唯一的，它们是一组平行线；③不同的直线其倾斜角可能是相同的．2.直线的斜率=1\*GB2(1)

定义倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用字母表示．(2)

斜率和倾斜角之间的关系①斜率和倾斜角之间的关系是“数与形”的关系，斜率是个实数，倾斜角则是一个角；②斜率的实质是用来表示倾斜角不等于的直线对于轴的倾斜程度的；③每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，因为当直线垂直于轴时，其斜率不存在的！这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解！(3)

斜率的表示方法①定义法，；②坐标法经过点和的直线的斜率；③向量法直线的方向向量为，则直线的斜率为；反之，若直线的斜率为，则直线的方向向量为．(4)

斜率的变化规律【斜率的值域：.】①利用正切函数在内的图象，借助正切函数的单调性分析．如图所示：在和这两个区间斜率都是随着倾斜角的增大而增大，但是在整个区间是不单调的，做题时要特别注意这个特殊之处！②互补的两个倾斜角的斜率互为相反数！③数形结合时，斜率的变化和判断技巧：是斜率的正无穷和负无穷的分界点，因此，直线旋转扫过的区域，也可理解为直线簇，如果直线簇包含垂直于轴的直线，即斜率为的直线，则所求的斜率的范围要分段书写，一段包含正无穷，一段包含负无穷；否则是一段；若是求解倾斜角的取值范围，则借助的图象（如上图）进行角度的转换．【和分式函数值域的判断类似！】3.三点共线问题的证明(1)

斜率法用斜率法证明三点共线问题，具体如下：(2)

线段长度法三点共线问题也可利用线段长度之间的关系来证明，即若，则可判定A、B、C三点共线．(3)

直线法先从三点中任取两点，即可确定一条直线，再确定第三点在这条直线上即可.(4)

共线向量法利用平行向量的坐标运算，可避免斜率法中斜率不存在的情况！注①上面的四种方法中，常用的是斜率法和共线向量法，相比较而言，共线向量法没有死角，在解答题中，可以避免斜率的讨论！②三点共线的应用举例：判断给出的三点能否构成三角形的三个顶点？问题转化为：三点是否在同一条直线上！例对于下列命题，其中正确命题的个数是()．①若是直线的倾斜角，则；②若是直线的斜率，则；③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．A．1 B．2 C．3 D．4答案选C．例(1)

已知直线的倾斜角是，直线，则直线的倾斜角为________．(2)

直线过原点，且倾斜角为，若将直线绕原点逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为________．(3)

设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为()．A．

B． C．

D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为．答案(1)；角度旋转或者；(2)；(3)

选D．例(1)

已知直线经过点，，且斜率为12，求的值．(2)

当为何值时，过点，的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？答案(1)

；(2)

锐角；钝角；直角．例已知直线的倾斜角的取值范围为，则其斜率的取值范围是．答案含有，斜率分段，易得．​例已知两点，，过点的直线与线段有公共点．(1)

求直线的斜率的取值范围；(2)

求直线的倾斜角的取值范围．答案(1)；(2)．解如图，作出图象，易得；注对于斜率k，也可以利用线性规划求解！直线l的方程为，即，由于P、Q在直线l的两边，故，即．练习经过作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为，．答案；；取不到！例(1)

求证：、、三点共线．(2)

已知三点，，在同一条直线上，求实数a的值．答案(1)

先证，又过同一点，故A、B、C三点共线．(2)

或．例下列三点能构成三角形的三个顶点的为()．A．

B．C．

D．答案选C；问题转化为：三点是否在同一条直线上．§2直线的方程1.常用的直线方程一览表【注意一些不常用的形式，也要熟悉其使用限制范围！】名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式为斜率，是直线上一定点不垂直于轴斜截式为斜率，是直线在轴上的截距不垂直于轴两点式和是直线上的两个定点不垂直于轴和轴截距式为直线在轴上的非零截距，为直线在轴上的非零截距不垂直于轴和轴，且不过原点一般式A、B、C为系数任何位置的直线2.常用的直线方程的具体分析(1)

点斜式过已知点，且斜率为的直线方程：．注①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为；②表示：直线上除去点的图形．(2)

斜截式若已知直线在轴上的截距为，斜率为，则直线方程：．【是纵截距！】①截距的概念直线在y轴、x轴上的截距指的是直线与y轴、x轴交点的纵坐标、横坐标，也分别叫做纵截距和横截距；截距可以大于0，可以小于0，可以等于0，截距与距离是完全不同的两个概念．②求直线截距的方法在直线方程中令，解出y的值即为直线在y轴上的截距；在直线方程中令，求得x的值，即为直线在x轴上的截距．(3)

两点式若已知直线经过和两点，且，，则直线方程：．注①不能表示与轴和轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式时，此时，直线方程可以适应于任何一条直线．③两点式方程的拓展及应用，参看“抛物线之直线的两点式方程”．(4)

截距式若已知直线在轴、轴上的截距分别是、且，，则直线方程：．注①不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，也不能表示过原点的直线；②用截距式解题要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况，当出现“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”时容易丢解．(5)

一般式任何一条直线方程均可写成一般式：(A、B不同时为0或)；反之，任何一个有解的二元一次方程都表示一条直线．注①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数A、B、C是否为0才能确定．②熟练地指出此时直线的方向向量：，，或单位向量；直线的法向量：(与直线垂直的向量)．【注意区分法向量和方向向量】(6)

参数式=1\*GB3①之标准式(为参数)；其中直线的方向向量为，的几何意义为，斜率为，为倾斜角，且．参数式②之一般式(为参数)；其中直线的方向向量为，(方向向量的单位向量)；；；点对应的参数为，则．(7)

其他直线方程要会根据条件灵活设直线方程，尤其在直线和圆锥曲线相交的题型中，常用到(1)点斜式和(2)斜截式的变形设法，直线方程分别为：，．注当直线的倾斜角等于时，直线的斜率不存在，然而很多解析几何大题的最值问题，偏偏是在直线的斜率不存在的时候取得，用上述的直线方程可以很好的解决了这个问题，既能避免分类讨论又可以简化计算．3.直线方程的其他相关说明(1)

点斜式体现的方程思想（点和斜率代表两个未知量），一般式沟通点到直线的距离，截距式与均值不等式有联系；因此，要结合题目，灵活选用直线的方程！(2)

用待定系数法求直线方程时，要注意所求直线应该是一条还是两条（可通过几何分析确认！），斜率不存在的直线最容易遗漏！直线与x轴垂直是特殊情形（因其斜率不存在），具体应用解题时，切莫忘记单独考察！！例(1)

给出下列四个命题，其中正确命题的个数是()．①一条直线必是某个一次函数的图象．②一次函数的图象必是一条不过原点的直线．③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程．④以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．A．0

B．1

C．2

D．3

(2)

下列命题中的真命题是()．A．过定点的直线都可用方程表示B．过定点

的直线都可用方程表示C．过任意两个点、的直线都可用方程表示D．不过原点的直线都可用方程表示答案(1)

选A；(2)选C．解(1)

对于①，一次函数的图象是一条直线，但任意一条直线不一定是某个一次函数的图象，如直线

不是一次函数的图象，故不正确；对于②，函数，当时，直线过原点，故不正确；对于③④，方程是直线的方程和直线是方程的直线应该满足两条：以一个方程的解为坐标的点都是这条直线上的点，反过来，这条直线上所有点的坐标都是方程的解，这两个条件缺一不可，如第一、三象限角平分线上的点都是方程的解，但是此方程不是第一、三象限角平分线的方程，又如以方程的解为坐标的点都在直线上，但方程不是直线的方程，故不正确．​(2)

点斜式方程、斜截式方程不能表示斜率不存在的直线，故A、B错，截距式方程除了不能表示过原点的直线之外，还不能表示与坐标轴平行的直线，故D错．例根据下列条件，选择恰当的方法，求出直线的方程，并化为一般式：(1)

斜率为，且过点；(2)

经过点，倾斜角为45°；(3)

斜率为，与x轴交点的横坐标为；(4)过点，与x轴垂直；(5)

经过点且平行于x轴；(6)

过点且与x轴有相同斜率；(7)

斜率为，在y轴上的截距为7；(8)

在y轴上的截距为2，且与x轴平行．(9)

经过点和；(10)

过点和点；(11)

在x轴上的截距为，在y轴上的截距为2；(12)

求过原点，且平行于向量的直线方程．答案(1)

，即为；(2)

，即为；(3)

；(4)

；(5)

；(6)

；(7)

，即为；(8)

；(9)

，即为；(10)

，即为；(11)

，即为；(12)

法一设直线方程的斜率为k，则直线的方向向量为，而，故，故直线为．法二设为直线上任意一点，，由于，故，即．例若直线方程为，则它在y轴上的截距为_____．答案令，可得纵截距为．例(2)

过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程．(1)

求过点，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程．答案(1)

x－y＋1＝0或4x－3y＝0；(2)

；；．例设直线l的方程为，根据下列条件分别确定m的值：(1)

l在x轴上的截距是；(2)

l的斜率是．答案(1)

；(2)

．例已知三角形的顶点是、、，求AC边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程．答案；．例(1)

直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为2的三角形，求直线的方程．(2)

斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线的方程．注解题时，要根据题目的条件，一定要选择合适的直线方程！(1)(2)给出了斜率，显然要用斜截式！！答案(1)；设直线l为，则；(2)；设直线l为，则．例过点作直线分别交轴，轴正半轴于A、B两点，求的最小值．答案4．法一显然，直线的斜率存在且小于0，设直线方程为，与轴、轴交点分别为，．故；．因此，，当且仅当时，取最小值4．法二设直线l与x轴的夹角为，，则，，故，当且仅当，即时取得等号．注此法实质是利用直线的参数方程：(t为参数)．例(2004全国卷Ⅱ理)已知平面上直线l的方向向量，点和在l上的射影分别是和，则，其中()．A． B． C．2 D．答案选D；易知，又．例(2010上海理)直线l的参数方程是，则l的方向向量可以是()．A． B． C． D．答案选C．例已知过定点的直线在轴正半轴与轴正半轴上的截距分别为a、b，则的最小值为()．A．8 B．32 C．45 D．72答案选B；解设直线为，则，因此，．例(1)

直线的图象可能是()．

A

B

C

D(2)

已知两直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则()．A．B．C．D．答案(1)

选B；(2)

选C；，，．例已知两直线和直线，试确定m、n的值，使(1)

和相交于点；(2)

且在轴上的截距为．答案(1)；(2)；此时直线的方程为：，令，得．4.直线在坐标系中的象限位置的判断方法【利用直线的斜截式方程分析！】直线在坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在轴上的纵截距确定，若直线斜率为，在y轴上的截距为，那么①当时，直线经过第一、二、三象限；②当时，直线经过第一、三、四象限；③当时，直线经过第一、二、四象限；④当时，直线经过第二、三、四象限．例(1)

直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足()．A．，

B．， C．， D．，(2)

如果，且，那么直线不经过()．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案(1)

选A；(2)选C．解(1)直线经过第一、二、四象限，则直线的斜率小于零，纵截距大于零，所以

，．​(2)

特殊值法秒之；因为AC＜0，BC＜0，所以AB＞0，显然B≠0．将一般式Ax＋By＋C＝0化为斜截式y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，所以k＝－eq\f(A,B)＜0，b＝－eq\f(C,B)＞0．所以直线不经过第三象限．例已知直线．(1)

求证：不论为何值，直线总经过第一象限；(2)

为使直线不经过第二象限，求的取值范围．答案(1)直线横过定点，此点在第一象限；(2)要使不经过第二象限，需它在轴上的截距不大于零，即令．例若直线不过第二象限，求的取值范围．答案直线方程化为，由于该直线不过第二象限，故．例(2011安徽理压轴)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．答案①③⑤；§3两条直线的位置关系1.两条直线的四种位置关系及判断方法根据直线方程形式的不同，分为如下两种情况．(1)

斜截式设直线，，=1\*GB3①且；=2\*GB3②；=3\*GB3③与重合且；=4\*GB3④与相交.(2)

一般式设直线，，

=1\*GB3①；即，且(或)；

=2\*GB3②；即；

=3\*GB3③与重合；即且(或)；=4\*GB3④与相交；即；注对于一般式，要使用后面的整式形式，因为整式才是真正的充要条件，上面给出的分式形式的作用只是便于记忆，实质是不等价的！！(3)

其他相关注意事项①对于一般式，也可以利用直线的法向量进行辅助记忆．【注意区分法向量和方向向量】．例如，对于平行和重合，即它们的法向量平行，即；对于垂直，即它们的法向量垂直，即．②若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线垂直．③对于来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立．因此，此公式使用起来更方便，可以避免讨论斜率的存在性！故解题之时，可以先将直线方程化为一般式，再利用此公式求解即可！④当两条直线的斜率相等时，两直线平行(重合)；但当两条直线平行(重合)时，斜率不一定相等！！因为斜率有可能不存在．【注意理解后半句的内涵！】例已知直线，，求适合下列条件的的取值范围．(1)

与相交；(2)

与平行；(3)

与重合；⑷

与垂直．答案(1)；(2)；(3)

；(4)

．练习已知两条直线，．当且仅当为何值时，与有以下关系？(1)相交；(2)平行；(3)

重合；(4)

垂直．答案直线，直线．(1)且；(2)；(3)

；(4)

．例(1)

直线和的位置关系是()．A．平行

B．重合

C．相交

D．不确定(2)

已知，，且，则的值为()．A．2 B．1 C．0 D．不存在答案(1)

选C；(2)选C；不可套用公式！解(1)

；两直线的斜率分别为和，因为方程无解，所以两直线相交．例(2005北京文理)“”是“直线与直线相互垂直”的()．A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案即，例求过两直线和的交点且与直线平行的直线方程．答案．法一常规方法，就是求交点，具体过程略；法二利用相交直线系，设直线方程为，即为，则，解得，可得：．例(1)

设直线的方程为，将直线绕其与轴交点按逆时针方向旋转得到直线，则的方程为．(2)

将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为．(3)

若原点在直线上的射影为，则的方程为_________________．答案(1)

；与轴的交点为且，所以直线经过点，斜率为2，则直线的直线方程为：．(2)

旋转：，再向右平移1个单位：，即为．(3)

．例(2008四川文理)直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为()．A． B． C． D．答案选A．解直线绕原点逆时针旋转的直线为，将向右平移1个单位得，即．例已知的垂心，且，，求点C的坐标．答案．解结合图形可知，只需要求出直线AC、BC的方程即可．由于、，易求得直线AC为，直线BC为，因此，点C的坐标为．例已知两直线，，求分别满足下列条件的a、b的值．=1\*GB2(1)直线过点，并且直线与直线垂直；=2\*GB2(2)直线与直线平行，并且坐标原点到、的距离相等．答案(1)

；(2)

或．解=1\*GB2(1)

，又点在上，所以，解得，．=2\*GB2(2)

坐标原点到、的距离相等”等价于“、关于原点中心对称”．法一取特殊点；上一点必定对应上的一点，代入有，再利用平行关系之斜率相等，解即可！法二同一法；先求出关于原点对称的方程，则这两条直线重合，系数对应成比例即可！法三直译法；化简后可得，解得或．例(2011安徽文)设直线，，其中实数满足．(1)

证明：与相交；(2)

证明：与的交点在椭圆上．证明(1)

利用反证法，假设与不相交，则与平行，故，进而，显然，这与为实数相矛盾，故必有，即与相交．(2)

由，代入，整理可得：，故与的交点在椭圆上．例(1)

已知四边形ABCD的顶点为，，，，求证：四边形ABCD为矩形．(2)

判断以，，，为顶点的四边形的形状，并说明理由．答案(1)略

；(2)正方形．解(1)

由已知得边所在的直线的斜率，边所在的直线的斜率，边所在的直线的斜率，边所在的直线的斜率．∵，∴；同理，，，因此四边形为矩形．(2)

，，，．又直线的斜率，直线的斜率．因为，所以．因此，四边形是正方形．例设平面内直线上的点的集合为，直线上的点的集合为，试用集合的运算表示、的位置关系．答案由平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，有如下三种情况：①若直线，相交于一点，则；②若两条直线平行，则这两条直线没有公共点，；③若两条直线重合，则这两条直线有无数公共点，．2.两直线的交点坐标设两直线的方程分别为：或；当或时，它们相交，交点坐标就是方程组或的解．反之，①当方程组只有一组解时，两直线相交；②当方程组无解时，两直线平行；③当方程组有无数组解时，两直线重合．例已知直线与直线的交点为，则过点，的直线方程是．答案．注此为同一法求直线的方程；后面的切点弦证明也会用到，一定要熟练！！例(2016上海文理)设，．若关于x、y的方程组无解，则的取值范围是.答案．解方程无解等价于直线和直线平行且不能重合，故且，故，即的取值范围是．例(2014上海文压轴、理)已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是()．A．无论、、如何，总是无解 B．无论、、如何，总有唯一解C．存在、、，使之恰有两解 D．存在、、，使之有无穷多解答案选；3.三条直线共点的处理任取其中两条直线，所得的交点必在第三条直线上！4.三条直线能否围成一个三角形？正难则反，利用其反面！如果三条直线不能围成三角形，则有：①三条直线共点；②在三条直线中，其中有两条直线平行，总共有种情况！例若三条直线，和不能构成三角形，则的值为．分析三条不同的直线不能构成三角形时，三条直线中必有两条直线平行，再利用两直线平行的性质求出即可！答案或2或．例给出三条直线，，，(1)

为何值时，三线共点；(2)

时，三条直线能围成一个三角形吗？(3)

求当三条直线围成三角形时，的取值范围．答案(1)

或；(2)

能；(3)

．解(1)

与的交点为，将点坐标代入直线的方程，可求出或；(2)

时，可得与交点为，易判断点不在直线上，且三条直线两两均不平行，故时，三条直线能围成一个三角形；(3)

若，有；若，有；而不成立，三条直线不能围成一个三角形时，三线共点或出现其中两条互相平行．综上可知，三条直线围成三角形的条件是．§4平面直角坐标系中的距离公式4.1基础知识篇1.两点间的距离=1\*GB2(1)

已知、，则；特别地，原点与任意一点的距离为：．=2\*GB2(2)

若在直线上，则．2.点到直线的距离【证明方法：最简单是借助法向量，类似立体几何的距离求法！】=1\*GB2(1)

点到直线的距离：．=2\*GB2(2)

点到直线的距离为；点到直线的距离为．证明如图所示，作PH⊥l于点H，则，设为直线l上任一点，则．由于直线PH的方向向量，亦为直线l的法向量，故 ．注如果把距离公式中绝对值去掉，即，此时的d有正有负，一般称之为“有向距离”，显然，在直线两侧的点到直线的有向距离的正负是相反的！3.两条平行直线之间的距离【利用公式之前，须保证的系数相等！！】直线和直线的距离是：．例(1)

已知点，，在x轴上求一点P，使，并求的值．(2)

已知点，和直线，求一点使，且点到的距离等于2．解(1)

；直译即可！或者利用直线的垂直平分线．(2)

或；点必在线段的垂直平分线上！设，利用点到直线的距离公式，解出即可！或者利用点必在与平行且距离为2的直线上，求出两条平行线，然后分别和垂直平分线联立，求出交点即可！例求两平行线和间的距离．解；法一：从其中一条直线上任取一点，再利用点到直线的距离公式即可；法二：利用两条平行线之间的距离公式；须先把系数统一同等！！例(1)

若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于．(2)

若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于．解(1)

；直线与两条平行线垂直！(2)

或；直线与两平行直线的夹角为．例若动点A、B分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()．A． B． C． D．解选A；依题意知的中点的集合为与直线和距离都相等的直线；设点所在直线的方程为，根据平行线间的距离公式得，即；显然，根据数据的特殊性，也可直接口算得到！例(1)

已知是分别经过、两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是________．(2)

直线分别过点，，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则之间的距离d的取值范围为()．A． B． C． D．解(1)

；当与垂直时成立！(2)

选B．例设两条直线的方程分别为和，已知a、b是关于x的方程的两个实数根，且，则这两条直线之间距离的最大值和最小值分别为()．A．， B．， C．， D．，解选D；两平行线间距离为，易知，，故，结合，可得，即．例如果点(1，b)在两条平行直线和之间，则b应取的整数值为_____．解令x＝1，代入6x－8y＋1＝0，解得y＝；代入3x－4y＋5＝0，解得y＝2.由题意得＜b＜2，又b为整数，∴b＝1．例(1)

求过直线与直线的交点，且到点的距离为2的直线方程．(2)

已知直线经过点，并且点和到该直线的距离相等，求直线的方程．(3)

已知直线经过点，，两点到直线的距离之比为，求直线的方程．解(1)

易得交点为，易知所求直线斜率存在，设直线方程为，则，解得或，直线方程或．当然，此题也可以利用相交直线的交点曲线系：，但是，要注意讨论单独验证，避免漏解．(2)

和；法一直译法，利用点到直线的距离公式！但是要注意直线的设法，以及对应的解题步骤；如果是点斜式，需要讨论斜率的存在与否！计算量适中、是常规解法！！如果是一般式，则可避免分类讨论！！但是，一般式的计算量会稍大，鲜用！！！法二分析转化！经过分析可得到：满足题目条件的直线或者与直线平行，或者经过线段的中点．(3)

或．例用解析法证明如下两个结论：(1)

平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．【(1)(2)的本质是一样一样的！！】(2)

若是中边的中线，则有：．【三角形的中线长定理！】 答案如图所示，建立恰当的坐标系即可，具体的求解过程略．例(1)

已知点，，点P在直线上，求取得最小值时P点的坐标．(2)

已知，，点P为直线上一动点，求的最小值．解(1)

设，则，当时，取得最小值，故所求P点的坐标为．(2)

当时，取得最小值．注这两小题也可以利用上题中的中线定理进行求解．比如以第(2)小题为例，，的最小值就是原点O到直线的距离．例已知为抛物线上任一点，则到直线距离的最小值为________．解设，则到已知直线的距离为，易知时，取得最小值．例已知动直线恒过点，且到动直线的最短距离为3，则的最小值为()．A． B． C．1 D．0解选B；由于直线恒过定点P，故Q到动直线的最短距离为，解得，因此，，故，当且仅当取得等号．例(1)

在坐标平面内，与点和点的距离均为5的直线共有()．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条(2)

在坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为的直线共有4条，则的取值范围是()．A． B． C． D．以上结果都不对解(1)

选C；，其中有2条在线段的两侧，且都和线段平行，另一条是线段的中垂线．(2)

选A；，有2条；有3条！注此类题实质是考察圆和圆的位置关系，具体可参看后面相应章节的专题总结．例在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线l的方程为，对于，有下列四个说法：①存在实数，使点N在直线l上；②若，则过M、N两点的直线与直线l平行；③若，则直线l经过线段MN的中点；④若，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交．上述说法中，所有正确说法的序号是．解若点N在直线l上，即满足，故不存在这样的实数，所以①不正确；若，即，即，即，即，故过M、N两点的直线与直线l平行成立所以②正确；若，即把线段MN的中点代入直线l即可得，所以③正确；若，，所以与的值同正或同负，即点M、N在直线l的同侧，又因为，点N离直线l更近，所以直线l与线段MN的延长线相交，所以④正确．因此，正确说法的序号是②③④．例(2017上海压轴)如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处．设集合，点．过P作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧．用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和．若过P的直线中有且仅有一条满足，则中所有这样的P为．解、、；如图建立直角坐标系，设，，，，四个“▲”的坐标分别为、、、．设直线为：，先不考虑唯一性，欲使得，则必有四个“▲”对应的点到直线的“有向距离”的和为0，即，其中表示四个“▲”的坐标，代入坐标，可解得．因此，直线过定点，再结合唯一性，易知、、是符合题意的点．例(2003北京文理)有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）．(1)

若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？(2)

若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？解(1)

依题设有，设点，则点P到三镇距离的平方和为： ，因此，当时，函数取得最小值，即点P的坐标为．(2)

记，P至三镇的最远距离为，由解得，记，于是，当，即时，因为在上是增函数，而在上是减函数，因此，当时，函数取得最小值.点P的坐标是．当，即时，因为在上是增函数，当时，函数取得最小值b，而在上是减函数，且，所以当时，函数取得最小值．综上所述，当时，点P为；当时，点P为，其中．4.2构造距离例(1)

已知直线，且在直线上，求的最小值．(2)

若，求函数的最小值．(3)

求的最小值．解(1)

a−12+b+12表示直线l上的动点Pa,b与1,−1的距离d，当d为1,−1到l的距离时，有最小值．∴d(2)

由题u=x2+y2−2x+4y=x−12(3)

，前者表示点到点的距离，后者表示点到点的距离，代数式的几何意义为轴上的点到点和点的距离之和，结合图象可知代数式的最小值为两点之间距离，即．例已知，则的最小值为．法一注意到点、分别在函数、上，因此，可以转化为求直线与曲线之间的距离d的最小值．利用平行切线，令，则，进而所求的最小值为4．或者利用曲线的对称轴为，求出交点即可．法二利用重要不等式：，实际上也就是柯西或权方和不等式．，当且仅当，取得等号．注对于此类题目，熟练了，优先使用法二进行求解！例求函数的最小值．法一将u看成动点和动点之间距离的平方．点A的参数方程为：，即点A的轨迹方程为：，即点A在一段圆弧上．类似可得点B的轨迹方程为：，即点B在反比例函数的一支上．画出图形，易知对称轴与两个函数的图象的交点之间的距离即为最小值，此时，，故，即u的最小值为8．法二，当且仅当、，即取得等号．例已知且，，则的最小值是()．A． B．8 C． D．解选D；，当且仅当，，或，时取得等号．例若对于任意，恒有，求实数的取值范围．解设直线l:y=x，则可知该直线上的任意一点x,x到点A−3−2sinθcosθ,−asinθ−acosθ∣−3−2也就是asinθ+cosθ−2sinθcosθ−3≥12．设m=若am−n−3≥12，则a≥n+3+12m=m考虑到m∈1,2，故a≤232=例求证：．解等价于点到线段之间的距离．例对于实数a、b，定义运算“”：．已知实数满足： ，则y的最小值为．解，等价于上的点与上的点之间距离的最小值，也就等价于圆心与上的点连线长度的最小值减1．故，当且仅当时取等，即．例(2017陕西高中预赛)设，若存在实数a、b满足，，且 ，则的最大值为()．A． B． C． D．1解依题意，构造如图的矩形，△CPQ为正三角形．设，则，因此，，即选A．例(2007四川文压轴、理)如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是()．A． B． C． D．法一利用定比分点取模公式＋算两次面积设AC与直线的交点为D，则，故，平方取模得：（设正△ABC的边长为a），又，即，即．法二设角参数转化如图所示，过点B作EF垂直于于l1、l2、l3，交l1于点E，交l3于点F，则，，设正三角形ABC的边长为a，设，则．在中，在中，，故，解得，进而，，即选D．法二借助平几知识如图所示，过A、C分别作AE、CF垂直于l2于点E、F，将绕着点B逆时针旋转60°至处，延长DA交l2于点G，因此，，．在中，，因此，在中，，进而，，故．练习如图，在△AOB中，，，，等边△EFG三个顶点分别在△AOB的三边上运动，则△EFG面积的最小值为()．A． B． C． D．答案选D；作GH⊥AO于点H，设，等边△EFG的边长为a，则 ，即．例若存在实数x，使得关于x的不等式，则实数a的取值集合为()．A． B． C． D．解选C；由于，故，当且仅当且时取得等号．4.3主元转换构造距离例已知，关于x的方程有实根，则的最小值为．法一主元转换构造距离＋均值不等式等价于“已知关于t的方程有实根，求的最小值”，即求原点O到直线距离的最小值的平方，故 ，即，当且仅当，即时取得等号．注上述也可以利用换元处理：，其中．法二利用配方法，这是此方程的一个变形套路易知，故方程两边同时除以：，配方变形可得： ，故，即．法三巧妙变形＋权方和不等式设方程的实根为r，则有，故．提醒提醒粗心的同学，“距离”和“距离的平方”，两者不要马虎大意．．练习(1)

已知函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为．(2)

已知函数，若存在非零常数t，使得成立，则的最小值为．答案(1)

；(2)

．4.4其他距离例若实数x、y满足，则的最小值是．解①若，则，即，不可能成立，故舍去．②若，则，即，又，因此，，即，即，即．同时，注意到等号成立条件为：，结合，画出图象，是一列孤立的点，易得的最小值即为点到点距离的平方，即为2．当然，也可以利用消元法，，结合对称轴，易知当时，取得最小值为2．例已知函数，若存在使得成立，则实数a的值是．解，其中当且仅当“和”时取等号，解得．§5移形换影，对称问题5.1中心对称1.点关于点的对称解题时，注意分清哪个点是对称中心，然后再利用中点坐标公式求解即可；譬如，点关于中心的对称点为．2.直线关于点的对称仍为直线，且这两条直线平行！【重点掌握法一，其他发散了解！】法一利用相关点代入法，也即是转化为点与点的对称，再回代即可！例如，直线关于中心的对称直线为：．法二在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程．法三求出一个对称点，再利用由点斜式得出直线方程．法四利用点到直线的距离相等，求出直线方程．例(1)

求点关于点的对称点的坐标；(2)

求与直线关于点对称的直线的方程．解(1)

；(2)

；例已知矩形ABCD相邻两个顶点，若矩形对角线的交点在x轴上，求另两个顶点C和D的坐标．解设矩形对角线的交点为Mx，0．因为MA=MB，则x+12+33=x+22+42，解得x=−5，所以M−5，0．设Cx1，例平行四边形ABCD的两边AB、AD所在的直线方程分别为、，其对角线的交点坐标为求另两边BC、CD所在的直线方程．解CD：x+y−11=0；BC：3x−y−16=0．5.2轴对称1.点关于直线对称法一点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数．例如，设点关于直线的对称点为：①当时，则有 ；【书写套路】②当时，点关于直线的对称点为．法二求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解．法三在平面直角坐标系中，设点关于直线的对称点为，则点的坐标公式为：（亦适用）．注(1)

记忆口诀中间，中减！中间的是减号，不是加号！！(2)

特殊地，①点关于直线的对称点分别为、．②点关于直线、的对称点分别为、．【求谁就把谁单独写到一边，然后取另一边即可．】(3)

其他的应用参考后续的专题总结．2.直线关于直线对称求直线关于直线对称直线．法一利用直线的两点式方程=1\*romani）如果两条直线相交，可以先求出交点，再求出上的任意一个点关于的对称点，最后由两点式求出直线的方程．显然，如果两条直线平行，只须求出一个对称点即可！=2\*romanii）或者直接求出上两个点A、B关于的对称点，再由两点式求出直线的方程.法二利用相关点代入法【思路清晰，但是计算量大了很多！！】设为所求直线上的任意一点，则关于直线的对称点的坐标适合的方程．法三若相交，则到的角等于到的角；若，则，且与的距离相等．例(1)

求点关于直线的对称点的坐标．(2)

求直线关于直线对称的直线的方程．解(1)

；(2)

法一易得交点坐标为，在直线上任取一点，求出点关于直线的对称点为，利用两点式可得直线的方程为．法二代入法；设直线上的动点关于直线的对称点为，列出中点和斜率两个方程，可得，又在直线上，代入化简即可！例(1)

求点关于直线的对称点B的坐标．(2)

已知直线与直线关于直线对称，求直线的方程．解这两小题利用上面的总结的规律即可轻松解决．(1)

；(2)

．例将一张坐标纸折叠，使得点与点重合，且点与点重合，则的值为．解；点与点重合，可知折痕所在的直线为，因此，点关于直线的对称点为，故．例过点作直线l，且夹在两条已知直线和之间的线段AB恰好被点M平分，求直线l的方程．解；法一：直译法，硬算！设出直线l，不过，需对l的斜率k是否存在分类讨论！法二：分析法，巧算！利用点是AB的中点，设得到点A的坐标，再利用点A在直线上，解得a的值，进而确定点B、A的坐标，求得直线的方程．练过点作一直线，使它被两直线和所截的线段以为中点，求此直线的方程．【】例(1)

已知的两条高所在直线的方程为和，且它的一个顶点是，求边BC所在直线的方程．(2)

已知的两条中线所在直线的方程为和，且它的一个顶点是，求边BC所在直线的方程．(3)

已知的两条角平分线所在直线的方程为和，且它的一个顶点是，求边BC所在直线的方程．解(1)

由于点A不在给出的两条高上，故AB、AC所在直线的方程分别为y−2=−32x−1和y−2=x−1，即3x+2y−7=0由3x+2y−7=0，x+y=0，得B7，−7．由因此，边BC所在直线的方程为2x+3y+7=0．(2)

点A不在给出的两条中线上，不妨设在中线上，则AB的中点在另一条中线上，故，解得，同理可得，因此，边BC所在的直线方程为．(3)

点A不在给出的两条角平分线上，同时，结合角平分线的性质可知，点A关于∠B、∠C的平分线的对称点都在直线BC上，因此，只需要求出点即可．易知顶点关于角平分线、的对称点分别为、，因此，边BC所在的直线方程为．例(1)

已知的顶点的坐标为，边上的中线所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为，求直线的方程．(2)

已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程．(3)

已知△ABC中顶点，AB边上的高线所在直线方程为，∠B的角平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程．解(1)

设，则，解得，接下来有两种方法：法一求出点关于的平分线的对称点，则点在直线上，易得直线的方程为．法二利用到角公式！易得斜率．根据，所以直线的方程为．(2)

易知直线的方程为，解方程组，可得．设，则，解得，于是直线BC的方程为．(3)

易得直线AB的方程为，故联立，解得；又点A关于角平分线对称点为，在直线BC上，故BC边所在直线的方程为．例(2005广东压轴)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．(1)

若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；(2)

求折痕的长的最大值．解(1)①

当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程；②当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为，所以A与G关于折痕所在的直线对称，有，即，即，故，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为．因此，折痕所在的直线方程，即．综上所述，可得折痕所在的直线方程为：当时，；当时，．(2)

当时，折痕的长为2；当时，折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为，，因此，，则，令，解得，故．综上所述，折痕的长度的最大值2．5.3光线的入射与反射根据平面几何知识和光学知识，入射光线和反射光线所在的直线关于法线对称轴对称，一般利用点的对称关系求解．例从点发出的光线经直线反射，若反射线恰经过点，求光线所在直线的方程和反射光线的方程．解求关于直线的对称点为，故光线所在直线的方程为；同理，要求反射光线的方程，可以先求点关于直线的对称点，再求直线的方程：，即为反射光线的方程．练习光线通过点，经直线反射，若反射光线通过点．求入射光线和反射光线所在直线的方程．解入射光线为，反射光线为．例(2013湖南理压轴)在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA发射后又回到点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等()．A．2 B．1 C． D．解以点A为原点建立直角坐标系，则，，，△ABC的重心为．直线BC的方程为，设，则点P关于直线BC的对称点为，即为，点P关于直线AC的对称点为．因此，直线的方程为：，代入点G，解得，即，故选D．练习如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射又回到点，则光线所经过的最短路程是()．A． B．6 C． D．答案选A．例已知，，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是．解设落到线段AE上的反射点为，则M关于直线AC：的对称点为，关于直线AB：的对称点为，故FD斜率为： ．例已知直线，一光线从点处射向轴上一点，又从点反射到上一点，最后又从点反射回点．(1)

试判断由此得到的是有限个还是无限个？(2)

依你的判断，认为是无限个时，求出所有这样的面积中的最小值；认为是有限个时，求出这样的线段的方程．解设Bm，0，点A关于x轴的对称点为A'1，−2，点B关于直线x−y+3=0根据光学性质，点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上．可得A'B的直线方程为BʹA的直线方程为y−2=−m−14x−1．由y−2=−m而当m=−3时，点B在直线x−y+3=0上，不能构成三角形，故这样的△ABC只有一个．例(1)(2003全国卷文)已知长方形的四个顶点、、、，一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），若与重合，则()．A． B． C． D．1(2)(2003全国卷理)已知长方形的四个顶点、、、，一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为，若，则的取值范围是()．A． B． C． D．解(1)C；(2)C；这两小题，处理方法一样，下面以第(2)小题为例进行说明．利用对称，最终将、、、和这五个点对称到一条直线上，如图所示，由于，易知对称后的到的水平距离，故．例(1)(2012大纲卷文压轴)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E发沿直线向F动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为()．A．8 B．6 C．4 D．3解(1)法一在正方形内，利用平行关系，依次作出各条边上的反射点将正方形的边长取为3，结合点E、F的位置，可知入射角的正切值为2，利用，作出点G，再利用平行关系，作GH∥EF，HI∥GF，…，依次作出其他的反射点，如图所示，易得当点P一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为6．法二方格网法由于反射点可以对称到一条直线上，因此，不妨画出精确的方格网，延长EF，观察直线EF和水平网格线的交点，判断该交点是否和点E的位置是一致的！如图，根据题目的选项，最多是8次，画出8个交点，显然，第8次为，是不成立的！对于，将这段路径还原到正方形中，易知也不成立，因此，只能在处成立，由于直线和方格网有6个交点，因此，当点P一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为6．(2)(2012大纲卷理压轴)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E发沿直线向F动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为()．A．16 B．14 C．12 D．10(2)法三正面推导如图所示，假设点为临界点，延长交方格网于点，则，且E、之间间隔了x个方格，F、间隔了y个方格，同时，注意AB的位置，易知x、y必定都是偶数．因此，由于，则，即，即，易知满足条件的最小x、y分别为，，因此，当点P一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为．法四将点E平移到原点，则直线第一次遇到格点，且x、y都是偶数，即为所求．一般化当（且两者互质）时，则当点P一次碰到E，P与正方形的边碰撞的次数为．练习已知单位正方形的四个顶点、、和，从A点向边CD上的点发出一束光线，这束光线被正方形各边反射（入射角等于反射角），光线经过正方形某个顶点后射出，则这束光线在正方形内经过的路程长度为 ．解直线AP的方程为：，取整数解，即为（如果是回到A，则是两倍），因此，如图所示，这束光线经过5次反射后从某个顶点射出，光线在正方形内经过的路程为图中AQ的长，因此，．5.4角平分线问题例若的顶点，，，求的角平分线所在的直线的方程．法一利用角平分线的方向向量，直接求出斜率！由于，，，，因此，的角平分线的方向向量为，又直线的方向向量为，故直线AT的斜率为．法二利用角平分线上的点到角的两边的距离相等易求得直线、的方程分别为：、．设的角平分线上任一点为，则，即，即或（外角平分线，舍去，可画出草图判断）．法三利用到角公式，求出斜率，或者夹角公式（须舍去一个），具体过程略．法四利用角平分线定理，结合定比分点，求出角平分线和对边的交点！易得，，设为直线与直线的交点，所以，设，则，解得，进而可得的方程为．法一：利用点关于直线的对称，求出角平分线上的一个点！例在中，点，边上的高所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，求．解解x−2y+1=0，y=0，得A−1，0，所以AB：设Cx0，y0，因为BC与BC边上的高线垂直，并且C关于直线y=0（∠A的平分线）的对称点Cʹ在直线AB上，所以，k所以，y0−2x0−1=−2，x例(2006重庆理)与向量、的夹角相等，且模为1的向量是()．A． B．或C． D．或法一设所求向量的平行向量为，则，故选B．法二设所求向量的平行向量为，，，利用夹角相等：，即．例(2005天津理)在直角坐标系xOy中，已知点和点，若点C在∠AOB的平分线上且，则．解；．§6奇思妙想，话直线系6.1直线系1.平行直线系与直线平行的直线系方程为．2.垂直直线系与直线垂直的直线系方程为3.过两交点的直线系过两相交直线和交点的直线系方程为，此直线系不包括．注推广到过曲线与的交点的方程为：.例已知点，和直线．(1)

求过点与直线平行的直线的方程；(2)

求过的中点与垂直的直线的方程．解(1)

设的方程为：，将点的坐标代入得，所以的方程为．(2)

设的方程为，将的中点代入得，所以的方程为．例已知直线，试求与直线的距离为的直线的方程；解设所求直线方程为，根据题意，解得或，所以，所求直线方程为或．例求经过直线和的交点，且平行于直线的直线方程．解设所在直线的为，整理得．因为所求直线平行于直线，所以，解得，故所求直线方程为．例求经过直线与直线的交点，且满足下列条件的直线的方程：(1)

与直线平行；(1)

与直线垂直．【适时的选用直线系！】解(1)

和的交点为．依题意，所求直线斜率，故所求直线方程为．(2)

依题意，所求直线斜率，故所求直线方程为，即．例(2008江苏)如图，设的顶点分别为，，，点在线段AO上的一点（异于端点），这里a、b、c、p均为非零实数，设直线BP、CP分别与边AC、AB交于点E、F，某同学已正确求得直线OE的方程为．请你完成直线OF的方程：()．解；由截距式可得直线AB：，直线CP：，点F是直线AB、CP的交点，利用过交点的直线系方程，可得，代入原点O，解得，可得直线OF的方程是．6.2直线系过定点问题的处理例已知a、b满足，则直线必过定点()．A． B． C． D．法一消元利用恒等式；将代入直线方程整理得，令，解得，故选D．法二利用比例式，即，故选D．例已知直线方程为．(1)

求证：不论取何实数值，此直线必过定点；(2)

过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程．解(1)

把直线整理为，令，解得，即点，因此，此直线必过定点．(2)

设经过点的直线与两坐标轴分别交于，．由中点坐标公式：，解得，故所求直线的方程为，即．§7到角当头，秒解交角1.到的角把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，范围是．注①到的角与到的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点．2.直线与的夹角是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是．3.到角公式和夹角公式设两直线方程分别为或；(1)

若为到的角，或；【逆时针＋后减去前！】(2)

若为和的夹角，则或；(3)

当或时，．注①上述与有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理！②直线到的角与和的夹角的关系：或．③到角公式在证明四点共圆时，是一个很常用的方法，具体参考后面圆锥曲线的四点共圆专题．例(2009全国卷Ⅰ文压轴)若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是：①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是___________.(写出所有正确答案的序号)解①⑤；由于两条平行线之间的距离为，结合图形，易知直线m和平行线的夹角为30°，进而可知①⑤正确．例已知直线，直线，，两平行直线间距离为，而过点的直线l被、截得的线段长为，求直线l的方程．解由于，故，结合，可得．又与间距离为，则，解得或(舍)．故点A坐标为．设l与的夹角为，l的斜率为k，的斜率为，根据题意，易得，即，故 ，解得或．因此，直线l的方程为或．例已知，角A为直角顶点，若AC、AB边上的中线分别落在直线和上，斜边长为10，则三角形的面积为．解此题若是按照题目的条件常规做，会比较繁琐一些，下面给出一种“模型剥离法”．由于角A为直角顶点，因此，不妨把A移到原点，同时让点B在x轴，C在y轴，如图，注意到平移过程的中线的夹角是不变的，因此，两条中线的夹角仍为．结合图形可知：，，易得．【不能利用平移前的斜率倍数关系！！】因此，，解得，即，即，即三角形的面积为25．例(2008全国卷Ⅱ理)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为()．A．3 B．2 C． D．解选A；令，，，，设底边为，由题意，到所成的角等于到所成的角，于是有，即．§8乾坤移位，将军饮马将军饮马，也就是“距离最短”问题，一般是利用三角形的边长关系，即“三角形的两边之和(差)大于(小于)第三边”，以及“两点之间，线段最短”进行解决．例(2013四川文压轴)在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是_______．解；画出图形，分析易知，四边形ABCD的对角线交点即为所求．类型一A、B两点在直线l的异侧(1)

如左图，在直线l上找一点P，使得最小？方法连结AB与直线l的交点，即为所求的点P．(2)

如右图，在直线l上找一点P，使得最小？方法作点B关于直线l的对称点，连结与直线l的交点，即为所求的点P． 类型二A、B两点在直线l的同侧(1)

如左图，在直线l上找一点P，使得最小？方法作点A关于直线l的对称点，连结与直线l的交点，即为所求的点P．(2)

如右图，在直线l上找一点P，使得最小？方法连结AB与直线l的交点，即为所求的点P．例(1)

已知两点，，直线，在直线l上求一点P，使得最小；(2)

已知两点，，直线，在直线l上求一点P，使得最小；(3)

已知两点，，直线，在直线l上求一点P，使得最大；(4)

已知两点，，直线，在直线l上求一点P，使得最大．答案(1)

；(2)

；(3)

；(4)

．例已知x、y满足，求函数的最小值．解此函数的最小值转化为“求直线动点与两定点、的距离之和的最小值”．易求得点关于直线的对称点为，连接交直线l于点P，则的最小值即为．例(1)

求函数的最小值；(2)

求函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的x值．解(1)

由于，因此，此函数的最小值转化为“求x轴上的动点与两定点、的距离之和的最小值”．画出图形，具体过程略，易求得最小值为．(2)

由于，因此，的最值可以转化为“求x轴上的动点与两定点、的距离之差的绝对值的最值”．画出图形，具体过程略，易求得在处取得最大值为，在处取得最小值为0．注对于形如或的无理函数的最值，一般可以尝试通过上述的方法进行求解，转化为动点与两定点距离和（差）的最值．例已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A、B为焦点且经过点P，则椭圆的离心率的最大值为．法一；由于，故求出a的最小值即可．又，只须求出的最小值即可，则问题转化为：在直线上找一点P使得最小．易知点关于直线的对称点为，因此，点A关于l的对称点为，则，即椭圆的离心率的最大值为．法二设椭圆方程为：，当椭圆和直线l相切时，a最小，离心率最大，利用等效判别式：，即．练习点，，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是()．A． B．2 C．3 D．答案选B；点P在直线上，先将最值转化到圆心上，设圆心、圆心，则的最大值为，只须求出的最大值，此时即为将军饮马问题了．例(2016年全国高中数学联赛浙江赛区预赛)已知向量，且．若，则的最小值为()．A． B．26 C． D．24解选B；如图，设，，则，此时问题转化为将军饮马问题：即在线段AB上求一点P，使得的值最小，设点O关于AB的对称点为C，则最小值为．例在平面直角坐标系中有两点、，以原点为圆心，以为半径作圆，与射线交于点M，与x轴正半轴交于点N，则当r变化时，的最小值为．解设，，则 ，问题等价于点、与x轴上的点连线段长的和最短，即为将军饮马问题！因此，作，则，当且仅当时，取得最小值．例在平面直角坐标系xOy中，点P在直线上，从点P向圆、分别引切线，切线长分别记为，则的最小值为．略解；设，结合切线长公式，整理易得： ．类型三造桥选址问题 (1)

如左图，A、B分别在两条平行线m、n的两侧，MN是与平行线垂直且夹在平行线间的定长线段，当MN在运动到何处时，的值最小？方法将点A向下平移MN的长度得到点，连结交直线n于点N，再作NM⊥m于点M即可．注这个就是所谓的“单桥问题”，类似的，也可以推广到“双桥问题”，如中间图所示．(2)

如右图，点A、B在直线l的同侧，MN是在直线l滑动的定长线段，当MN在运动到何处时，最小？方法将点A向右平移MN的长度得到点，作关于直线l的对称点，连结交直线l于点N，再将N向左平移MN的长度即可得到点M．例如图，已知，，，，问a为何值时，四边形APQB的周长最小？答案当时，四边形APQB的周长取得最小值为．类型四双对称问题(1)

如左图，点A在∠MON内，在射线OM、ON上分别找一点B、C，使得△ABC的周长最小？方法作点A分别作关于射线OM、ON的对称点、，连结与射线OM、ON的交点，即为所求的点B、C．(2)

如中间图，点A、B在∠MON内，在射线OM、ON上分别找一点D、C，使得四边形ABCD的周长最小？方法作点A、B分别作关于射线OM、ON的对称点、，连结与射线OM、ON的交点，即为所求的点D、C．(3)

如右图，点A、B分别为边OM、ON上的的定点，在边OM、ON上分别求点D、C，使得最小？方法作点A、B分别作关于射线OM、ON的对称点、，连结与射线OM、ON的交点，即为所求的点D、C．例在四边形ABCD中，，，则△ACD周长的最小值为．解；如是所示，分别作D关于直线BA、BC的对称点，则，，故△ACD周长的最小值为．例如图，，点C在∠AOB内，且．以C为圆心，1为半径作圆，点X、Y分别是射线OB、OA上异于O的动点，点P在圆C上运动，若圆C和∠AOB两边都没有交点，则的最小值为．解做P关于射线OA、OB的对称点，则，且，显然，只有当共线时，有最小，同时，欲使得最小，只须最小即可，显然，的最小值为2，故的最小值为．练习已知点A是圆上的动点，点B、C分别是y轴于直线上的动点，则△ABC周长的最小值为．解设点A关于y轴于直线上的对称点分别为、，则，，显然，只有当共线时，△ABC的周长取得最小值为．例已知是大小为的二面角，C为二面角内一定点，且到半平面、的距离分别为、6，A、B分别是半平面、内的动点，则△ABC周长的最小值为()．A． B． C．15 D．解选D；如图，设点C关于半平面、的对称点分别为、，则 ．情形五垂线段最短(1)

如左图，点A在∠MON外部，在射线OM上找一点P，使得PA与点P到射线ON的距离之和最小？方法过点A作AB⊥ON于点B，则AB与射线OM的交点P即为所求．(2)

如右图，点A在∠MON内部，在射线OM上找一点P，使得PA与点P到射线ON的距离之和最小？法一作点A关于射线OM的对称点，过点作⊥ON于点B，则与射线OM的交点P即为所求．法二作射线OB关于射线OM的对称射线，过点A作AB⊥于点B，则AB与射线OM的交点P即为所求．例已知正实数x、y满足，则的最小值为()．A． B． C．2 D．法一通法先行，利用判别式！令，并将代入，整理可得：，令，解得，当且仅当、时取得等号，故选A．法二利用几何意义，数形结合！设是线段上一点，则x为点P到y轴的距离，且．易求得原点O关于直线的对称点为，则 ．法三利用柯西不等式：，当且仅当，即时取得等号．注柯西不等式配的系数，一般都是特殊的数，熟练了，可以直接目测尝试；当然，试不出来，可以利用待定系数法得到：，令，解得．法四对于含有“”的结构，可以尝试利用极坐标代换；设，则即为，又，即等价于求的最小值．令，即为，令，解得．例已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别是、，若直线与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是．解；§9数形结合，曲线距离距离最小模型已知定点和动点，当取得最小值时，点的坐标满足关系式：．注(1)

这个模型的证明，可以利用，借助导数证得，不过并不严密，是有bug的，因此，此模型在大题中是不能直接使用的，切记切记！！(2)

如果从图像上理解这个模型，相当于是以定点P为圆心的圆，即为，此圆的半径r不断增大，直至和的图象相切时，r刚刚好取得最小值，亦即的最小值．例函数，因其图象像“囧”字，被称为“囧函数”．我们把函数的图象与y轴的交点关于原点对称的点称为函数的“囧点”；以函数的“囧点”为圆心，与函数的图象有公共点的圆，皆称为函数的“囧圆”．当时，有下列命题：①对任意，都有成立；②存在，使得成立；③函数的“囧点”与函数图象上的点的最短距离是；④函数的所有“囧圆”中，其周长的最小值为．其中的正确命题有．（写出所有正确命题的序号）【②③④】解是偶函数，故只需要作出的图象，再对称到y轴左边就可以了；分式函数的作图方法，只要渐近线画出来，图象基本也就定了，易知的渐近线为x轴和，如图所示，为囧点．①当时，显然，故①错误．②易知，而当时，，故②正确．③法一构造圆，利用切线垂直法【通法】利用以囧点J为圆心的圆和相切时临界，设此时的切点为，由于，即，，由于单调递增，观察可知，只能取．法二写出距离的表达式，然后求导或者利用不等式放缩，令，利用导数求解即可，求解也比较简单，故具体过程略．法三联想到的反函数求点到距离的最小值，由于也过点，且和互为反函数，显然，最小距离即为点到