数学优化训练：向量的减法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2向量的减法5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1。如图2—2—7所示,设=a，=b，=c,则等于(）图2-2—7A.a-b+cB。b—（a+c）C。a+b+cD.b-a+c解析：由于a-b=-=，+=,所以a-b+c=.答案:A2。化简-—等于（）A.0B。2C.—2D.2解析:因为—=,—=+=2,所以--=2=-2.答案:C3.如图2—2-8,已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b,=c,求.图2—2—8解：因为=，=-，=—，所以—=—,=—+.所以=a-b+c.4.在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点.设=a，=b,求作a-b，，.解：如图,a-b=—=，a—b=-=，b+a=+=。10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1。在平行四边形ABCD中，++等于（)A.B.C。D.解析：依据向量的加法和减法法则进行化简.解法一：++=（+）+=—=。解法二：在平行四边形ABCD中，=-（+），=—，所以++=-(+）+-=—=。答案：C2.化简(-）+（-）的结果为()A。B.0C。D.解析:(—)+（—)=(+)-(+）=-=—+=.答案：C3。已知向量a与b反向，则下列等式成立的是（)A。|a｜+|b｜=|a—b|B。｜a|—|b｜=|a—b｜C。｜a+b|=|a—b|D。｜a|+|b|=|a+b|解析:如下图,作=a，=-b，易知选A。答案：A4。平面内有四边形ABCD和点O，若+=+，则四边形ABCD的形状是______________.解析:∵+=+，∴—=-，即=.由向量相等的定义知ABCD,故四边形ABCD为平行四边形。答案：平行四边形5。如图2-2—9，ABCD是一个梯形，AB∥CD且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知=a,=b，试用a、b表示和.图2—2—9解：连结CN,N是AB的中点，∵ANDC，∴四边形ANCD是平行四边形=—=-b，又++=0，∴=-—=，=-=+=a-b。30分钟训练（巩固类训练,可用于课后)1.下面给出四个式子，其中值为0的是(）①++②+++③—+—④++-A.①②B。①③C。①③④D。①②③解析：由向量加减法的几何意义可知①③④是正确的。答案：C2.如图2—2—10，在平行四边形ABCD中,=a,=b,=c，=d，则下列运算正确的是()图2-2-10A.a+b+c+d=0B。a—b+c-d=0C。a+b-c-d=0D。a—b—c+d=0解析：a—b=，c-d=，+=-=0.答案:B3。非零向量a、b满足｜a｜=|b|=|a+b|=1，则|a—b|=________________。解析:由向量加法的平行四边形法则作图,易知OACB为菱形，故｜|=，即|a-b|=。答案：4.向量a、b的大小分别为2、8，则｜a+b｜的大小的取值范围是_______________。解析：（1）当a、b同向时，｜a+b｜=|a｜+｜b|=8+2=10;（2)当a、b反向时,|a+b｜=｜b｜-｜a|=8-2=6；（3）当a、b不共线时，由向量加法的三角形法则和三角形的三边关系，知|b｜—|a｜＜｜a+b|＜｜a|+|b|.故|a+b｜∈[6，10］.答案：［6,10］5。如图2—2—11在边长为1的正方形ABCD中,设=a，=b，=c，求｜a-b+c|。图2-2—11解:因为a—b=-=，过B作==c，则=+=a—b+c.因为AC⊥BD，且｜｜=||=,所以DB⊥BM，||=|｜=。所以｜｜=2,即｜a—b+c|=2。6。已知=a，=b,且｜a｜=|b|=4，∠AOB=60°。（1）求｜a+b|、|a—b|；（2）求a+b与a的夹角及a-b与a的夹角。解:如下图，以、为邻边作平行四边形OACB.∵｜a|=|b｜=4，∠AOB=60°，∴平行四边形OACB为菱形.（1）a+b=+=,a—b=-=.∴|a+b|=｜|=｜2｜=2××4=4,｜a—b|=||=4。（2）∵∠COA=∠AOB=30°,a+b与a所成的角即∠COA=30°，a-b与a所成的角即与所成的角∠CBA=60°。7。如图，若ABCD是一个等腰梯形，AB∥CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b,=c,试用a、b、c表示和。图2-2-12解：作CE∥DA交AB于E，作CF⊥AB于F∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形AECD是平行四边形.∴=-=-b.∵=—=—=a—c，∴=-=b+c—a。==—=(c-a)—b—c+a=a-c-b8。如图,在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点,=a,求—+。图2-2—13解：-+=++=+=2。∵D、F分别为BC、AB的中点，∴|DF|=｜AC|.∴2==—a。∴-+=