数学优化训练：向量的正交分解与向量的直角坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2。2向量的正交分解与向量的直角坐标运算5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知A（-5，-1），B（3，—2)，则的坐标为(）A。（8，1）B.(-4，)C.（-8，1）D.（—8，—1）解析：∵A（-5,—1），B(3，-2)，∴=(8，—1)。∴—=(—4,)。答案:B2.已知向量a=(3，m）的长度为5,则m的值为（）A.4B.±4C解析：作向量=a=(3，m),则A点坐标为（3，m），｜|==5,∴m=±4.答案:B3。设a=（4，3），b=（λ，6)，c=（-1,μ)，若a+b=c，则λ=___________，μ=___________.解析：a+b=(4,3）+（λ，6)=（4+λ，9)=c=（—1,μ).答案:-594。设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是（x1，y1），(x2，y2）.（1）当点P是线段P1P2的中点时，点P的坐标为___________；（2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，点P的坐标为___________。解：（1)如图（甲），由向量的线性运算可知=(+）=(）.（2）如图(乙),当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即或=2。(甲)（乙)如果=，那么=+=+=+（-）=+=（），即点P的坐标是()。同理，如果=2，那么点P的坐标是()。答案:（1）()（2)（）或(）10分钟训练(强化类训练，可用于课中）1.已知a=（—7，24），｜λa|=50，则λ等于（)A.±B。2C。—2解析:|λa｜=|λ｜｜a|=25｜λ｜=50｜λ｜=2.答案:D2。已知a=(—1，2）,b=(1,-2)，则a+b与a—b的坐标分别为（）A。（0,0），（—2，4）B.（0,0），(2,-4）C.（-2,4),(2，-4)D.(1，—1)，（-3，3)解析：a+b=(0，0），a-b=(-2,4）.答案：A3.已知=(x，y),点B的坐标为(-2,1)，则的坐标为（）A。（x—2,y+1)B。（x+2，y—1)C.(—2-x，1-y)D。(x+2，y+1）解析：=—,∴=—=（—2—x，1-y)。答案：C4.设a=（-1，2），b=（1，—1）,c=（3,-2)，用a、b作基底可将c表示为c=pa+qb,则实数p、q的值为（）A。p=4，q=1B。p=1，q=4C。p=0，q=4D。p=1,q=-4解析:c=（—p+q，2p—q),∴答案：B5。已知m=（sinα+cosα,sinα—cosα)，则m的长度为______________.解析:∵|m｜2=（sinα+cosα）2+(sinα-cosα)2=2sin2α+2cos2α=2，∴｜m|=.答案：6.如图2—2-4所示的直角坐标系xOy中，|a｜=4，|b｜=3,求a，b的坐标及B点的坐标.图2-2-4解：设a=（x，y）,则x=|a|cos45°=4×，y=｜a|sin45°=4×，即a=（);b相对于x轴正方向的转角为120°，设b=(u,v)，∴u=|b|cos120°=3×(）=，v=|b｜sin120°=3×。∴b=(，）.又的坐标即为A点的坐标，∴A(）,b==（，）.设B(a，b)，∴(）=(a—,b-)，∴即B（，）。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.设A(1,2），B（4,3），若向量a=（x+y，x—y）与相等，则（）A。x=1，y=2B.x=1,y=1C.x=2，y=1解析：=(3,1），由=a，得答案:C2。△ABC的两个顶点为A(4，8），B（—3，6），若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则C的坐标为（）A.（-8，3）B.(-3，4）C.(3，-8)D.（-4,3）解析：设C=(x，y）,则解之，得∴C=(3，—8）.答案：C3。若M（3，—2)，N(—5，-1）,且=，则P点坐标为（）A.（—8，-1)B。(-1，)C。（1，）D.(8，—1)解析：P为的中点。答案：B4.若向量a=(1，1），b=(1，—1），c=（—1，2），则c等于（）A.a+bB.C.D.解析：设c=ma+nb，则(-1,2）=m(1,1)+n（1，-1)=（m+n,m—n）.∴答案：B5。平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1)，B(-1,3)，若点C满足=α+β，其中α，β∈R,且α+β=1，则点C的轨迹方程为（）A.3x+2y-11=0B.（x—1)2+(y-2）2=5C。2x-y=0D。x+2y—5=0解析：已知=(3,1)，=(—1，3），设=(x，y)，∵=α+β,∴（x，y）=α(3，1)+β（—1，3）.∴又∵α+β=1,∴x+2y—5=0.答案:D6。已知平行四边形ABCD中，=（3，7)，=(-2，3），对角线AC，BD交于点O，则的坐标为（）A。(，5）B.(，5）C。(，—5)D.（，-5)解析：∵=+=(—2，3)+（3，7）=(1,10），∴=(-1，-10).∴==（，—5）。答案:C7.已知点A（3,-4)，B(-1，2），点P在直线AB上，且｜｜=2｜|，则点P的坐标为(）A。(,0）B。（—5，8）C.(,1）或（—4,7）D.(，0)或(—5，8）解析：由题意知=±2,设P(x，y）,则（3-x，-4—y）=±2(-1—x，2—y)，∴答案：D8.（2006贵州模拟，11）函数y=sinx的图象按向量a=（，2)平移后与函数ｇ(x)的图象重合，则ｇ(x）的表达式是（)A。cosx—2B.-cosx-2C.cosx+2解析：设平移前后对应点的坐标分别为（x′,y′)，（x，y）,则x′-x=且y′-y=-2，代入原函数式得y-2=sin(x+），整理得g（x）=-cosx+2.答案：D9.已知A（，—1），则所在直线与x轴所夹的锐角为_____________。解析:易知点A在第四象限，作AH⊥x轴于H点，则在Rt△AHO中，AH=1,HO=，∴tan∠HOA=,∠HOA=30°。答案：30°10。(1)已知2a+b=(—4,3），a-2b=（3，4），求向量a、b（2)x轴的正方向到a的夹角为60°，且|a｜=2，求a的坐标。解：（1)①×2+②得5a=（-8+3，6+4），ab=(-4,3)—2（—1,2)=(—4,3)-(—2，4)=(—2，—1）.(2)∵x=｜a|·cos60°=2·=1,y=｜a|·sin60°=2×，∴a=（1，）。11.用向量法：求cos+cos+cos的值.解：将边长为1的正七边形ABCDEFO如图放入直角坐标系中，则=（1，0)，=(cos，r