数学优化训练：圆的一般方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.3.2圆的一般方程5分钟训练（预习类训练,可用于课前)1。若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（)A。m<B。m〈10C。m〉D.m≤解析：方程x2+y2-x+y+m=0，变形为(x-)2+(y+）2=—m,方程表示圆，∴—m＞0，即m＜.答案：A2.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆(）A。关于x轴对称B。关于原点对称C。关于直线x-y=0对称D。关于直线x+y=0对称解析：考查方程表示圆的判定、直觉思维能力.圆的方程化为(x+a）2+（y—a）2=2a2，圆心（-a,a)。由圆心坐标易知圆心在x+y=0上，∴圆关于x+y=0对称.答案:D3。已知圆x2-4x-4+y2=0的圆心是点P，则点P到直线x-y-1=0的距离是_____________.解析:本题考查圆的一般方程向标准方程的转化和点到直线的距离公式。由x2-4x—4＋y2＝0得(x—2）2+y2=8，即圆心为（2,0），根据点到直线的距离公式可得。答案：10分钟训练（强化类训练，可用于课中)1.若方程a2x2+(a+2）y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是（)A。—1B.2C。—1或2解析：本题考查圆的一般方程，由可得a=—1或a=2（舍）。答案：A2。方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示圆,当该圆面积最大时,圆心坐标为()A.(0,-1)B。（1,-1)C。（-1,0）D.（—1，1）解析:由半径最大可求k值为0,进而求圆心坐标。答案：A3。若直线l将圆x2+y2-4x—2y=0平分,并且l不经过第二象限，则直线l的斜率的取值范围是()A。［1,2］B。［,+∞)C.[2,+∞)D。（—∞,]解析：由已知，l过圆的圆心C（2,1),又l不过第二象限,画图分析,知直线l的斜率k≥kOC=.答案：B4.试判断A（1，2)，B（0，1），C（1，—6),D(4，3）四点是否在同一圆上。解：因为线段AB、BC的斜率分别为kAB=1，kBC=-7，kAB≠kBC，所以A、B、C三点不共线。过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2-8x+4y—5=0。因为42+32-8×4+4×3—5=0，所以点D在此圆上.故A、B、C、D四点共圆.5.已知方程x2+y2—2(t+3)x+2（1-4t2）y+16t4+9=0.(1）t为何值时，方程表示圆？（2）t为何值时，方程表示的圆半径最大?请求出半径最大时圆的方程。解:(1）方程表示圆的条件是［-2（t+3）］2+[2(1—4t2）]2—4(16t4+9)＞0,即7t2-6t-1＜0.解得＜t＜1。∴当＜t＜1时,方程表示圆.(2)当＜t＜1时，方程表示圆，其半径为r==.当t=时，半径有最大值,rmax=,此时圆心坐标为（t+3，4t2-1），即（）。故半径最大时，圆的方程为(）2+（）2=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a—1=0表示圆，则a的取值范围是(）A。a<—2B。<a〈0C.—2<a<0解析:由D2+E2-4F＞0可得。答案:D2。曲线x2+y2+22x—22y=0关于()A。直线x=2轴对称B.直线y=-x轴对称C。点（-2,2）中心对称D。点(-2,0)中心对称解析：将圆方程化为标准方程得(x+）2+（y—)2=4.圆心()在直线y=-x上，故圆关于y=—x轴对称.故选B。答案：B3。设A、B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点,则线段AB的垂直平分线的方程是（)A。4x—3y—2=0B.4x-3y-6=0C。3x+4y+6=0D.3x+4y+8=0解析：即求过圆心(0，-2)且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程，即y+2=x,整理，得4x—3y—6=0.答案：B4。圆x2+y2-4x-4y—10=0上的点到直线x+y—14=0的最大距离与最小距离的差是（）A.36B。18C。解析：x2+y2-4x-4y—10=0(x—2)2+（y-2)2=18，即圆心为（2,2),半径为.由点到直线的距离公式得，由数形结合思想可得：该圆上点到已知直线的距离的最小值为,最大值为，故所求距离之差为。答案：C5。过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（)A.y=B.y=C.y=D.y=解析：设直线方程为y=kx,由圆心(-2，0)到直线kx-y=0(k＞0)的距离等于圆的半径1，得=1，解得k=,所以所求直线方程为y=。答案：C6。已知A（—2，0)、B(0,2）,点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则△ABC的面积的最大值为()A.B。C。D。解：要使△ABC的面积最大，即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上点中到直线AB距离的最大值，应为圆心到直线AB距离d与半径r之和。由于圆心C(1,0)到直线AB：x—y+2=0的距离d为,即C到AB的距离的最大值为+1,故△ABC面积的最大值为×|AB｜×(+1）=.答案:D7。直线x-y+4=0被圆(x+2）2+（y—2)2=2截得的弦长为（）A.B.C.D。解析：利用圆半径r、弦心距d、弦的关系：弦长为。答案：B8.设圆x2+y2—4x—5=0的弦AB的中点为P（3，1)，则直线AB的方程是_______________。解析:直线AB的方程与点P和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得。答案：x+y-5=09.已知3x+4y—10=0与圆x2+y2-5y+F=0相交于A、B两点，且OA⊥OB(O是原点），则F=_______________.解析：易得圆x2+y2—5y+F=0的圆心坐标为（0,），它在3x+4y—10=0上，再由OA⊥OB,可知圆x2+y2-5y+F=0过原点O，将O（0，0）代入圆方程可求得F=0.答案：010。已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2—2x—2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为___________。解析：将圆的一般方程配方化为标准方程(x-1)2+(y—1）2=1,圆心C(1，1），r=1，如图所示。方法一：从运动观点看问题：当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积SRt△PAC=d（P，A)·d（A，C)=d（P，A）越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当P点从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小.显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时d（P，C）==3，从而d（P,A)=.∴S四边形PACB的最小值=2··d（P,A)·d(A，C)=。方法二：利用等价转化的思想:设P点坐标为(x,y），则d(P，C)=,由勾股定理及|AC｜=1，得d(P，A)=.从而S四边形PACB=2S△PAC=2·d(P，A）·d（A,C）=d(P,A)=,从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求｜PA｜的最小值，即定点C(1,1）与直线上动点P（x，y）的距离的平方的最小值，它也就是点C（1，1）到直线3x+4y+8=0距离的平方，即d2=(）2=9。∴S四边形PACB最小值=。方法三:利用函数的思想.将方法二中S四边形PACB=中的y,从3x+4y+8=0中解出,代入关于x的一元函数，进而用配方法求最值,也可得S四边形PACB的最小值=。答案：11.已知实数x、y满足关系式：x2+y2-6x-4y+12=0,点P(x,y)，A(-1,0),B(1,0)。（1）求的最大值与最小值；(2）求x2+y2的最大值与最小值；（3）求x—y的最大值与最小值。解：(1）设=k，则y=kx，当直线y=kx与圆x2+y2—6x—4y+12=0，