新高考数学二轮复习讲义专题14 数列的通项公式常考求法 原卷版

专题14数列的通项公式常考求法【考点专题】1．Sn和an关系法求数列通项（作差法）：(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))转化为关于an的关系式，再求通项公式．(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．2．累加法当出现an＋1＝an＋f(n)时，用累加法求解．3．累乘法当出现eq\f(an＋1,an)＝f(n)时，用累乘法求解．4．构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列SKIPIF1<01、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；2、SKIPIF1<0直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；3、构造等比数列SKIPIF1<0类型2：用“同除法”构造等差数列SKIPIF1<01、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式；2、两边同除SKIPIF1<0；3、构造数列SKIPIF1<0为等差数列类型3：用两边同时取倒数构造等差数列（1）1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；2、两边同时取倒数转化为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型；3、构造数列SKIPIF1<0为等差数列.类型3：用“同除法”构造等差数列（2）SKIPIF1<01、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；2、两边同除SKIPIF1<0；3、构造出新的等差数列SKIPIF1<0类型4：用“待定系数法”构造等比数列an＋1＝pan＋qan－11、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；2、可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根；3、若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．【方法技巧】常见的裂项公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.给出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的递推关系，求SKIPIF1<0，常用思路是：一是利用SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0的递推关系，再求其通项公式；二是转化为SKIPIF1<0的递推关系，先求出SKIPIF1<0与n之间的关系，再求SKIPIF1<0.【核心题型】题型一：累加法求通项公式1．（2022·上海虹口·统考一模）已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正整数）．则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（

）A．196 B．197 C．198 D．199题型二：累乘法求通项公式4．（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则它的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型三：Sn和an关系法求数列通项7．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0为单调递增数列，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）已知数列满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前2023项和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0中的最大项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型四：构造法求通项公式10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前10项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．211．（2022·全国·高三）若数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2022·江西萍乡·统考一模）数列SKIPIF1<0各项均是正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线过点SKIPIF1<0，则下列命题正确的个数是（

）．①SKIPIF1<0；②数列SKIPIF1<0是等比数列；③数列SKIPIF1<0是等比数列；④SKIPIF1<0．A．1 B．2 C．3 D．4题型五：观察法求通项公式13．（2022·全国·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，现将大衍数列各数按照如图排列形成一个数表，则该数表中第8行第3个数是（

）A．152 B．480 C．512 D．84014．（2021·广东珠海·统考一模）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0列的数记为SKIPIF1<0，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（

）A．54 B．18 C．9 D．615．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0).此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列SKIPIF1<0，又记数列SKIPIF1<0满SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0题型六：递推公式写通项公式16．（2021·甘肃武威·武威第六中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前n项的和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．数列SKIPIF1<0不具有单调性18．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数f（x）的定义域为R，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且对任意的实数x，SKIPIF1<0，等式SKIPIF1<0成立，若数列{SKIPIF1<0）满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【高考必刷】一、单选题19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2023·全国·校联考模拟预测）记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．若等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则下列结论正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0为等比数列 B．数列SKIPIF1<0为等比数列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2023秋·河南开封·高三统考期末）在数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则（

）A．SKIPIF1<0是等比数列 B．SKIPIF1<0是等比数列C．SKIPIF1<0是等比数列 D．SKIPIF1<0是等比数列25．（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若对任意的正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则满足等式SKIPIF1<0的所有正整数SKIPIF1<0为（

）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或426．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）杨辉是南宋杰出的数学家,他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述,他给出了著名的三角垛公式:SKIPIF1<0.若正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,且满足SKIPIF1<0,数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0,则根据三角垛公式,可得数列SKIPIF1<0的前10项和SKIPIF1<0（

）A．440 B．480 C．540 D．58027．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．（2023春·广东汕尾·高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智SKIPIF1<0如南宋数学家杨辉在《详解九章算法SKIPIF1<0商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关SKIPIF1<0如图是一个三角垛，最顶层有SKIPIF1<0个小球，第二层有SKIPIF1<0个，第三层有SKIPIF1<0个，第四层有SKIPIF1<0个，则第SKIPIF1<0层小球的个数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<029．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知数列SKIPIF1<0，对于任意正整数SKIPIF1<0，都满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<030．（2022秋·云南·高三云南师大附中校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数（例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022二、多选题31．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知递增的正整数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．以下条件能得出SKIPIF1<0为等差数列的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<032．（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0，它的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0是递减数列 B．当SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值C．当SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都没有最小值33．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是等比数列C．SKIPIF1<0是单调递增数列 D．SKIPIF1<034．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则下列四个结论中，正确的是（

）A．SKIPIF1<0的值为2B．数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0C．数列SKIPIF1<0为递减数列D．SKIPIF1<035．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形SKIPIF1<0，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线SKIPIF1<0.重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，….设雪花曲线SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，边数为SKIPIF1<0，周长为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则下列说法不正确的是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<036．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……..”.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的一道数列题，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50………..记大衍数列为SKIPIF1<0，则下列命题正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0