方法技巧专题32 数形结合（解析版）

方法技巧专题32数形结合解析篇一、数形结合知识框架二、数形结合思想应用类型【一】函数图象数形结合法1.函数图象数形结合法：1.函数图象数形结合法：即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题；②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象；③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化；④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．2.熟练掌握函数图像的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．1.例题【例1】设定义在上的函数是最小正周期为2π的偶函数，是的导函数．当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0，π)且x≠eq\f(π,2)时，.则函数y＝f(x)－sinx在[－3π，3π]上的零点个数为()A．4 B．5C．6 D．8【解析】∵当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，f(x)是最小正周期为2π的偶函数，∴当x∈[－3π，3π]时，0≤f(x)≤1.∵当x∈(0，π)且x≠eq\f(π,2)时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))f′(x)>0，∴当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)为单调减函数；当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，f(x)为单调增函数，∵当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1，定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y＝sinx和y＝f(x)的草图如图，由图知y＝f(x)－sinx在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C.【例2】在上定义的函数是偶函数,且,若在区间上是减函数,则Ａ．在区间上是增函数，在区间上是增函数Ｂ．在区间上是增函数，在区间上是减函数Ｃ．在区间上是减函数，在区间上是增函数Ｄ．在区间上是减函数，在区间上是减函数【解析】f（x）=f（－x）=f（2－x），故f（x）的草图如图：由图可知，B正确。2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的所有实数解之和为()A．－7 B．－6C．－3 D．－1答案A【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cosπx|的图象，由图知关于x的方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的实数解有7个．不妨设7个解中x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，则由图得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，所以方程f(x)＝|cosπx|在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(1,2)))上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.【练习2】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1x≤0，,fx－1x＞0，))若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0,1)C．(－∞，1) D．[0，＋∞)答案C【解析】函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1x≤0，,fx－1x＞0))的图象如图所示，当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．【二】几何意义数形结合法—线性规划问题1.几何意义数形结合法：1.几何意义数形结合法：即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义．②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．2.解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式：一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．1.例题【例1】如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，则eq\f(y,x)的最大值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)【解析】方程(x－2)2＋y2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径为r＝eq\r(3)(如图)，而eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A在以M(2,0)为圆心，以eq\r(3)为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值．由图可知当∠OAM在第一象限，且直线OA与圆M相切时，OA的斜率最大，此时OM＝2，AM＝eq\r(3)，OA⊥AM，则OA＝eq\r(OM2－AM2)＝1，tan∠AOM＝eq\f(AM,OA)＝eq\r(3)，故eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，故选D.答案D【例2】已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣mx取得最大值时有唯一的最优解（1，3），则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．0＜m＜1 C．m＞1 D．m≥1【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由z=y-mx,得y=mx+z,即直线的截距最大，z也最大当m=0,此时y=z,不滴足条件；当m>0,直线y=mx+z的斜率k=m>0,要使目标函数最大时有唯一的最优解（1，3），则直线y=mx+z的斜率m>1当m<0,目标函数y=mx+z的斜率k=m<0,不滿足題意.综上，m>1.故选：C. :2.巩固提升综合练习【练习1】设点P(x，y)满足，则eq\f(y,x)－eq\f(x,y)的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，1)) D．[－1,1]答案B【解析】作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－y＋1≥0，,x≥1，,y≥1))所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A(2,1)，B(1,2)，令t＝eq\f(y,x)，f(t)＝t－eq\f(1,t)，根据t的几何意义可知，t为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA，OB，显然OA的斜率eq\f(1,2)最小，OB的斜率2最大，即eq\f(1,2)≤t≤2.由于函数f(t)＝t－eq\f(1,t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递增，故－eq\f(3,2)≤f(t)≤eq\f(3,2)，即eq\f(y,x)－eq\f(x,y)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2))).【练习2】若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是A．（，1） B．（，） C．（，） D．（，2）【答案】D【解析】∵函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，∴，求得，它所表示的区域为△ABC内的部分，【三】圆锥曲线数形结合法1.圆锥曲线数形结合法：1.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解；③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．2.破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种：①通过数形结合建立相应的关系式；②通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．1.例题【例1】已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))C．(1,2) D．(1，－2)【解析】点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F，过点P作准线的垂线，垂足为S，则|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故当S，P，Q三点共线时取得最小值，此时P，Q的纵坐标都是－1，设点P的横坐标为x0，代入y2＝4x得x0＝eq\f(1,4)，故点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1))，故选A.答案A【例2】设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.eq\r(5)答案D【解析】如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).2.巩固提升综合练习【练习1】已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知，△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq\f(1,2)，故使△APF的周长最小的点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).【练习2】如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是() B． C． D．【答案】B【解析】抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1，圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r＝2，∴|FB|＝2，|AF|＝yA+1，|AB|＝yB﹣yA，∴三角形ABF的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3，∵1＜yB＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．【四】数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.1.例题【例1】函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案B【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数y1＝2x和y2＝eq\f(1,x)的图象，如图所示.函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点个数等价于2x＝eq\f(1,x)的根的个数，等价于函数y1＝2x和y2＝eq\f(1,x)图象的交点个数.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.【例2】方程lgx=sinx的实根的个数为 （）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】画出y=lgx和y=sinx在同一坐标系中的图象，如图所示，两函数图象有3个交点，选C.2.巩固提升综合练习【练习1】若关于x的方程eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)),x＋4)＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))由图可得0<eq\f(1,k)<4，解得k>eq\f(1,4).所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).【练习2】已知函数f(x)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋1，x≤1，,lnx，x>1，))则方程f(x)＝ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是________.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,e)))【解析】画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，要使直线y＝ax与函数f(x)有两个交点，当y＝ax与y＝eq\f(x,4)＋1平行时，显然有两个交点，此时a＝eq\f(1,4).当a>eq\f(1,4)时，只需求出当直线y＝ax和曲线y＝lnx相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,e))).【五】数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.1.例题【例1】设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A.(－∞，－1] B.(0，＋∞)C.(－1，0) D.(－∞，0)答案D④当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,2x＞0，))即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0).故选D.方法二∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))∴函数f(x)的图象如图所示.由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.此时x≤－1.当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x).此时－1＜x＜0.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.【例2】若不等式|x－2a|≥eq\f(1,2)x＋a－1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))解析作出y1＝|x－2a|和y2＝eq\f(1,2)x＋a－1的简图，如图所示.依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≤2－2a，,a－1<0，))故a≤eq\f(1,2).2.巩固提升综合练习【练习1】设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________.答案[eq\r(2)－1，＋∞)【解析】集合A是圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有eq\f(|m＋1|,\r(2))＝1，又m>0，所以m＝eq\r(2)－1，故m的取值范围是[eq\r(2)－1，＋∞).【练习2】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2ax，x≥1，,2ax－1，x<1，))若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围为________.答案[0，＋∞)解析根据题意知f(x)是一个分段函数，当x≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x＝a；当x<1时，是一个一次函数.当a>1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a<0时，如图(3)所示，此时函数在R上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a≥0.【六】数形结合思想在圆与直线问题中的应用在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.1.例题【例1】已知实数x、y满足x2＋y2=3（），求（1），（2）b=2x+y的取值范围。【解析】（1）将m看作半圆x2＋y2=3（）上的点M（x，y）和定点A（－3，－1）的直线的斜率。由图1可知，（k1、k2分别表示直线AM1、AM2的斜率），且。直线AM2的方程是，有。所以，。（2）将b看作斜率为－2，过半圆x2＋y2=3（）上的点P（x，y）的直线在y轴上的截距。由图2可知，（n1、n2分别表示直线BP1、CP2的截距）。直线BP1的方程是，则n1=。设直线BP2的方程是2x＋y＋c=0，有。所以，。【例2】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案B【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，可知|OP|＝eq\f(1,2)|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.2.巩固提升综合练习【练习1】过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【练习2】已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.答案2eq\r(2)【解析】连接PC，由题意知圆的圆心C(1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S△PAC＝eq\f(1,2)|PA||AC|＝eq\f(1,2)|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC|＝eq\f(|3×1＋4×1＋8|,\r(32＋42))＝3，从而|PA|＝eq\r(|PC|2－|AC|2)＝2eq\r(2)，所以(S四边形PACB)min＝2×eq\f(1,2)×|PA|×|AC|＝2eq\r(2).课后自我检测1.若方程的解为，则不等式的最大整数解是A.B.C.D.【答案】B2.已知，如果方程ax=logbx，bx=logax，bx=logbx的根分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x3＜x1＜x2 B．x3＜x2＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x1＜x2＜x3【答案】C3.若方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则的取值范围是【答案】（，1）；设【解析】设，据题意,作出满足以上不等式组的可行域如图阴影部分所示（不含边界）其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0），设点E（a，b）为区域内的任意一点，则k=，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率．∵KAD=，kCD=，结合图形可知：KAD＜k＜KCD，∴k的取值范围是（，1）4.已知圆M过两点C（1，﹣1），D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上，设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B是切点，则四边形PAMB面积的最小值为。【答案】2；【解析】设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），根据题意得，解得：a=b=1，r=2，故所求圆的方程为：；四边形的面积为：5.已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5﹣4B．1C．6﹣2D．【答案】A【解析】如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=5﹣4．故选A．6.当满足条件时，变量的取值范围是（）B.C.D.【解析】由题意在坐标系下画出|x|+|y|≤1的图象如右图阴影部分，①若x=0时，|y|≤1,此时u=0;②若x≠0时，变量可看成点A(0，3)与可行域内的点B连线斜率k的倒数,所以，k∈(-∞,-3]∪[3,+∞),7.已知A(1,1)为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|＋|PA|的最大值和最小值．【解析】由eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1可知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2，左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2,0)．由椭圆定义，知|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|，∴|PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|.如图，由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝eq\r(2－12＋0－12)＝eq\r(2)，知－eq\r(2)≤|PA|－|PF2|≤eq\r(2).当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“＝”，当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“＝”，即|PA|－|PF2|的最大、最小值分别为eq\r(2)，－eq\r(2).于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋eq\r(2)，最小值是6－eq\r(2).8.椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是()A.eq\f(\r(5),5)B．eq\f(6\r(5),5)C．eq\f(8\r(5),5)D．eq\f(4\r(5),5)答案C【解析】如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(8\r(5),5)，又c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5－4)＝1，所以此时△FMN的面积S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(8\r(5),5)＝eq\f(8\r(5),5).故选C.9.恒成立，则实数的取值范围是________．答案eq\f(1,3)≤a＜1【解析】当0＜x＜eq\f(1,3)时，函数y＝8x－1的图象如图中实线所示．∵∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，8x＜logax＋1恒成立，∴当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))时，y＝logax的图象恒在y＝8x－1的图象的上方(如图中虚线所示)．∵y＝logax的图象与y＝8