初中数学同步八年级上册沪科版《压轴题》专题11全等三角形模型之一线三等角和三垂直模型含答案及解析

专题11全等三角形模型之一线三等角和三垂直模型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2模型一、一线三等角模型 2模型二、分三垂直模型 5压轴能力测评 9模型三、一线三等角模型【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.模型四、三垂直全等模型【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。【常见模型】模型一、一线三等角模型例．如图，点A，B的坐标分别是和，分别以点A，B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点C，连接，．则点C的坐标为（

）

A． B． C． D．【变式训练1】．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（

）A． B．2 C．4 D．【变式训练2】．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【变式训练3】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C． D．【变式训练4】．如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为．

【变式训练5】．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为．【变式训练6】．（1）如图（1），在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E．求证：．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【变式训练7】．如图，在中，．(1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：．(2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！【变式训练8】．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．【积累经验】（1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；【类比迁移】（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．【变式训练9】．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．

(1)当时，°，°；点D从B向C运动时，逐渐变（填“大”或“小”）；(2)当等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．模型二、分三垂直模型例．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【变式训练1】．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【变式训练2】．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，以AB为边向上作正方形ABCD，四边形OEFG是其内接正方形，若直线OF的表达式是y＝2x，则的值为（

）A． B． C． D．【变式训练4】．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为．【变式训练5】．如图，，分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，则与的数量与位置关系为．【变式训练6】．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．(1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．(2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系，(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长．【变式训练7】．在中，，，直线经过点，且于，于．(1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．【变式训练8】．如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【变式训练9】．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．1．如图，为等腰直角三角形，若，，则点的坐标为．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是．3．如图，中，，则点B的坐标为．4．如图1，在中，，，于点，，点在上，射线，分别交，两边于，两点，(1)当点与点重合时，如图2所示，直接写出：①与之间的数量关系：_____________________；②与之间的数量关系：_______________________；(2)当点在线段上时（不与端点重合），如图1所示，则与之间的数量关系：．5．综合与实践：如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为，．(1)猜想线段、、三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，线段、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；6．已知：如图（1），在平面直角坐标系中，点、点分别在轴、轴的正半轴上，点在第一象限，，点坐标为，点坐标为，且．(1)求出m，n的值；(2)求点的坐标，并证明为等腰直角三角形；(3)在坐标平面内有点（点不与点重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请求出满足条件的点的坐标．7．如图，在中，，点D是线段BC上一个动点，点F在线段上，且，．垂足E在的延长线上．(1)如图1，当点D与点C重合时，线段和的数量关系是______；(2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由．8．如图，在中，，，为的中线，D在上，，垂足为H，连接．求证：(1)；(2)．9．在平面直角坐标系中A、B两点的坐标分别为、，且a、b满足，点C为x轴负半轴上一点，．(1)求点C的坐标；(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，设运动的时间为t秒，连接、，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内以线段为斜边作等腰直角，求点M的坐标．10．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．(2)如图3，在中，D是上一点，，求点C到边的距离．(3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，求的值．

专题11全等三角形模型之一线三等角和三垂直模型目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2模型一、一线三等角模型 2模型二、分三垂直模型 13压轴能力测评 27模型三、一线三等角模型【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.模型四、三垂直全等模型【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。【常见模型】模型一、一线三等角模型例．如图，点A，B的坐标分别是和，分别以点A，B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点C，连接，．则点C的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作，并作轴于点，首先确定为等边三角形，然后利用“一线三等角”证明，从而利用全等三角形的性质以及解直角三角形的方法求出和，即可得出结论．【详解】解：如图，作，并作轴于点，

由题意，为等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴点．故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等，理解等边三角形的性质，灵活构造全等三角形并证明是解题关键．【变式训练1】．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】要求的面积，想到过点作，垂足为，因为题目已知，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，利用勾股定理求出的长，最后证明即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，在中，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，的面积，，，故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．【变式训练2】．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】A【分析】设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，然后证明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，由题意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=CB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CD=BE=2xcm，∵，，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．【变式训练3】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．【变式训练4】．如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为．

【答案】10【分析】先证明，再证明，即可作答．【详解】，又，，，，，，，，，，故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．【变式训练5】．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为．【答案】8【分析】由线段CD的长求的面积，故过B作CD的垂线，则由三角形面积公式可知：，再由题中的和等腰直角三角形ABC，即可求证，最后由即可求解．【详解】解：过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E故答案是：8．【点睛】本题主要考查全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线．【变式训练6】．（1）如图（1），在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E．求证：．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．（1）由直角三角形的性质及平角的定义得出，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可；（2）与（1）类似，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．【详解】解：（1）∵直线m，直线m，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴．（2）成立．证明如下：∵，∴，∴，在和中，∴，∴，，∴．【变式训练7】．如图，在中，．(1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：．(2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！【答案】(1)见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导，最后证明，直接可证．（2）利用及是的外角，可以推出，再利用可以判定，再利用全等的性质导边即可证明．【详解】（1）证明：∵于点M，于点N；∴；∴；∵，∴；∴；在和中，∴；∴，；∴．（2）成立．理由如下：设；∴；∴；在和中；∴；∴，；∴；故成立．【变式训练8】．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．【积累经验】（1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；【类比迁移】（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）与的面积之和为4．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到；（2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到．（3）由，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出F即可得出结果．【详解】解：（1），理由如下，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．（2）仍然成立，理由如下，∵，，，∵，∴，∴，；（3）∵，∴，在和中，，∴，∴，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，∴，，∵，∴，∵，∴与的面积之和为4．【变式训练9】．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．

(1)当时，°，°；点D从B向C运动时，逐渐变（填“大”或“小”）；(2)当等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由．【答案】(1)；；小(2)当时，(3)可以；的度数为或【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小；（2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得；（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）解：，，点D从B向C运动时，逐渐变小，故答案为：；；小．（2）解：当时，，理由：，，又，∴，，又，，；（3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形；理由：时，，，，，，是等腰三角形；时，，，，，的形状是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．模型二、分三垂直模型例．如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【答案】C【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长．△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC=BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的长即可．而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC=AD，BE=DC；∵DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是3cm．故选C．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【变式训练1】．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【分析】根据题意证明即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴，∵∠ACE＝90°，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．【变式训练2】．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm【答案】C【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD和△CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和．【分析】解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴的负半轴和正半轴上，以AB为边向上作正方形ABCD，四边形OEFG是其内接正方形，若直线OF的表达式是y＝2x，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方形性质易得，从而可得、，设OB=a，BG=b，可得F点坐标为，根据F点在直线OF上，可求出，然后即可根据正方形面积和勾股定理求出面积比．【详解】解：在正方形ABCD，正方形OEFG中，，，∴，∴，在和中，∴（AAS）∴、，设、，∴，，∴点F坐标为，∵直线OF的表达式是y＝2x，∴，∴，∴，=，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题关键是根据正方形性质求证（AAS），从而用参数表示点F坐标，再直线OF解析式求出线段之间关系．【变式训练4】．如图，在中，，，分别过点，作经过点的直线的垂线段，，若，，则的长为．【答案】6【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长．【详解】解：，，，，，，在和中，，∴，，，则．故答案为：6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据由平角的定义及同角的余角相等证得是解决问题的关键．【变式训练5】．如图，，分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，则与的数量与位置关系为．【答案】相等且垂直【分析】根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF．【详解】解：AE=BF，且AE⊥BF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=BC，∠ADE=∠BAF=90°，∵CE=DF，,∴AF=DE，在△BAF和△ADE中，∴△BAF≌△ADE（SAS），∴AE=BF，,又∵,∴，∴,∴AE⊥BF．故答案为：相等且垂直．【点睛】本题考查正方形的性质和全等三角形的证明，解题关键是掌握正方形的性质和证明全等的方法．【变式训练6】．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．(1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：．(2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系，(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到；（2）同（1）利用可证明，根据即可得到；（3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度；【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴∴，，∴；（2）∵直线l，直线l，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴∴，，∴；（3）如图，过作于，的延长线于，∴∵，，∴在和中，，∴∴，，同理可得：∴，，即：，，在和中，，∴，∴，∴；【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键．【变式训练7】．在中，，，直线经过点，且于，于．(1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．【答案】(1)见解析，见解析；(2)．【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案；由得到，，即可求出答案；（）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案，本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴；证明：由（）知：，∴，，∵，∴；（2）证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴．【变式训练8】．如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)(或，)．【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明和全等的三个条件．题型较好．（1）①已知已有两直角相等和，再由同角的余角相等证明即可证明；②由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；（2）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证出和全等，再由全等三角形的对应边相等得到，，从而得证；（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．【详解】（1）①证明：∵，，∴，，∴，在与中，，∴；②由①知，，∴，，∵，∴；（2）证明：∵于D，于E，∴，∴，，∴，在与中，，∴．∴，，∴．（3）解：同（2）理可证．∴，，∵∴，即；当旋转到图3的位置时，、、所满足的等量关系是(或，)．【变式训练9】．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或【分析】（1）由条件可求得，利用可证明；（2）由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，，从而可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当时，，设D点坐标为，利用三角形全等得到，易得D点坐标；如图3所示，当时，，设点P的坐标为，表示出D点坐标为，列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当时，时，同理求出D的坐标．【详解】解：（1）由题意可得，，∴，∴，在和中，∴；（2）过点作轴于点，如图2，在中，令可求得，令可求得，∴，同（1）可证得，∴，，∴，∴且，设直线AC解析式为，把C点坐标代入可得，解得，∴直线AC解析式为；（3）如图2，当时，，过点作于E，过点D作于F，同理可得：设D点坐标为，则，∵，即，解得，可得D点坐标；如图3，当时，，过点P作于E，过点D作于，设点P的坐标为，同理可得：，∴，，∴D点坐标为，∴，得，∴D点坐标；如图4，当时，时，同理可得，设，则，，则，∵∴，解得，∴点坐标，综上可知满足条件的点D的坐标分别为或或．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．1．如图，为等腰直角三角形，若，，则点的坐标为．【答案】【分析】过点作轴于点T．证明，可得结论．【详解】解：如图中，过点作轴于点．∵，，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是．【答案】【分析】根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，解方程组得到，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和．结合即可得出结论．依此即可求解．【详解】解：如图，四边形是正方形，，，，，，，∵，即，，在中，，，，，，，阴影部分的面积和=三个正方形面积+三角形面积-2倍空白部分面积=．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．3．如图，中，，则点B的坐标为．【答案】（4，1）【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可证明△OAC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B作BD⊥x轴于D，∵A（0，3），C（1，0），∴OA=3，OC=1，∵∠ACB=90°，∴∠OCA+∠DCB=90°，∵∠OAC+∠OCA=90°，∴∠OAC=∠DCB，在△OAC和△DCB中，，∴△OAC≌△DCB，∴BD=OC=1，CD=OA=3，∴OD=OC+CD=4，∴点B坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．4．如图1，在中，，，于点，，点在上，射线，分别交，两边于，两点，(1)当点与点重合时，如图2所示，直接写出：①与之间的数量关系：_____________________；②与之间的数量关系：_______________________；(2)当点在线段上时（不与端点重合），如图1所示，则与之间的数量关系：．【答案】(1)①；②(2)【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，（1）①利用等腰直角三角形的性质及等量代换得出，然后利用ASA可证，从而得到；②先利用全等三角形的性质得出，再利用等腰直角三角形的性质可得出，从而得出（2）过点P作交AC于点Q，同样利用等腰直角三角形的性质及ASA证明，然后利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出结论．【详解】（1）（1）①，理由如下：，在和中，②，理由如下：（2），理由如下：过点作交于点在和中，【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，通过特殊图形的证明，找到一般规律，将一般图形转化为特殊图形证明是解题的关键．5．综合与实践：如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为，．(1)猜想线段、、三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，线段、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；【答案】(1)，理由见解析；(2)改变，，理由见解析．【分析】（）由“”可证，可得，，即可求解；（）由“”可证，根据全等三角形的性质得到，，由线段的和差关系可求解；本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（2）改变，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即．6．已知：如图（1），在平面直角坐标系中，点、点分别在轴、轴的正半轴上，点在第一象限，，点坐标为，点坐标为，且．(1)求出m，n的值；(2)求点的坐标，并证明为等腰直角三角形；(3)在坐标平面内有点（点不与点重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请求出满足条件的点的坐标．【答案】(1)，(2)点，证明见解析(3)满足条件的点G的坐标为或或【分析】（1）利用完全平方公式将进行变形，可得，再根据平方的非负性即可求解；（2）过点C作，，通过证明，利用全等三角形的性质得出，，即可求解和证明；（3）分三种情况：若，时，且点G在BC下方，若，时，且点G在BC上方，若，时，点G在BC上方，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）解：∵．∴，∴，；（2）如图（1），过点C作，，∴，∵点，点；∴，，又∵，∴，∴，，∴点，又∵，∴，∴为等腰直角三角形；（3）如图，若，时，且点G在BC下方，过点G作，过点C作，∵，，∴，且，，∴∴，，∴，∴点，若，时，且点G在BC上方，同理可求点，若，时，点G在BC上方，同理可求点，综上满足条件的点G的坐标为，，或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，非负性的应用，配方法的应用，等腰直角三角形的判定和性质，能够利用分类讨论的思想是解题的关键．7．如图，在中，，点D是线段BC上一个动点，点F在线段上，且，．垂足E在的延长线上．(1)如图1，当点D与点C重合时，线段和的数量关系是______；(2)如图2，当点D不与点B，C重合，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由．【答案】(1)(2)成立，理由见解析【分析】（1）延长与交于点G，先证明，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，再根据，可得，据此判断即