2024-2025学年广东省广州市某中学高二（上）期中数学试卷（附答案）

2024-2025学年广东省广州市真光中学高二(上)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知位布｝为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是()

A.a+fo,b+c,a-c

B,a+2b,b,a—c

C.2a+b9b+2c,a+b+c

—>—>—>—>—>—>

D.a+c,b+2a,b—2c

2.在空间直角坐标系。孙z中，已知点4(2,-1,1),若点C与点8关于平面xOz对称，则|而|=()

A.A/2B.A/6C.A/WD.A/22

3.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，公表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，上表示事件”第一次

抛掷骰子的点数为奇数”，&表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，力4表示事件“两次抛掷骰子的

点数之和为7"，则()

A.4与44为对立事件B.公与4为相互独立事件

C.从与4为相互独立事件D.4与4为互斥事件

4.如图，以等腰直角AABC的斜边BC上的高2D为折痕，把AABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，

某学生得出如下四个结论，其中不正确的是()

B.AB1DC

C.BD1AC

D,平面4DC的法向量和平面4BC的法向量互相垂直

5.若直线/沿x轴向左平移3各单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，则该直线1的斜率为

()

A.jB.C.3D.-3

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6.点P是椭圆+上一点，Fi，&是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一

象限时，P点的纵坐标为（）

A.2B-75C.|D9-

334

7.已知曲线C：x2+y2-2|x|-2|y|=0,则下列说法错误的是（）

A.曲线C围成图形面积为8+4兀B,曲线C的长度为4招兀

C.曲线C上任意一点到原点的最小距离为2D.曲线C上任意两点间最大距离4也

8.已知圆C：x2+y2+6x-4y+9=0关于直线ax+by+3=0对称，过点P（a,b）作圆C的切线，切点分别

为A,B,则cos乙4PB的最小值为（）

A27291927

A,Rrn

64B.64C.32D.32

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是（）

A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是

0.1

B.已知一组数据1,2,m,m+1,8,9的平均数为5,则这组数据的中位数是5

C.已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20

百分位数

D.甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2,乙班的数学成绩的平均

数为82分，方差为4,那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3

10.已知直线八乂+丫一避=0与圆。：（x-l）2+（y+1）2=4,则（）

A.直线/与圆C相离B.直线I与圆C相交

C.圆C上到直线/的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线/的距离为1的点共有3个

11.在长方体2BCD一41B1QD1中，AB=AD=2,=1,点P满足：AP=AAB+/1AD+yAAi,其中大

〃、y6[0,1],下列结论正确的是（）

A.当4=1,y=0时，P到的距离为巡

B.当4=1时，点P到平面BDD/i的距离的最大值为1

C.当；1=0,〃=1时，直线PB与平面A8CD所成角的正切值的最大值为平

D.当"〃=1,丫=称时，四棱锥P-BBIDDI外接球的表面积为赞

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

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12.从1、2、3...n中任取三个不同的数，则取出的三个数可作为三角形三边边长的概率为.(用"表示)

13.如图，在三棱锥。—ABC中，OB,0C两两垂直，。2=。。=3,0B=2,则直线j

OB与平面力BC所成角的正弦值为_____./：\

/,1()\

14.已知4(一2,-2),B(-2,6),C(4,—2)三点，点P在圆/+产=4上运动，则仍入产+伊鸟/匕二

B

+|PC『的最大值与最小值之差为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题15分)

已知A4BC的三个顶点是4(2,3),B(l,2),C(4,-4).

(1)求BC边上的中线所在直线k的方程；

(2)求△ABC的面积；

(3)若直线L过点C,且点4B到直线％的距离相等，求直线b的方程.

16.(本小题15分)

如图所示，已知平行六面体ABCD—aiBiCiDi中，AB=AD=2,A/h=4,^BAAr=^DAA1

=4BAD=60°,M为CCi的中点.

(1)求力M长度；

(2)求异面直线4M与BD所成的角的大小.

DiCi

B/

17.(本小题15分)

在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽

签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至

有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结

束.经抽签，甲、丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为今

(1)求丙连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由.

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18.(本小题15分)

在平面直角坐标系久Oy中，已知4(2,0),B(3,0),P(x.y),且圈=乎，点P的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)求证：当Q(q,O),R(r,0)是x轴正半轴上的两个不同点，且qr=6时，阖为定值.

19.(本小题17分)

在空间直角坐标系。孙z中，过点P3),yo，zo)且以工=(a,b,c)为方向向量的直线方程可表示为宁=牛=

、包(abc70),过点P(%o，yo，zo)且以1=(a,b,c)为法向量的平面方程可表示为a久+by+cz=ax0+by0+c

(1)若直线Zi=y=-(2-1)与12:-(x-1)=9都在平面a内，求平面a的方程；

(2)在三棱柱ABC—4中停1中，点C与坐标原点。重合，点4在平面。xz内，平面4BC以前=为法向

量，平面488遇1的方程为3x+y-z=8,求点4的坐标；

(3)若集合M={(x,y,z)|田+|y|+|z|=2}中所有的点构成了多面体。的各个面，求。的体积和相邻两个面

所在平面的夹角的余弦值.

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参考答案

1.5

2.2

3.C

4刀

5.B

6.B

7.C

8.C

9.AB

10.BD

11.ACD

12.康(n24,n为偶数)，(联冏),M25,n为奇数)

13喑

14.16

15.解：(1)由B(l,2),C(4-4).

所以版。=今:=?=-2,

所以BC边上的高所在直线。的斜率为k=1,

则BC边上的高所在直线人的方程y—3=|(x-2),

即x—2y+4=0；

(2)4(2,3),B(l,2),C(4,-4),

所以|48|={(2-1)2+(3-2)2=电HQ=V(4-2)2+(-4-3)2=V53,\BC\=A/(4-1)2+(-4-2)2

==3巡，

+BC2-AC2+45—53

所以cos/ZBC=~2AB~BC--2x72x34~~^0

所以sin/ABC=】l-cos2乙ABC=当更

所以SA4BC=94B|•|8C|sinz2BC=g乂避x3逆x噜=’

(3)因为点48到直线％的距离相等，所以直线6与4B平行或通过的中点,

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①当直线L与2B平行，

因为膜81=的2，且，2过点C,

所以%方程为y+4=x-4,即无一y-8=0,

②当直线L通过4B的中点端,|),

—4——1Q

所以标。=丁力=一£，

4—~2。

12

所以，2的方程为y+4=——(%—4),即13%+5y—32=0.

综上：直线%的方程为第—y—8=0或13%+5y—32=0.

16.解(1)因为品=值+C^M=AB+AD+3春，

22，>22

所以|品『=(AB+AD+1^)2=|AB|+\AD\+三渡『+2AB■AD+A41'XS+AD-X4]=2+2+^

X42+2X2X2X-+4X2X-+4X2X-=24,

所以I前I=2述；

(2)因为丽=而一同，

则AM-BD=(AB+AD+­(AD-AB)=AB-AD+AD+^AA1■AD-AB-AD-AB-^AA1-AB=0,

即前1丽，

故异面直线AM与8。所成的角的大小为最

17.解：(1)丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”，

所以丙连胜四场的概率：PI=G)4=表；

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，

而甲、丙连胜四场的概率为6)4x2='

乙上场后连胜三场获胜的概率为P2=(1)3=1,

需要进行第五场比赛的概率P3==i-7=7；

(3)三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下：

记事件力为甲输，事件B为丙输，事件C为乙输，

记事件M：甲赢，记事件N：赢，

则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC,BCACB、BCABC、BCBAC,

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•••甲赢的概率为P(M)=(1)4+7x©A=备，

由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等,

即丙最终获胜的概率也是备，

Q7

所以乙赢的概率为P(N)=1—^X2=£,

又3>白，所以三人中乙最终获胜的概率最大.

lo

18.解：(1)由已知可得伊知=2)2+y2,|PB|=3)2+产,

.|PB|一可，..&F可守一百，

化简可得C的方程为N+y2=6.

(2)证明：当Q(q,0),R(r,o)是x轴正半轴上的两个不同点，

则q>0,r>0,且qr=6,・•・qPQ,y),

\PQ\=l(%-q)2+y2,|PR|=^/(%-r)2+y2,

.|PQI_成x—q)2+y2=(汽一1)2+y2_x2+y2一号+

,•|PR|,(%一厂)2+y2(x-r)2+y2x2+y2-2rx+r2'

V2,2二％2+y2_^+与6—号+与6q

x2+y2—2rx+r26—2rx+r2rr

.|PQ[A-/士

••|尸R|为值*•

19.解：(1)由题意可知，直线八的一个方向向量为近=(2,1,-1),

直线％的一个方向向量为药=(—142),

设平面a的法向量为元=(卬、1/1),

inn伍1诟m而.宙=。日"25+y「zi=°

则卜1西'贝唯・通=0，即1一％1+4yi+2zi=0，

解喷:璘,

取=则而=(2,-1,3),

易知直线h过点P(l,0,l),

所以平面a的方程为2%-y+3z=2-0+3=5,

即2%—y+3z=5.

(2)根据题意，设点A(a,0,c),则褊=(a,0,c),

因为平面A