2024-2025学年贵州省部分学校高三年级上册联考数学模拟试题（适合新高考2卷使用）含解析

2024-2025学年贵州省部分学校高三上学期联考数学模拟试题

（适合新高考2卷使用）

、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知线段2B是圆。的一条长为4的弦，贝必。AB（）

A.4B,6C,8D.16

——=]

2.已知双曲线石一裾一的焦距为4,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（）

A/3A/673S

A.A/3B.可C.可D.二

3.贵州省的安顺黄果树瀑布、荔波小七孔、西江千户苗寨、赤水丹霞、兴义万峰林、铜仁梵

净山组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”，也是水乡风貌最具代表的城镇，它们也拥

有着历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一

帜，驰名在外•这六大景区中，其中在贵阳市周围有3处•小吴和家人计划今年暑假从这6个景

点中挑选2个去旅游，则只选一个贵阳市周围的概率为（）

2314

A.5B.5C.5D.5

lab\lab\_

4.形如用我们称为，，二阶行列式，，，规定运算d\-aa-DC,若在复平面上的一个点/对

Izl—i\_.

应复数为Z,其中复数Z满足ll+2i1I-1,则点4在复平面内对应坐标为（）

A.（3,2）B,（2,3）C,（-2.3）D.⑶-2）

5.已知等差数列｛4｝的前n项和为无,命题p：“口5>°,。6>°”，命题q："57>0”，则命题

P是命题勺的（）

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.函数丫=久/（久）是定义在R上的奇函数，且f。）在区间[。，+8）上单调递增，若关于实数t的不

/a。"）+f（logit）>2/（2）

等式3恒成立，贝族的取值范围是（)

A限)U(9,+8)B,(哺U(3,+⑹c,(9,+oo)口.(总

7.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖腌•如图，在鳖席P-4BC中，

P41平面ABC,ABLBC,PA=48=2BC=2,以C为球心，避为半径的球面与侧面PAB的

交线长为()

8.已知函数"㈤='Mx+asinx-^a>若九⑺在区间(O,m)(neN*)内恰好有2022个零

点，贝W的取值可以为()

A.2025B.2024C.1011D.1348

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9已知函数fO)=s讥(2%+20)(0<w<》,得-%)=魔+%),则()

B/(1-x)=-/(=+%)

C./(久)在的2)上单调递减

7T

D"O)的图象向左平移五个单位长度后得到的图象关于y轴对称

io.已知/Q)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意》,yeR都满足

/(%)-2=/(x+y)-/(y),且/0+1)为偶函数，则下列说法正确的是()

A./(0)=2B./O)为奇函数C./。)是周期函数D.

23/⑺=48

11.空气质量指数4Q/是反映空气质量状况的指数，4Q/指数值越小，表明空气质量越好，其

对应关系如表：

4Q/指数值0-5051-100101—150151—200201〜300>300

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

如图是某市12月1日-20日4Q/指数变化趋势：下列叙述正确的是（）

A.这20天中4Q/指数值的中位数略高于10°

1

B.这20天中的中度污染及以上的天数占疝

C.该市12月的前半个月的空气质量越来越好

D.总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.集合［O，y）|x+yW2,xeN,y€N｝子集的个数是.

13.已知（2犷2_/尸展开式的二项式系数之和为256,则其展开式中“4的系数为.（用数字

作答）

14.若直线丫=2K为曲线y=+b的一条切线，则.的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题15分）

2cosA—cosBb

在A4BC中，角A,B,。所对的边分别为b,c,cosc+i=♦

⑴证明:C=2A.

（2）记边和BC上的高分别为也和若也：&=L®判断△4BC的形状.

16.(本小题15分)

黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一•它与

Xs-1

函数f⑴=三">0,5>l'S为常数)密切相关，请解决下列问题：

(1)当s=2时，求/(X)在点(1)(1)处的切线方程；

(2)当s>2时，证明f(x)有唯一极值点.

17.(本小题曲分)

如图，三棱锥P—4BC的平面展开图中，ABLBC,P/=4B=m，P2A=AC=4

P[C=2",£'为「2”的中点.

(1)在三棱锥P—ABC中，证明：BELAC.

(2)求二面角P—BC-4的余弦值.

18.（本小题15分）

为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问

23

卷调查•已知某单位有N名员工，其中M是男性，M是女性.

（1）当N=20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；

（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布,现在全市

范围内考虑•从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的

概率记作P］；有二项分布中（即男性员工的人数*〜8（3，|）男性员工恰有2人的概率记作「2•那

么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即01一°2<的前提下认为超几何分

布近似为二项分布•（参考数据：巡河=24.04）

19.（本小题17分）

如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形力BCD内接于椭圆E：/+其中点4,

B分别在第三、四象限，边4°,BC与x轴的交点为Mi,

（1）若力B=BC=1,且"1,时2为椭圆E的焦点，求椭圆E的离心率；

（2）若是椭圆E的另一内接矩形，且点勺也在第三象限，若矩形48CD和矩形

的面积相等,证明：3产+1。甸2是定值,并求出该定值；

（3）若4BCD是边长为1的正方形，边力B,CD与y轴的交点为“3,M4,设

「储”1，2，…,10。）是正方形4BCD内部的100个点，记勰虫二阳用，其中k=l,2,3,

4.证明：di,d2,d3,中至少有两个小于81.

2024-2025学年贵州省部分学校高三上学期联考数学模拟试题

（适合新高考2卷使用）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的。

-»-»

1.已知线段4B是圆。的一条长为4的弦，贝•丁加一（）

A.4B,6C.8D.16

【正确答案】C

解：已知线段力B是圆。的一条长为4的弦，

「「=门门・郎<一>=|riri=|ri2=2x4=8

故选：

直接利用向量的数量积运算求出结果.

本题考查的知识点：向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

Ui

2.已知双曲线3病的焦距为4,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（）

V6A/39

A.A/3B.可C.至D.~

【正确答案】B

Ui

解：因为双曲线3届的焦距为4,

所以3+/=22,

解得爪2=1,

可得双曲线的方程为石—y=i,

3=0

所以该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为一百.

故选:B.

由双曲线的焦距可得3+爪2=4,求得双曲线的方程和所求渐近线的斜率.

本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

3.贵州省的安顺黄果树瀑布、荔波小七孔、西江千户苗寨、赤水丹霞、兴义万峰林、铜仁梵

净山组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”，也是水乡风貌最具代表的城镇，它们也拥

有着历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一

帜，驰名在外•这六大景区中，其中在贵阳市周围有3处.小吴和家人计划今年暑假从这6个景

点中挑选2个去旅游，则只选一个贵阳市周围的概率为()

2314

A.5B.5C.5D,5

【正确答案】B

2

解：小吴和家人从这6个景点中挑选2个去旅游，共有%=*种选法，

而只选一个贵阳市周围有心或=9种选法，

9_3

则只选一个贵阳市周围的概率为退=匚.

故选：B.

根据古典概型相关知识可解.

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

4.形如12我们称为“二阶行列式”，规定运算借dl=ad~bC,若在复平面上的一个点4对

Iz1—ii_.

应复数为Z,其中复数Z满足ll+2i11=1,则点4在复平面内对应坐标为()

A.(3,2)B,(2,3)C,(-2,3)D,(3,-2)

【正确答案】A

解：由题意可得：z-(l+2i)(l-i)=z-(3+i)=i,

贝［jz=i+(3+i)=3+2i,

所以点a在复平面内对应坐标为(32).

故选：4.

根据题意结合复数的运算可得Z=3+21,结合复数的几何意义分析求解.

本题考查复数的运算，属于基础题.

5.已知等差数列｛(｝的前几项和为“,命题P：命题q：“57>0”，则命题

P是命题《的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】D

解：由。5>。,«6>°,不能推出S7>0,

例如勺=九—4,则。4=°,。5=1>°,。6=2>0,

所以$7=7&4=°,

故命题p是命题q的不充分条件；

由$7>。，不能推出。5>0,a6>o,

例如“n=9—2n,则<24=1,a5--1；a6--3^

所以$7=744>°,。5<°,。6<°,

故命题p是命题q的不必要条件；

综上所述：命题P是命题q的既不充分也不必要条件.

故选：D.

根据等差数列的性质结合充分、必要条件分析判断.

本题考查充分条件，必要条件等相关知识，属于基础题.

6.函数丫=无/0)是定义在R上的奇函数，且f(x)在区间［。，+8)上单调递增，若关于实数t的不

f(log3t)+/(Zo^it)>2八2)

等式3恒成立，贝族的取值范围是()

A(0)|)U(9,+8)B.(崎U(3,+⑹c,(9,+oo)D限)

【正确答案】A

解：因为函数y=£f(x)是定义在R上的奇函数，所以〃久)是定义域R上的偶函数，

又因为fO)在区间［。，+8)上单调递增，且

fa。93。+f(logit)=f(log3t)+f(-log3t)=2f(log3t)>2/(2)

3,

所以"。")>/(2),即|/og3tl>2,

解得log3t>2或log3t<-2,

所以t>9或

所以t的取值范围是呜口(9,+8).

故选：4

根据函数y=x/(x)是定义在R上的奇函数得出/(W是偶函数，把不等式化为>/(2),

即"og3tl>2,求解不等式即可.

本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

7.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈•如图，P

在鳖IfP-ABC中，P4_L平面力BC,AB1BC,PA=AB=2BC=2,以\\

C为球心，平为半径的球面与侧面P4B的交线长为()\\

A

B

A.4

B.4

A/3TT

C.三

yj2n

D.h

【正确答案】B

解：因为PAJ■平面力BC,AB、BCu平面ABC,

所以P41BC,PAIAB,

因为力BIBC,PACtAB=A,PA、力Bu平面P4B,

所以8C1平面PA8,

r\

如图所示，设DE为球C与平面P2B的交线，

则CD=CE=W,BC=1,

所以8。=BE=宿

r\

所以DE所在的圆是以B为圆心，并为半径的圆，

因为P4=AB^PA1AB,

所以所以弧DE的长为3X"=亨.

故选：B.

由题意可得BC1平面P4B,找出交线，计算弧长即可得.

本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了球的结构特征，属于中档题.

8.已知函数以久）=C°s2x+asinx~^a~1），若/i（x）在区间（0刀兀）（几eN*）内恰好有2022个零

点，贝小的取值可以为（）

A.2025B,2024C.1°UD.1348

【正确答案】D

解：因为函数以久）=c。s"+as/x_；（a2：）,

2

所以〃"）=—sin%+asinx+|(a>|)

令s讥久=tG[-1,1],则9(t)=—产+at+:a/

21

由9(t)=0,得T+耐+2=°,即2t2-2at-l=0,

显然△=4a2—4x2x(—1)=4(a2+2)>0,即方程2产_2at_1=0,

有两个不等的实数根%t2(G<t2),

_1

当a=5时，则方程为2t2——1=0,

_17177r1171

解得”=-5,《2=1,此时力=S讥%在（0,2扪上有2,T,工，即有3个实根，

而2022=674x3,因此；九兀二674X2兀=1348兀，贝|Jn=1348；

111

当a"时，g（-l）=-l-a+-<0）5（1）=-1+a+->0；则—1<“<0,七>1,

此时t=s讥久在（0,2汨上恰有2个实根，

而2022=1011X2,于是九兀=1011x2TT=2022TT或九兀=1011X2兀+冗=2023加，

因此九=2022或2023.

所以n的取值可以为2022或2023或1348.

故选：D.

1121n

令=按a=5，a>5,分类探讨一元二次方程一，十就十5=°根的情况，再结

合正弦函数的性质，求解即得.

本题考查换元法的应用及三角函数的性质的应用，属于中档题题.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/。）='出（2*+20）（（）<0<今，/（£一无）=/（"+”）,贝心）

J叫

BJGF—G+W

C./（%）在加5）上单调递减

D"（久）的图象向左平移《个单位长度后得到的图象关于y轴对称

【正确答案】BCD

解：因为函数八吗=s讥(2x+29)(0<a<今的图象的一条对称轴方程为X=联，

所以"2s=/OT+pez),卬=畀/ez),

因为°<94,所以3="即"x)=s出(2%+六

对于A，(°)=s呜=3,/错误；

对于也因为/(X)图象的一个对称中心为6°),所以3正确：

对于c,当xe(颍时，+

所以八乂)在(五)上单调递减，c正确；

7T

对于。，八功的图象向左平移五个单位长度后，

所得图象对应的函数解析式为八"+》=S讥［2(x+曲+刍=COS2%,

显然y=f(久+《)是偶函数，其图像关于y轴对称，。正确.

故选：BCD.

根据正弦函数的性质逐项判断即可.

本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题..

10.已知八乃是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意x,yeR都满足

/(x)-2=/(x+y)-/(y),且八乂+1)为偶函数，则下列说法正确的是()

A./(0)=2B"(久)为奇函数C.f。)是周期函数D.

£3欢)=48

【正确答案】ACD

解：对于4由对于任意乙丫67?都满足/0)-2=，0+/)—/?0),

令x=y=0,则/■(())=2,所以/正确；

对于B,令y=-x,可得/■(久)-2=f(0)-f(一久)，gp/(x)+/(-x)=4,

所以函数/(%)关于点(°，2)对称，所以2错误；

对于C,由人尤+1)为偶函数，知fO)关于直线尤=1对称，即fO)=f(2-久)，

可得/0)=-f(,x+2)+4,

则-f(%+2)=f(x+4)-4,所以/■(久)=/(x+4),

所以函数/。)的周期为7=4,故C正确；

对于。，令x=y=2,则/(2)=2,

可得f(l)+f(2)+f⑶+/(4)=/(I)+/(2)+/(-I)+/(0)=8,

2424

所以工=J5)=8X7=48,所以°正确.

故选：ACD.

令x=y=O,可判断力；

令'=一久，得到/'(x)+f(-x)=4,可判断B；

根据题意，推得/(%)=/(%+4),得到〃久)的周期为T=4,可判断C；

令x=y=2,求得f(2)=2,结合函数的周期性，求得'NJ⑺，可判断，

本题考查了利用赋值法求抽象函数的值，考查了抽象函数的对称性及周期性，属于中档题.

11.空气质量指数AQ/是反映空气质量状况的指数，4Q/指数值越小，表明空气质量越好，其

对应关系如表：

4Q/指数值0-5051-100101—150151〜200201〜300>300

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

如图是某市12月1日-20日4Q/指数变化趋势：下列叙述正确的是()

A.这2。天中AQ/指数值的中位数略高于100

1

B.这2。天中的中度污染及以上的天数占W

C.该市12月的前半个月的空气质量越来越好

D.总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

【正确答案】ABD

解：空气质量指数4Q/是反映空气质量状况的指数，4Q/指数值越小，表明空气质量越好,

由某市12月1日—20日4Q/指数变化趋势图，知：

在力中，将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据和第11个数据均大于100,

因为中位数是这两个数据的平均数，故这2。天中4Q/指数值的中位数略高于1。。，故N正确；

在8中，这2。天中的4Q/指数值超过150的天数有5天，

1

.••这20天中的中度污染及以上的天数为占a,故2正确；

在C中，该市12月的前半个月的空气质量先越来越好，后越来越坏，故C错误；

在D中，该市12月上旬的数据大部分在150以内，污染较轻，

总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故。正确.

故选：ABD.

空气质量指数4Q/是反映空气质量状况的指数，4Q/指数值越小，表明空气质量越好，利用某

市12月1日-20日4Q/指数变化趋势图直接求解.

本题考查命题真假的判断，考查2Q/指数变化趋势图等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.集合{(x，y)W+yw2,XEN,yeN}子集的个数是.

【正确答案】64

解:由题可知，{(x，y)l%+yW2,xEN,yeN}={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),

(2，。)},有6个元素，

所以该集合的子集有26=64个.

故64.

用列举法表示出集合，再根据集合子集个数的计算公式求解即可.

本题主要考查子集个数的求解，属于基础题.

13.已知(2犷2_%3＞展开式的二项式系数之和为256,则其展开式中一的系数为.(用数字

作答)

【正确答案】112。

解：由题意二项式系数之和为2n=256,贝m=8,

所以二项式(2.2-3)8的展开式的通项公式为

77+]=篇(2%.2)82­3)1篇.28-『.(一1)住516,丁=0,1…，g,

令5r—16=4,解得r=4,所以'的系数为弓•24.(—1)4=1120.

故1120.

利用二项式系数和求出n的值，然后求出二项式展开式的通项公式，令工的指数为4,由此即

可求解.

本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.

14.若直线V=2x为曲线y=+b的一条切线，则处的最大值为

2

【正确答案】7

解:^f(x)=eax+b,则-⑶

设切点为(久那)，则.(々))=ae,

+ba%。4-bax^+bax^+b

aex-x

则切线方程为y—e=(o),整理可得丫=°^x+(l-ax0)e

ax+b

(1—Q%o)en=0

ax+b丫—1/7paX°+b—np1+b—?

所以｛aeQ=2,解得与一产"ae

272b

所以"=广，所以"产，

设g(“)=言，则或吗=竽?，

当xe(_8,i)时,g(x)>0,g(x)单调递增，

当xe(i,+8)时，y(x)<o,g(久)单调递减，

所以当久=1时，仪久)取得最大值9(1)=卫

2

所以成的最大值为民

a%g+b

设f(x)=eax+b,切点为(Xo，e),再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求

出a,b的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.

本题主要考查用导函数解决曲线上的切线问题，属于中档题.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题15分)

2cosA—cosBb

在A4BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,COsc+i=7.

(1)证明：C=2A.

(2)记边AB和BC上的高分别为%和若%：&=L避，判断△ABC的形状.

【正确答案】证明：(1)在△ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,

2cosA—cosBb

因为cosC+1-c,

由正弦定理得，sinCf^cosA-cosB)=sinBcosC+sinB,

整理可得，2sinCcosA=sinBcosC+sinCcosB+sinB=sin{C+B)+sinB=sinA+sinBf

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC9

^^sinCcosA-cosCsinA=sinAfgpsin(C—X)=sinAf

因为4ce(o,7T),所以o<c_a<%

所以C—a=2或C—4=兀-4(舍去)，

所以C=24

解：(2)记边AB和8C上的高分别为九和八%

ABh

根据等面积法可知S叱BC=l-c=-九,即c•4=口,九,

由也：ha=1：8，可得c=Ba,

a_c_y13a_yj3a

又由C=2/及正弦定理可得，sinAsinCsin2A2sinAcosA,

解得C°S4=3,

由于Ze(0,7r),所以月一片，c-3,

所以B==所以△ABC是直角三角形.

(1)利用正弦定理和两角和的正弦公式即可得证；

(2)利用等面积法和正弦定理及(1)的结论即可求解.

本题考查正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题.

16.(本小题15分)

黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一•它与

Xs-1

函数八")=三。>°'S>Ls为常数)密切相关，请解决下列问题：

(1)当s=2时，求/(%)在点(1/(1)处的切线方程；

(2)当s>2时，证明/(X)有唯一极值点.

【正确答案】解：CO当S=2时，/⑶-(e-)2-(e-¥,

此时r(1)=一消区又八1)=言，

11

所以在点（1/（1）处的切线方程为y一三-1)

即第+(e-l)2y-e=0.

（2）由题意得,।）一,

令0。）=（5-1一久）—一（5-1）,（s>2）,

(p'(x)=(s-2-x)ex,令"0)=0,可得久=s-2,依题意得s-2>0,

当0cx<s—2时,(p'(x)>0,当x>s—2时，(p'(x')<0,

所以W（x）在（0，s-2）上单调递增，在（s-2,+8）上单调递减.

又W（0）=0,所以W（s-2）>0,又因为R（S-I）=-（s-l）<0,

所以，存在唯一XoC（s—2,s—l）,0（勺）=0,

当。<久<和时，尸（久）>0,当%>%0时，f'（x）<0,

所以/（X）在（仇瓯）上单调递增，在。0,+8）上单调递减，

所以人吗存在唯一极大值点与，且比0e（s-2,s-l）.

（1）求导可得尸（1）,进而求得/（I）,可求切线方程；

（2）易知当s-2>0时，由卬（久）=（s-l-x）/—（s-l）,（s>2）可知，（%）存在唯一变号零点,即

可知/（X）有唯一极大值点.

本题考查导数的几何意义与应用，属于中档题.

17.（本小题15分）

PB

如图，三棱锥P-4BC的平面展开图中，ABLBC,1=^=AP2A=AC=4^

P]C=20E为「24的中点.

（1）在三棱锥P-ABC中，证明：BE1AC.

（2）求二面角P-sc-a的余弦值.

【正确答案】解：（1）证明：由P18="B=m,得PB=AB=眄且E为24的中点，所以

BELPA9

取AC中点为尸，连接EF,BF,可得EF=彳="

在△PB4中，BE=^AB2-AE2=阳

在△ABC中，BF=N=2,

^BE2+FE2^BF2,所以BELEF,

因为EFCPA=凡EF,PAu平面R4C,所以BE,平面H4C,

因为4Cu平面P4C,所以8E14C；

（2）如图，过点E作EG1P4,交4C于点G,

以EG,EA,话分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.

贝|JE(O,O,O),4(0,2,0),5(0,0,72),P(0,-2,0),

在△4BC中，可得点C到P力距离为力,

故可得C（"T。），…「…不⑰

设平面力BC一个法向量为%=（叼，为,Z。,

T

,=-2y1+"z1=0

AB

->

n•=避Z]=Q

由1lbc,取yi=L所以*

设平面PBC的一个法向量为%=（乂2，%*2）,

","=2%+A/2Z2=°

n2PB

''・一=y/7x2-y2+y/2z2=0

由弧BC,取为=T,所以：2=鸟，一1，或）

设二面角P—BC—a平面角为。，且由图知，°e（o,g）,

nn77165

cosd=

33

所以riir2i

所以二面角P-BC-4的余弦值为WF.

（1）作辅助线，由线面垂直的判定定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面4BC与平面PBC的法向量，由向量的夹角公式即可求得.

本题考查线面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题.

18.（本小题15分）

为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问

23

卷调查•已知某单位有N名员工，其中匚是男性，匚是女性.

（1）当N=20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；

（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布•现在全市

范围内考虑•从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的

概率记作Pi;有二项分布中（即男性员工的人数*〜B（3,勺男性员工恰有2人的概率记作「2,那

么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过。。01（即0I—02W°。°1）的前提下认为超几何分

布近似为二项分布•（参考数据：代河“24.04）

【正确答案】解：（1）当N=20时，男性员工有8人，女性员工有12人.

X服从超几何分布，X=0,1,2,3,

-O'）-给_220_npry_n_528_44

P（X—°）一可一屈一%P—1）—百—通一第

PG一幻一百一通―汽P（X—3"碌一旃一数，

C|距；>(|«-I)x|w18N(|NT)

(2当=

牖：N(N—1)(N—2)25(N—1)(N—2)

「2=卅|=急=°.288

18N(|N-I)

--0.288<0.001

由于「I02—°,001,则元(N-1)(N-2)

即Hd/vN尸289=篇,

N(|N-I),28925289

V----X——----

艮f|(N_l)(N_2)―100018720,

由题意易知(N-1)(N—2)>0,

2

从而720N(#-l)<289(N-1)(N-2),

化简得N2-147N+578>0,

又N〉。,于是"等"47.

_578____

由于函数丫=