2024-2025学年河北省某中学高二年级上册综合素质评价数学试题及答案

2024-2025学年度高二年级上学期综合素质评价二

数学学科

一、单选题（每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.请将正确

答案的序号填涂在答题卡上）

1.直线6》一>一3=°的倾斜角为（）

兀兀7T2兀

A.—B.—C.—D.—

3643

2.已知直线。的方向向量为平面。的法向量为下列结论成立的是（）

A.若£//1则a//aB.若々，），则1_1。

C.若Z//K则。D.若£_1]，则。//。

3.已知圆。：丁+产+加工+1=0的面积为兀，则加二（）

A.±2B.+272C.±472D.±8

4.已知两点/（-3,2）,8（2,1）,过点P（0,-1）的直线/与线段N3（含端点）有交点，则直线/的斜率的

取值范围为（）

A（一叫―l]U[l,+8）B.[-1,1]C.1-8,-D[1,+8）D.——,1

5.已知2（0,1,1）,5（2,-1,0）,C（3,5,7）,D（l,2,4）,则直线A8和直线CD所成角的余弦值为（）

A5722口5722„2V22„2V22

66663333

6.在棱长为2的正方体ABCD-4用&2中，E，E分别为棱Z4,3巴的中点，G为棱44上的一点，

且4G=2（0<2<2）,则点G到平面的距离为（）

2722

B.V2

3

7.若动点/（%,必），N（X2，%）分别在直线x+.y+7=0与直线x+y+5=0上移动，则的中点尸到

原点的距离的最小值为（）

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A2V3B.3A/3c.3V2D.2V2

8.边长为1的正方体4BCD—481G2中，E,E分别是幺4,4〃中点，M是。8靠近8的四等分点,

P在正方体内部或表面，DP-{EF+MF^=Q,则|赤|的最大值是（）

R并

A.1D.----------c.V2D.V3

2

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）

9.如图，四棱柱ABCD-481GA中，M为cq的中点，0为C4上靠近点4的五等分点，则（）

—■—■1—■1—■

A.AM=AB+-AD+-AA.B.2AM=AB+2AD+AA

3211

--1—■3--3——

C.AQ=-AB+-AD+-AAD.5而=方+通+4麴

545

10.已知两条直线4的方程分别为3x+4y+12=0与奴+8〉—11=0,下列结论正确的是（）

7

A,若/J%,则a=6B.若IJh，则两条平行直线之间的距离为w

32

C.若4_L，2，则。=丁D.若aw6,则直线4一定相交

11.如图，在多面体48CDES中，S/J.平面48CD,四边形48CD是正方形，B.DEIISA,

SA=AB=IDE=2,M,N分别是线段BC,SB的中点，0是线段。。上的一个动点（含端点。，C）,

A,存在点。，使得N0LS8

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B.存在点Q,使得异面直线NQ与”所成的角为60。

2

C.三棱锥Q-体积的最大值是§

D.当点0自。向C处运动时，直线。。与平面。儿W所成的角逐渐增大

三、填空题(本题共3小题，每题5分，共15分.)

12.已知点尸(4,-2),点A为圆/+r=4上任意一点，则FZ连线的中点轨迹方程是.

13.已知点次-2,-1)和直线/:(1+2A)x+(l-3A)^+2-2=0,则点p到直线I的距离的取值范围是

14.如图，已知点A是圆台00的上底面圆01上的动点，民。在下底面圆。上，。。］=2,

BO=3,BC=2下,则直线AO与平面O.BC所成角的正弦值的最大值为.

四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.在中，ABAC=90°,边上的高ZD所在直线的方程为x—2y+2=0,//的平分线

所在直线的方程为丁=0,点8的坐标为(1,3).

(1)求直线8C的方程；

(2)求直线NC的方程及点。的坐标.

16.如图，在直四棱柱Z8CO—中，底面Z8CD为矩形，且441==2/D,E,E分别为

GA，DD1的中点.

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EG

(1)证明：/尸〃平面4E3.

(2)求平面与平面48E夹角的余弦值.

17.已知直线4：丘—了―3-4左=0(左eR)过定点p.

(1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线z2方程；

(2)若直线4交X轴正半轴于点A,交了轴负半轴于点8,△4BC的面积为S(。为坐标原点)，求S的

最小值并求此时直线4的方程.

18.如图，在四棱锥P—中，平面「40,平面/BCD,PA1PD,AB1AD,PA=PD,AB=1,

AD=2,AC=CD=45.

(1)求证：平面尸48

(2)求直线可与平面尸CD所成角的正弦值.

(3)在棱尸4上是否存在点M,使得5朋7/平面尸CD?若存在，求出空■的值；若不存在，请说明理由.

AP

19.在空间直角坐标系。-孙z中，已知向量日=(a,ac),点发(x(),yo，z())若直线/以Z为方向向量且经过

点々，则直线/的标准式方程可表示为土口=匕%=三且(abcwO)；若平面0以Z为法向量且经

abc

过点勺，则平面a的点法式方程表示为a(x—Xo)+b(y-%)+c(z—Zo)=O.

(1)已知直线/的标准式方程为F==平面/的点法式方程可表示为百x+y-z+5=0，

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求直线I与平面内所成角的余弦值;

(2)已知平面外的点法式方程可表示为2x+3y+z-2=0,平面外一点P(l,2,1),点尸到平面密的距

离；

(3)(i)若集合M={(x,y,2)|W+Ww2,|z|<l},记集合M中所有点构成的几何体为S,求几何体S

的体积：

(ii)若集合N={(x,y,z)\\x\+回<2,M+|z|<2,|z|+|x|<2}.记集合N中所有点构成的几何体为T,求

几何体T相邻两个面(有公共棱)所成二面角的余弦值.

2024-2025学年度高二年级上学期综合素质评价二

数学学科

一、单选题(每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.请将正确

答案的序号填涂在答题卡上)

1.直线的倾斜角为()

兀717r2兀

A.-B.-C.—D.—

3643

【答案】A

【解析】

【分析】先求出直线斜率，再根据倾斜角的范围即可求解.

【详解】设直线的Gx—y—3=0的倾斜角为a,且。<0,兀)，

直线JJx—y—3=0的斜率k-tana—y/3，所以a=3,

故选：A

2.已知直线a的方向向量为£,平面a的法向量为下列结论成立的是()

A.若£/不，贝！Ia//aB.若々j_J，则a，a

C.若£/后，则a_LaD.若£，3，则a//a

【答案】C

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【解析】

【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解.

【详解】因为直线。的方向向量为£,平面0的法向量为

由Z//1，可得a_La，所以A不正确，C正确；

对于B中，由可得a//a或aua,所以B、D都不正确；

故选：C.

3.已知圆C:x?+/+加x+1=0的面积为兀，则加=()

A.±2B.+272C.±472D.±8

【答案】B

【解析】

【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.

【详解】因为圆。：/+了2+掰x+i=o,即[+£]

2

所以S=nr2=(—―l)7i=Ti>解得m=+2V2-

4-

故选：B.

4.已知两点4(-3,2),8(2,1),过点P(0,-1)的直线/与线段(含端点)有交点，则直线/的斜率的

取值范围为()

A.(-oo,-l]U[l,+co)B.[-1,1]C.^-co,-1^u[l,+oo)D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线尸/、网的斜率后可求直线/的斜率的范围.

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故直线/的取值范围为(-8,-1]U(1,+"),

故选：A.

5.已知40,1,1),8(2,—1,0),。(3,5,7),。(1,2,4),则直线AS和直线CD所成角的余弦值为()

A572205V22「2V22「2V22

66663333

【答案】A

【解析】

【分析】算得益=(2,-2,-1),而=(-2,-3,-3),结合向量夹角的坐标公式即可求解.

【详解】AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),

I/—.—\AB-CD\―4+6+35A/22

所以直线48和直线CD所成角的余弦值为cos(AB,CD)\=二」=/-=---.

।\A网m3J4+9+966

故选：A.

6.在棱长为2的正方体中，E,歹分别为棱的中点，G为棱44上的一点,

且4G=2(0<2<2),则点G到平面。跖的距离为()

A百B万C2山口2也

335

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可.

【详解】以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，。。所在直线为〉轴，DA所在直线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，

则G（2",2）,2（0,0,2）,£（2,0,1）,尸（2,2,1）,

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所以函=(—2,0,1),丽=(0,2,0),EG=(0,2,1).

n-ED,=-2x+z=0

1

设平面D}EF的法向量为万=（x,y,z）,则—

n-EF=2y=0

取x=l,得另=(1,0,2),

^EG-n

2275

所以点到平面的距离为d=

GAM~w

故选：D.

7.若动点N（X2，%）分别在直线x+,v+7=0与直线x+y+5=0上移动，则VN的中点P到

原点的距离的最小值为（）

A.2cB.3A/3C.3A/2D.2V2

【答案】C

【解析】

【分析】先求出点尸的轨迹，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】解：由题意知，的中点P的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为

x+y+6=0,

6

尸到原点的距离的最小值为"二=3V2.

故选：C

8.边长为1的正方体ABCD-481G3中，E,尸分别是Z4，4〃中点，M是。5靠近2的四等分

点，P在正方体内部或表面，DP-^EF+MF）=0,贝ij西的最大值是（）

A.1B.C.V2D.C

2

【答案】D

【解析】

333

【分析】建立空间直角坐标系，设P（X/,Z）,从而求得——X——y+-Z=0,再根据向量模长公式结合

442

0VxWl,0Vy<l即可求解.

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如图，建立空间直角坐标系，设尸（x,y,z）,

则。（0,0,0）,£11,0,£|,尸&,0,1；河《拼0；

所以EF=f--,0,—|,MF=f--,-y,1^1,则EF+MF=（一

22J44J（442

因为Z）尸•（£77+A/F）=0,又。尸二（x,乃z）,

所以一+。2=0,即z="J,

4422

222

所以|丽『=x+y+Z=f+y2++]

又0<xWl,0<y<l,所以号]<1+1+]-]=3,当且仅当》=了=1,此时z=i时,

等号成立，

所以I而I的最大值是省.

故选：D.

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得。分.）

9.如图，四棱柱A8CD-4801，中，M为CA的中点，0为C4上靠近点4的五等分点，则（）

B.2AM=AB+2AD+AAX

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——.1—.3——•3——•__.—...

C.AQ=—AB+—AD+—AA^D.5AQ=AB+AD+4AA^

【答案】BD

【解析】

【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.

【详解：

AM=AB+BC+CM=AB+AD+-（CD+CC.）=AB+AD--AB+-AA,=-AB+AD+^AA,

2、'2222

即2•=方+2力+五《，故A错误、B正确；

而=怒+而=怒+="+加+2不

-"1/—>—*—>\1—*1—*4—-

=AAX+-[AD+AB-AAXj=-A4,

即5而二方+N万+4五/，故C错误，D正确.

故选：BD.

10.已知两条直线4，4的方程分别为31+4歹+12=0与办+8歹—11=0,下列结论正确的是（）

7

A.若/J〃2,则a=6B.若1\巾2,则两条平行直线之间的距离为a

32

C.若4_L，2，则。=亍D.若aw6,则直线/「。一定相交

【答案】AD

【解析】

【分析】根据两直线平行求出。的值，可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；根据两直

线垂直求出。的值，可判断C选项；根据两直线相交求出。的范围，可判断D选项.

【详解】两条直线/一乙的方程分别为3x+4y+12=0与at+8y-11=0,它们不重合，

若l。，则4a=3x8,得a=6,检验符合，故A选项正确；

若/J4，由A选项可知，Z2：6x+8v-ll=0,直线4的方程可化为6x+8y+24=0,

111+2417

故两条平行直线之间的距离为，।,故B选项不正确；

J36+642

32

若贝U3a+4x8=0,得。=----,故C选项不正确；

3

由A选项知，当a=6时，〃/人，所以若aw6,则直线。一定相交，故D选项正确.

故选：AD.

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11.如图，在多面体48CDES中，S/，平面48CD,四边形48CD是正方形，ADEIISA,

SA=AB=IDE=2,M,N分别是线段BC,SB的中点，0是线段。。上的一个动点（含端点。，C）,

则下列说法正确的是（）

B.存在点。，使得异面直线N0与”所成的角为60°

2

C.三棱锥Q-AMN体积的最大值是§

D.当点0自。向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，设出点。的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A,利用异面直线的向量

夹角公式计算判断B,连接结合锥体体积公式，利用等体积法判断C,利用向量的坐标运

算表示线面角的正弦值,然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D.

力(0,0,0),5(2,0,0),0(220),£>(0,2,0),£(0,2,1),5(0,0,2),如(1,0,1),"(2,1,0)；

对于A,假设存在点。（加,2,0）（04加＜2）,使得N。，S3,

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则福=（m—1,2,—1）,又血=（2,0,—2）,

所以丽•葩=2（加—1）+2=0,解得加=0,即点。与。重合时，NQ1SB,A正确；

对于B,假设存在点。（加,2,0）（04加W2）,使得异面直线NQ与双所成的角为60°，

因为而=（加一1,2,—1）,&4=（0,0,-2）,

所以卜而，可卜11

osI,=彳,方程无解；所以不存在点。，B错误;

J（加-1）+52

因为S“MQ=S口ABCD—S“BM—SAQCM-=2—5，

所以当加=0,即点0与点。重合时，取得最大值2；

又点N到平面AMQ的距离d=-SA=l,

2

I2

所以亿一弧1=（人”心=§X2X1=§,C正确;

对于D,由上分析知：NQ=（m-1,2-1）,2W=（1,1,-1）,

/、[m-NQ=（m-l）x+2y-z=0

若成=（xj,z）是面NMQ的法向量，则__'）

m-NM=x+y-z=0

令x=l,则比=（1,2—机,3—加），

7C

因为岚=（2,0,0）,设直线£>C与平面QMN所成的角为。，0,-

当点0自。向。处运动时，机的值由0到2变大，此时sin。也逐渐增大,

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jr

因为y=siiu在0,-为增函数，所以。也逐渐增大，故D正确.

故选：ACD

三、填空题(本题共3小题，每题5分，共15分.)

12.已知点尸(4,-2),点A为圆f+「=4上任意一点，则尸Z连线的中点轨迹方程是.

【答案】(x-2)2+(y+l)2=l

【解析】

【分析】首先设中点坐标为。(XJ),再设出相关点A的坐标，代入圆的方程，即可求解.

【详解】设连线的中点为。(xj),则Z(2x—4,2>+2),

则(2x—4旷+(2^+2)2=4,即(x—2『+(了+1/=1.

故答案为：(x—2y+(y+l)2=1

13.已知点^(-2,-1)和直线/:(1+2A)x+(l-32)y+彳—2=0,则点尸到直线/的距离的取值范围是

【答案】(0,旧］

【解析】

【分析】先求得直线/的定点，进而求得点P到直线/的最大距离，然后检验点P(-2,-l)是否可能在直线/上

即可

【详解】/:(1+22)x+(1-328+4-2=0可化为：x+.v-2+(2x-3y+1)2=0

x+v—2=0

设直线/的定点为A,点P到直线/的距离为d,则有：I、；，八

2x-3v+l=0

可得：为直线/的定点

则有：|R4|=A/32+22=V13，此时|R4|为点P到直线/的最大距离

若尸(一2,-1)在直线/上，则有：-2-1-2+(-4+3+1)2=0,即—5=0

可得：P(-2,-1)不可能在直线/上，则有：d>0

综上可得：0<d<a5

故答案为：(0,屈］

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14.如图，已知点A是圆台00的上底面圆。1上的动点，民C在下底面圆。上，A0,=l,00,=2,

B0=3,BC=2#，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

【解析】

【分析】以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求

线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.

【详解】解：连接。C,过C点作垂直于5。的延长线于点〃，以。为坐标原点，建立空间直角坐标

在三角形05C中，因为05=3,0。=3,8。=26,

0B。+BC?-0C?_9+20-9_也

故cosB-

20BBC~2x3x275-3

代BH=BC-cosB=2垂义L=—，

33

则CH=」BC?—BH?=10——=竽，

OH=BH-OB=-,

3

故点cj—平,o],又。(0,0,0),@(0,0,2),5(3,0,0),

I33J

设点Z(加,〃,2),m,n&[-1,1],由。/=1,可得加？+〃2=i，

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BC=^-,0,BOX=(-3,0,2),

I33)

设平面ORC的法向量记=(x,y,z),

m-BC=0

则《—.,即《

m•BO、=0

—3x+2z—0

取y=石，则x=2,z=3,

故平面ORC的法向量沅=（2,、万,3）,

又04=（加,凡2）,

JT

设直线/。与平面QBC所成角为，，0e0,-

亚

m-OA2m+y/5n+62m+n+6

则sin3=cosOA,m

|m||O43GxyIm2+〃2+43所

因为见且阳2+〃2=i，

故令加=cosa,n=sma,cue(0,2^),

则2m+亚n+6=A/5sina+2cosa+6=3sin(a+°)+6,tanQ=,(pG

又ae(0,2〃)，所以sin(tz+0)e[—l,l],

3sin(a+°)+6e[3,9],即2m+s!5n+6&[3,9],

所以sin。的最大值为二==独。.

3VW10

故答案为：为他.

10

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.在中，ABAC=90°,BC边上的高ZD所在直线的方程为x—2y+2=0,//的平分线

所在直线的方程为y=0,点B的坐标为（1,3）.

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(1)求直线8C的方程；

(2)求直线ZC的方程及点C的坐标.

【答案】⑴2x+y-5=0

(2)直线ZC的方程为：y=—x—2,C(7,-9)

【解析】

【分析】(1)根据垂直的位置关系，算出直线5c的斜率为-2,利用直线方程的点斜式列式，化简整理

即可得到直线的方程；

(2)由8C边的高所在直线方程和＞=0,解出/(-2,0),从而得出直线48的方程.由直线ZC、AB

关于直线了=0对称，算出ZC方程，最后将ZC方程与方程联解，即可得出点。的坐标.

【小问1详解】

由于所在直线的方程为x-2y+2=0,故的斜率为1,

•••8C与4D互相垂直，.,.直线5c的斜率为左=-2,

结合8(1,3),可得的点斜式方程：y-3=-2(x-l),

化简整理，得2x+.y-5=0,即为所求的直线8C方程.

【小问2详解】

由x-2y+2=0和y=0联解，得4-2,0)

由此可得直线48方程为：匕。=±±2,即y=x+2,

3-01+2

­.•AB,ZC关于角A平分线x轴对称，

・・・直线ZC的方程为：y=—X—2,

•.•直线5C方程为y=—2x+5,

••・将NC、8C方程联解，得x=7,y=-9,

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因此，可得C点的坐标为(7,-9).

16.如图，在直四棱柱Z8CD—Z0G，中，底面Z8CD为矩形，且44]=28=2ND,E,E分别为

的中点.

(1)证明：4F〃平面4E8.

(2)求平面与平面48E夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

3

【解析】

【分析】(1)不妨设2。=1,建立空间直角坐标系，求出平面4E8的法向量前，由万晶=0,得到

4FJ_m,即可得证;

(2)求出平面448的法向量，利用空间向量法计算可得.

【小问1详解】

不妨设/。=1,则441=23=2,如图建立空间直角坐标系,

则4(1,0,2),5(1,2,0),£(0,1,2),4(1,0,0),F(0,0,1),Z)(0,0,0),

所以祠=(—1,1,0),48=(0,2,-2),AF=(-1,0,1),

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设访=(x,y,z)是平面4班的一个法向量，

，-»

m-A.E=-x+y=0

则〈___>,取x=1,则y=z=1,

m-A、B=2y-2z=Q

所以平面4防的一个法向量比=(1,1,1),

又*•云=0，所以#_L五,因为/尸0平面4£8,所以/月〃平面4E8.

【小问2详解】

因为D4L平面44百8,所以万7=(1,0,0)是平面的一个法向量，

/_元应,DA1y/3

又因为3d成=乐=丁丁

所以平面A[B]B与平面AXBE夹角的余弦值为皂.

3

17.已知直线4:Ax—y—3—4左=0(左eR)过定点尸.

(1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线/2方程；

(2)若直线4交x轴正半轴于点A,交了轴负半轴于点B,△/8C的面积为S(。为坐标原点)，求S的

最小值并求此时直线4的方程.

【答案】⑴x+yT=0或x-y-7=o或3x+4y=0

(2)最小值为24,直线4：3x—4y—24=0

【解析】

【分析】(1)求出直线4过的定点，分awO,bwO和。=6=0两种情况，当awO,bwO时，设/的方

程为2+上=1,根据。点(4,-3)在直线上求出直线方程，若。=6,求出直线方程，若。=-6,求出直

ab

线方程，当a=6=0,根据直线过原点，且过点(4,-3)求出直线的方程；

(2)求出直线4交x轴的正半轴的点，交了轴的负半轴的点，求出的面积，根据基本不等式求出S

的最小值时左的值.

【小问1详解】

直线4：y+3=k(x—4),则直线4过定点P(4,—3),

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①当awO,bwO时，设/的方程为三+上=1.

ab

/、4-3

0点（4,—3）在直线上，—I----=1.

ab

若a=b,则Q=b=l,

「•直线的方程为x+y=1,

若a=-b,则Q=7,b=-l,

「•直线的方程为工一歹二7；

②当a=6=0时，直线过原点，且过点（4,一3）,

/.直线的方程为3x+4y=0,

综上所述，所求直线/的方程为x+y—1=0或x—y—7=0或3x+4y=0；

【小问2详解】

4左+3

令歹=0,则x=-------；令x=0,贝|y二-4左一3,

k

（4左+3\

直线4交x轴的正半轴于点/-^,0,交了轴的负半轴于点8（0,-4左-3）,左>0,

1k）

O为坐标原点，设△403的面积为S,

114"+31（9、1（IQ-^

则S二—。"。夕=---------（4^+3）=--16A:+24+->--24+2-16^--=24,

22k2（k）2、Nk,

93

当且仅当16左二=时，即左二一时取等号，

k4

3

故S的最小值为24,此时左二—,

4

直线《:3x-4y-24=0.

18.如图，在四棱锥尸—45。。中，平面尸4D,平面48CQ,PA上PD,ABLAD,PA=PD,45=1,

AD=2,AC=CD=

P

B

c

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(1)求证：平面「4g.

(2)求直线P8与平面PCD所成角的正弦值.

(3)在棱尸/上是否存在点M,使得四〃平面PCD?若存在，求出空■的值；若不存在，请说明理由.

AP

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

3

(3)存在；—

4

【解析】

【分析】(1)根据面面垂直的性质可得48,平面R4D,进而得再结合线面垂直的判定定理

进行证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面尸CD的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求

解即可；

(3)要使政〃平面PCD,则菽.元=0，由此列式求解X可得.

【小问1详解】

,/平面PAD±平面ABCD，且平面PADc平面ABCD=AD，

且_L，ABu平面ABCD,

，48,平面「4D，

：u平面尸4D,，48，尸£>，

又PD_LPA,且P2口48=2,尸u平面尸48,

平面尸48；

【小问2详解】

取4D中点为。，连接。。,。。，

又,：PA=PD,：.POLAD.则40=尸0=1,

'-"CD=AC=45>--COLAD,则CO=NAC?-OT=VT丁2,

以。为坐标原点，分别以玩,夕,而所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-平，

则尸(0,0,1),5(1,1,0),D(0,-l,0),C(2,0,0),

则丽而=(0,-1,-1),PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0)，

设元=(x,y,z)为平面尸CD的一个法向量，

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n-PD=O-y-z=O

则由《—，得，令z=l,则为=

n-pc=o2x-z=0

设尸8与平面尸CD的夹角为，，

I-------►!H•尸6

则sin0-1cosii,PB1\=।一=^7

\nWPB\1+l+lxV33

【小问3详解】

假设在棱P4上存在点M点，使得BMH平面PCD.

设而=%N，%e[0J]，

由(2)知，2(0,1,0),5(1,1,0),P(0,0,l),则不=(0,-1,1),拓=(-1,0,0),

BM=BA+AM=BA+AAP=(-1,0,0)+(0-2,2)=(-1-2,2),

由（2）知平面PCD的一个法向量H=—1』］.

——•-11

若BMH平面PCD,则BM-n=---1-A+A=22=0,

22

解得;1=一，又8Mz平面尸CD,

4

故在棱P4上存在点M点，使得9W7/平面尸CD,此时4丝=1.

AP4

19.在空间直角坐标系。-盯z中，已知向量力=（见"c）,点《（/，乂）/。）若直线/以「为方向向量且经过

点兄，则直线/的标准式方程可表示为七三=匕%=三幺