2024-2025学年北京某中学分校八年级（上）期中数学试卷

2024-2025学年北京十三中分校八年级（上）期中数学试卷

一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.（2分）2024年巴黎奥运会和残奥会体育图标一共70个.与近年来各大体育类赛事图标都注重运动员

运动状态刻画不同，巴黎奥运会则是注重项目本身的展现.此次巴黎奥运会项目图标在视觉设计上主要

融入三个方面的元素一一对称轴设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素.如图，下列哪个图

标属于轴对称图形（忽略图标上的文字标注）（）

2.（2分）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是4,5,m,若它们能构成三

角形（）

A.10B.8C.7D.4

3.（2分）下列计算中，正确的是（）

A.a3+a3=a6B.a2'a5=a1

C.（2。）3=2.3D.3a84-a2=3a4

4.（2分）如图，已知48=4D,那么添加下列一个条件后（）

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.NB=ND=90°D.ZBCA=ZDCA

5.(2分)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.3x+3y-5—3(x+j)-5B.(x+1)(x_1)—x2-1

22

C.X+2X+1=(x+1)D.+x=x

第1页（共25页）

6.（2分）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△N3C和尺寸如图，小颖画的三角形面积记作

那么你认为（）

D.不能确定

7.（2分）如图，△/8C中，AB<AC<BC,^PA+PB=BC,那么符合要求的作图痕迹是（）

8.（2分）在学完《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关

知识的理解.

小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高的比为1：2：3.”

小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其它两边和的一半

下面对于小峰和小慧的说法，判断正确的是（）

A.小峰和小慧均正确B.小峰和小慧均错误

C.小峰正确，小慧错误D.小峰错误，小慧正确

二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）

9.（2分）计算：（TT-1）°=.

10.（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点/、2的距离，可以在48的垂线3斤上取两点C、D,再作

出时的垂线DE,使/、C、£三点在一条直线上的长就等于Z8的长.判定△48C和△EDC

是全等三角形的依据是

第2页（共25页）

A

11.（2分）学校附近的胡同里，增设了几处有立体效果的图标，起到减速带的作用.该图形是由一个等腰

三角形和两个全等的平行四边形构成的五边形

12.（2分）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，请帮他把

前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可））2.

13.（2分）如图，在△48C中，ZC=90°,BC=9cm,BD=6cmcm.

14.（2分）如图，在平面直角坐标系中，点/（2,0）,B（4,2）,且以。，A,P为顶点的三角形与

AOAB全等.

15.（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出

一个锐角的平分线.如图：一把直尺压住射线。瓦另一把直尺压住射线CM并且与第一把直尺交于点

P_______________________

第3页（共25页）

A

T

0B

16.（2分）如图，平面直角坐标系中，点8、点C分别为x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，使得△4SC

为等腰直角三角形，ZCAB=90°,若C（0,c）,B（b,0）（其中，c>b）,则/点坐标为

（,）（用含6,c的代数式表示）.

-4-3-2-1012345力

J—1■L

三、解答题：(本大题共10小题，共68分.其中17、19、21题，每题8分,18、20、22-24每小题8分,

25、26每小题8分)

17.(8分)计算：

(1)(x-1)(x+3)-2x2；

(2)(x-2)2+x(x-3).

232

18.(6分)先化简，再求值：(4x+l)(4x-1)-(2x)+6x-r3x,其中X=-1.

19.(8分)分解因式：

(1)3a2-6ab+3b2；

(2)x2(m-2)+y2(2-m).

20.(6分)如图，点4B,C,。在一条直线上，若N1=N2,EC=FB.求证：/E=/F.

EF

;

ABCD

21.（8分）将代数式通过配方得到完全平方式,再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题

第4页（共25页）

方法叫做配方法，如利用配方法求最小值，求a2-4a+3的最小值.

解：a2-4。+3=/-4a+22-22+3=(a-2)2-1；

:不论a取何值，(a-2)2总是非负数，即(«-2)2^0

(a-2)2-1^-1；即当a=2时,/-4a+3有最小值-1

根据上述材料，解答下列问题：

(1)求后-4a-6的最小值；

(2)若M=2/+3”,N=3(?+5,比较M、N的大小(写出比较过程)；

(3)若三角形中某两边a、6满足次+庐-6。-146+58=0,求a+6.

22.(6分)如图，在△48C中，ZBAC=90°,。是/C边上一点，连接3。，S.AE=BD,AE与BC交

于点?

(1)求证：CE=AD；

(2)当NCFE=N4D2时，求证：AD平分/4BC.

23.(6分)当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由图可得等式:

(a+26)(a+6)2+3ab+2b2.

(1)已知等式：(a+Z>+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,请仿照图构造相应的图形(画在答题纸指定位置);

(2)利用(1)中等式，解决下面的问题：

①已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求cr+lr+c1的值；

②已知(b-c)2=4(a-6)(c-a),用等式表示a、b、c之间的关系，并证明.

abb

bba

24.（6分）如图，△NBC和△/£>£中，AB=AC,ZBAC+ZEAD=ISO°,连接BE、CD,连接/足求证:

CD=2AF.

第5页(共25页)

D

E.

25.(7分)定义：如图1,A,8为直线/同侧的两点，过点/作直线/的对称点,连接4P,则称点尸

为点/

如图2,在△A8C、△/£>£中，AB=AC,ZBAC=ZDAE,连接CE、BD.

(1)猜想2。与CE的数量关系是；并证明你的结论.

(2)延长CE交8/的延长线于点N,延长8。至点使DM=EN

①先补全图形.

②求证：点/为点C,M关于直线8N的“等角点”.

图1图2

26.(7分)在平面直角坐标系xQy中，直线/：表示经过点(m,0),且平行于y轴的直线.给出如

下定义：将点尸关于x轴的对称点尸1,称为点P的一次反射点；将点a关于直线/的对称点「2,称为

点P关于直线/的二次反射点.例如，如图，点M(3,2)1(3,-2),点M关于直线/：x=l的二次

反射点为初2(-b-2).已知点/(-1,-1),5(-3,1),C(3,3),D(1,-1).

(1)点/的一次反射点为，点N关于直线*x=2的二次反射点为；

(2)点3是点/关于直线勿x=a的二次反射点，则。的值为；

(3)设点N,B,。关于直线/3：x=f的二次反射点分别为血，B2,C2,若△/2比。2与△及力无公共

点，求才的取值范围.

第6页(共25页)

第7页（共25页）

2024-2025学年北京十三中分校八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

1.（2分）2024年巴黎奥运会和残奥会体育图标一共70个.与近年来各大体育类赛事图标都注重运动员

运动状态刻画不同，巴黎奥运会则是注重项目本身的展现.此次巴黎奥运会项目图标在视觉设计上主要

融入三个方面的元素一一对称轴设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素.如图，下列哪个图

标属于轴对称图形（忽略图标上的文字标注）（）

C.铁人三项图标D..1赛跑项目图标

【解答】解：B,C,。选项中的图标都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合;

/选项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形.

故选：A.

2.（2分）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是4,5,m,若它们能构成三

角形（）

A.10B.8C.7D.4

【解答】解：由三角形的三边关系可知：5-4＜加＜2+4,即1＜加＜2,

则整数m不可能是10,

故选：A.

3.（2分）下列计算中，正确的是（）

A.a3+a3=a6B.a2,a5=a7

C.⑵）3=2病D.3/+。2=3。4

【解答】解：VaW=7a3,故选项/错误，

Va2,a3=＜77,故选项2正确，

第8页（共25页）

V(2a)8=8岛故选项C错误,

V7a84-a2=7a6,故选项。错误,

故选：B.

4.(2分)如图，已知A8=4D,那么添加下列一个条件后()

A.CB=CDB./BAC=/DACC.NB=/D=90°D.ZBCA=ZDCA

【解答】解：A,添加C5=CD,能判定△/3C之△/DC；

B、添加N3NC=N£MC,能判定△/BCgZX/DC；

C、添加=40=90°，能判定△/BC之△4DC；

D、添加入Ba=NOC4时，故。选项符合题意;

故选：D.

5.(2分)下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.3x+3y-5=3(x+y)-5B.(x+1)(x-1)=，-1

C.X2+2X+1—(X+1)2D.x?+x=x2(x+^~)

【解答】解：3x+3y-6=3(x+y)-5中等号右边不是积的形式，则/不符合题意;

(x+6)(x-1)=x?-7是乘法运算，则8不符合题意；

x?+2x+8=(X+1)2符合因式分解的定义，则。符合题意；

x4+x=x2(x+1)中工，则。不符合题意；

XX

故选：C.

6.(2分)数学活动课上，小敏、小颖分别画了△N8C和尺寸如图，小颖画的三角形面积记作g,

那么你认为()

D.不能确定

第9页(共25页)

【解答】解：作于点作DN_LF£,

VZDEF=130°,

：.ZDEN=50°,

：3C=4,AB=5,

•„-3X(5Xin500).M。

--P-------s--------=10sin50

\'EF=4,DE=5,

-4X(4Xin50°)s.「A。

••qfl-=-------s-------=10sin50

'.p-q,

故选：C.

7.（2分）如图，△NBC中，AB<AC<BC,使B4+PB=BC,那么符合要求的作图痕迹是（）

：.PA=PC,

...点P在NC的垂直平分线上，

即点P为AC的垂直平分线与BC的交点.

故选：D.

8.（2分）在学完《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关

知识的理解.

小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高的比为1：2：3.”

第10页（共25页）

小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其它两边和的一半

下面对于小峰和小慧的说法，判断正确的是（）

A.小峰和小慧均正确B.小峰和小慧均错误

C.小峰正确，小慧错误D.小峰错误，小慧正确

【解答】解：假设存在这样的三角形，它的三条高的比是1：2：2,得到此三角形三边比为6：3：7,

故假设错误；

假设存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半，利用三角形全等，这与三角形三边

关系矛盾，所以这样的三角形不存在.

故两人都不正确.

故选：B.

二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共16分）

9.（2分）计算：（IT-1）0=1.

【解答】解：原式=1,

故答案为：1

10.（2分）如图，要测量池塘两岸相对的两点/、8的距离，可以在N3的垂线3月上取两点C、D,再作

出B9的垂线。£,使/、C、•三点在一条直线上DE的长就等于48的长.判定△/2C和△EOC

是全等三角形的依据是ASA.

E

【解答】解：根据题意可知：ZB=ZCDE=90°,

在△48C和△££>C中，

'NB=NCDE

<BC=DC，

,ZACB=ZDCE

:.△ABCQ^EDCCASA),

：.AB=DE.

故答案为：DE,ASA.

11.（2分）学校附近的胡同里，增设了几处有立体效果的图标，起到减速带的作用.该图形是由一个等腰

三角形和两个全等的平行四边形构成的五边形540。.

第11页（共25页）

【解答】解：五边形/3CDE的内角和=（5-2）X180°=540°,

故答案为：540°.

12.（2分）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，请帮他把

前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）3x+2y（答案不唯一））2.

【解答】解：9x2+12xy+4/=（3x+7y）2,

故答案为：3x+4y（答案不唯一）.

13.（2分）如图，在△48C中，ZC=90°,BC=9cm,BD=6cm3cm.

【解答】解：如图，作DE垂直于48于点E.

,;BC=9cm,BD=6cm,

.\CD=4cm,

平分NC4H,ZC=90°,

.\DE=CD=3cm,

故答案为：3.

14.（2分）如图，在平面直角坐标系中，点/（2,0）,B（4,2）,且以O,A,P为顶点的三角形与

AOAB全等（4,-2）或（-2,-2）或（-2,2）.

第12页（共25页）

①作3关于X的对称的点为，连接。Pl,AP8,

：.OB=OP\,AB=APi，

"：OA=OA,

.♦.△0AP5义AOAB(SSS),

,:B(4,2),

：.P3(4,-2),

②作尸5关于直线X=1对称的点尸2,连接。尸5,AP1,

则/尸1=。「5，OP1=AP2,

又,.Q=CM,

:./\OAP2^AAOP2(SSS),

:.△OAP2qLAOB,

则点尸6(-2,-2),

③作尸8关于X轴的对称的点尸3,连接。尸3,AP2,

则/尸3=/P2，OPl^OPl,

又

第13页（共25页）

.•.△/OBd/O尸8CSSS),

：.△NOP3g△OA8,

则点尸3（-8,2）,

故答案为：（4,-8）或（-2,2）.

15.（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出

一个锐角的平分线.如图：一把直尺压住射线。£另一把直尺压住射线04并且与第一把直尺交于点

尸在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.

【解答】解：如图，过点尸作尸03于点D

V是两把完全相同的长方形直尺，

:.PC=PD,

：.ZAOP=ZBOP,即射线。尸就是的角平分线（在角的内部.

故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.

16.（2分）如图，平面直角坐标系中，点8、点C分别为x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，使得△N3C

为等腰直角三角形，ZCAB=90a,若C（0,c）,B（6,0）（其中，c>6）,则/点坐标为（—互9_,

—2—

9一）（用含6,c的代数式表示）.

2—

第14页（共25页）

y

【解答】解：如图所示，过点4作轴于点E,

ZDAC+ZBAE=90°,

又,.・NZMC+NOG4=90°,

・•・ZBAE=ZDCA

在△Z)C4和中，

<ZCDA=ZAEB=90°

,ZBAE=ZDCA，

AC=AB

•••△DCAmAEAB(AAS)

：.CD=AE,AD=BE.

设CD=AE=x=EO,AD=BE=y.

：.AD+AE=OC=c,EB-OE=OB=b,

§4x+y=c,解得：

[y-x=b

又点/在第二象限，

第15页（共25页）

故点工的坐标为：(也二2,工二巨).

22

故答案为：上二，工二旦.

23

三、解答题：(本大题共10小题，共68分.其中17、19、21题，每题8分，18、20、22-24每小题8分,

25、26每小题8分)

17.(8分)计算：

(1)(x-1)(x+3)-2x2；

(2)(x-2)2+x(x-3).

【解答】解：(1)(x-1)(x+3)-4x2

=/+8x-3-2x4

=-X2+2X-4；

(2)(x-2)2+x(x-8)

=x2-4x+2+x2-3x

=2x2-7x+2.

18.(6分)先化简，再求值：(4x+l)(4x-1)-(2x)2+6X3^3X2,其中X=-1.

【解答】解：(4x+l)(6x-1)-(2x)2+6X34-7X2

=16f-6-4/+2x

=12X2+2X-5,

当％=-1时，

原式=12X(-1)3+2X(-1)-3

=12X1-2-7

=12-2-1

=7.

19.(8分)分解因式：

(1)3/-6仍+3层；

(2)X2(m-2)+y2(2-m).

【解答】解：(1)3a1-3ab+3b2

=2(a2-2ab+b4)

=3(Q-b)2；

(2)x2(m-2)+y2(3-m)

第16页（共25页）

=(m-2)(x2-y4)

=(m-2)(x+y)(x-y).

20.(6分)如图，点/,B,C,。在一条直线上，若Nl=/2,EC=FB.求证：ZE=ZF.

【解答】证明：VZl+ZD5F=180o,N2+//CE=180°.

又：/8=N2,

NDBF=ZACE,

'：AB=CD,

：.AB+BC^CD+BC,

即AC=DB,

在△/0£&力卯;和△DBF中，

，EC=FB

<ZACE=ZDBF

,AC=DB

/.^ACE^/\DBF(SAS),

：.NE=ZF.

21.（8分）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题

方法叫做配方法，如利用配方法求最小值，求/-4a+3的最小值.

解：/-4。+3=。2-4。+22-22+3=（。-2）2-1；

•.•不论a取何值，（a-2）2总是非负数，即（0-2）2^0

（a-2）2-12-i；即当°=2时，后_4a+3有最小值-1

根据上述材料，解答下列问题：

（1）求a2-4a-6的最小值；

（2）若M=2/+3a,N=3a2+5,比较M、N的大小（写出比较过程）；

（3）若三角形中某两边a、b满足片+启_6a-146+58=0,求a+6.

【解答】解：（1）a2-4a-l=a2-4a+52-26-6=（a-2）5-10；

:不论a取何值，（a-2）2总是非负数，

即（a-6）220,

第17页（共25页）

(〃-6)2-102-10；

・•・当a=2时，*_4Q-6的最小值-10,

答:a6-4a-6的最小值-10；

(2)M=2a2+3a,N=5a2+5,

：.N-M=(6/+5)-(4a2+3a)

=6a2+5-2/-3a

=a4-3。+5

=，-3°+电2_(得产5

=(a--)2+_H_,

23

(a-3)降0,

2

(a--)2+-UL>8,

44

.\N-M>0,

(3)'.'c^+b2-6a-14Z>+58=0,

：.a4-6a+9+b,-146+49=0,

(a-3)6+(.b-7)2=8,

,/(a-3)2^6,Cb-7)2>3,

(a-3)2=3,(b-7)2=2,

・・a=3,b=7,

a+b=5+7=10,

答：a+6的值为10.

22.(6分)如图，在△48C中，NA4C=90°,。是/C边上一点，连接2。，S.AE=BD,4E与BC交

于点—

(1)求证：CE=AD；

(2)当时，求证：BD平分NABC.

第18页（共25页）

A

D

E

【解答】证明：(1)VEC±Aa

AZACE=90°=ZBAD,

在RtAACE与RtA^D中,

[AE=BD,

1AC=AB，

RtA^CE^RtA^D(HL),

：・CE=AD；

(2),.・RtZUCE之RtASZ。，

・•・NBDA=/AEC,

•:/CFE=/ADB,

・・・/CFE=NAEC,

VZBAC=ZACE=90°,

：.AB//CE,

：.NAEC=NBAE,

9：ZCAE+ZAEC=90°,

：.ZCAE+ZBDA=90°,

：・BD2AE,

：.ZABD=ZCBD,

：・BD平分/ABC.

23.(6分)当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由图可得等式:

(a+2b)(q+b)2+3ab+2b2.

第19页(共25页)

（1）已知等式：（q+b+c）2=a2+b2+c2+2qb+2Qc+2bc,请仿照图构造相应的图形（画在答题纸指定位置）;

（2）利用（1）中等式，解决下面的问题：

①已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求（22+Z?2+C2的值；

②已知（6-c）2=4（a-b）（C-Q）,用等式表示〃、b、c之间的关系，并证明.

【解答】解：（1）以Q+6+C为边，构造一个正方形,

(2)①由(1)可得，

(a+b+c)2=a2+b3+c2+2ab+6ac+2bc=6Z2+/J8+C2+2(.ab+ac+bc\

当a+b+c=11,ab+bc+ac=38时，

116=«W+C6+2X38,即6Z2+/?8+C2+76=121,

a1+b3+c2=45；

②由(b-c)2=3(a-b)(C-Q),可得Qc-b)2=4(a-b)(c-q),

令a-b=m,c-a=n,

(m+n)5=4冽〃，即(m-n)2=8,

••TYI--H.9即a-c-a,

••2Q=b~^~c.

24.(6分)如图，△45C和△/0£1中，AB=AC,ZBAC+ZEAD=180°,连接5ACD,连接4?求证:

CD=2AF.

第20页（共25页）

D

Ef

【解答】证明：延长4斤至G,使得/G=/R如图所示:

丁厂为BE的中点，

:・EF=BF,

rAF=GF

在△4FE和4G必中，ZAFE=ZGFB，

EF=BF

AAAFE^AGFB(SAS)f

：・/E4F=NG,AE=BG,

：.AE//BG,

：.ZGBA+ZBAE=ISO°,

VZBAC+ZEAD=1SO°,

ZDAC+ZBAE=1SO°,

：・/GBA=NDAC,

•：4D=4E,

:・BG=AD,

'AB=AC

在△GA4和中，NGBA=NDAC，

tBG=AD

・••△GBAmLDAC(SAS)f

；・AG=CD,

9

：AG=2AFf

：.CD=2AF.

第21页（共25页）

D

25.(7分)定义：如图1,A,8为直线/同侧的两点，过点/作直线/的对称点,连接4P,则称点尸

为点/

如图2,在△A8C、△/£>£中，AB=AC,ZBAC=ZDAE,连接CE、BD.

(1)猜想2。与CE的数量关系是BD=CE；并证明你的结论.

(2)延长CE交8/的延长线于点N,延长8。至点使DM=EN

①先补全图形.

②求证：点/为点C,M关于直线8N的“等角点”.

【解答】(1)证明：在△ABC、△/£)£中,

ABAC+Z.CAD=ZDAE+ZCAD,

即N24D=/C4E,